VECTORES EN TRES DIMENCIONES (R3)

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VECTORES EN TRES DIMENCIONES (R3)

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SUPERFICIES DE REVOLUCION

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Una superficie de revolución es aquella que se engendra haciendo girar una curva y = f(x) , ala cual llamaremos curva generatriz . alrededor de cualquier eje, llamado eje de revolución. DEFINICION

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DISCUSION DE UNA SUPERFICIE Antes de graficar una superficie, es ventajoso discutir su ecuación, que se limita a los siguientes pasos: Intersecciones con los ejes coordenados. Trazas sobre los planos coordenados. Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y el origen. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados. Extensión de la superficie.

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La superficie más simple ya ha sido motivo de nuestro estudio y ella es el plano . La ecuación del mismo, referido a un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, es lineal en las variables x; y y z , es decir : Un punto P( x,y,z ) ∈ π ⇔ ax+by+cz+d =0 (1) siempre que el vector normal al plano π sea de componentes ( a,b,c ) y el punto de paso del plano sea P0(x0,y0,z0). La ecuación (1) puede escribirse, generalizando de la siguiente manera: F( x,y,z )=0 (2) Ecuaciones de superficies:

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donde F es una función de tres variables, que en caso del plano es: ax+by+cz+d Bajo estas hipótesis, cualquier punto del plano P1(x1,y1,z1) deben satisfacer tanto la ecuación (1) como la ecuación (2) o sea que se cumplirá : ax1+by1+cz1+d=0 o lo que es lo mismo F(x1,y1,z1)=0

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Generalizando: llamaremos ecuación de una superficie a la relación que involucra las coordenadas de un punto genérico de la misma. Si esta relación es de la forma F( x,y,z )=0, la superficie se podrá caracterizar como el lugar geométrico de puntos del espacio: S= { P( x,y,z ) / F( x,y,z )=0 } Para obtener la ecuación de una superficie, llamaremos ( x,y,z ) a las coordenadas de un punto de la misma y las ligaremos a las condiciones que representen que efectivamente dicho punto pertenezca a la superficie definida. Es posible definir una superficie dando una propiedad que es cumplida por todos sus puntos, o también como el movimiento de una recta en el espacio sujeto a ciertas condiciones.

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Superficies cilíndricas Una superficie cilíndrica es la superficie generada por una recta, llamada generatriz que se desplaza manteniéndose paralela a un eje coordenado y apoyándose en una

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curva Γ contenida en el plano coordenado perpendicular al eje que contiene a la recta generatriz, a tal curva se la llama directriz. Supongamos que la ecuación de la directriz : f( x,y )=0 (en el plano xy ) .a la que llamamos con anterioridad Γ y sea la recta generatriz paralela al eje z Podemos expresar la superficie como: S= { P(x,y,z) / f(x,y)=0 ∀ z } Donde la ecuación la función f( x,y )=0 es la ecuación de la superficie y es válida ∀ z . De la misma forma podemos definir una superficie cilíndrica con directriz g( x,z )=0 y de generatriz paralela al eje y . Así como también una superficie con generatriz h( y,z )=0 y generatriz paralela al eje x .

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Superficies cónicas Una superficie cilíndrica es la superficie generada por una recta, llamada generatriz que gira de manera que uno de sus puntos llamado vértice V que es fijo y apoyándose en una curva Γ que no contiene al vértice, a tal curva se la llama directriz. Supongamos que la ecuación de la directriz sea: f( x,y )=0 (en el plano xy ) .y la recta generatriz que cuyo punto fijo es V(0,0,z 0 )

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Superficies de Revolución: Una superficie de revolución es la que se obtiene haciendo rotar una curva ( generatriz) contenida en un plano alrededor de una recta del mismo plano, tal recta se llama eje de rotación. Cada punto de la generatriz describe circunferencias contenidas en los planos normales al eje de rotación donde está el centro de las circunferencias y se denominan paralelos de la superficie. Los planos que contiene el eje de rotación, al cortar a la superficie forman los llamados meridianos . Intentaremos hallar la ecuación de una superficie de revolución, para ello consideremos una curva en el plano yz . Cuya ecuación es f( y,z )=0 , y consideraremos al eje x como eje

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