ESPIRAL DE RAICES CUADRADAS DE LOS NUMEROS NATURALES

Views:
 
     
 

Presentation Description

transformación analítica y geométrica de la "espiral"de Teodoro o caracola pitagórica en una verdadera espiral matemática

Comments

Presentation Transcript

slide 1:

ESPIRAL DE RAICES CUADRADAS DE l0S NUMEROS NATURALES − − Donde n≥ 1 entero positivo y: + ∑ − √ − − ENRIQUE R. ACOSTA R. Abril 2020

slide 2:

Construyamos un gráfico de triángulos rectángulos todos con un origen común en “O” adosados uno a continuación del otro comenzando con el isósceles de catetos unitarios. Si consideramos a la hipotenusa de este primer triángulo de longitud √2 como un cateto base del segundo triángulo y si trazamos en su extremo opuesto a O un segmento perpendicular como un nuevo cateto de longitud unitaria queda así determinada una nueva hipotenusa de longitud √3. Este procedimiento puede extenderse indefinidamente obteniendo entonces un gráfico donde cada hipotenusa partiendo de un punto original común “O” tendrá un valor igual a + √ con n correspondiente a un entero positivo mayor o igual a la unidad. ver gráfico 1 GRAFICO 1 Triángulos rectángulos adosados todos con un cateto unitario … e hipotenusas de valor √ con n entero positivo ≥ Esta construcción se atribuye a Teodoro de Cirene 465-368 a.C . y es denominada “espiral” de Teodoro o Caracola Pitagórica Estando los extremos de todas estas hipotenusas unidas por cuerdas unitarias el conjunto nos insinúa la existencia de una verdadera espiral cuya expresión analítica nos proponemos determinar en este trabajo. NOTA los números 1234 … longitud de las hipotenusas en todos los gráficos de la espiral corresponden en realidad a los valores √ . √ √ . √ . …

slide 3:

GRAFICO 2 Gráfico de los primeros 3 triángulos rectángulos AOB. OBC y OBD adosados por sus hipotenusas que parten del punto común “O” origen de coordenadas y polo de los radios de curvatura. Así mismo se trazan los primeros 3 arcos circulares ̂ ̂ y ̂ correspondientes a las hipotenusas de magnitud √2 √3. √4 de cada triángulo. El gráfico también refleja la magnitud y posición de los radios de curvatura de cada arco circular 1 2 3 los cuales tienen cada uno su centro de curvatura y de giro en los puntos 1 2 3 respectivamente todos ellos en la circunferencia de radio ½ y centro en O. Resumiendo: ∆ rectángulo en A de hipotensa √2 ∆ rectángulo en B de hipotensa √3 ∆ rectángulo en C de hipotensa √4 Cuerdas y todas de longitud unitaria siendo sus puntos medios 1 2 3 respectivamente.

slide 4:

En la circunferencia de radio ½ y centro en O. Radio 1 1/2 ǁ a cuerda Radio 2 1/2 ǁ a cuerda Radio 3 1/2 ǁ a cuerda Tangentes a la circunferencia de radio ½ y centro en O: 1 1 tangente en 1 2 2 tangente en 2 3 3 tangente en 3 Radios de curvatura o de giro de cada arco circular: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 GRAFICO3: Gráfico correspondiente al primer arco ̂ de la espiral Nótese que forma un ángulo de 2 radianes con el radio 1

slide 5:

Radio 1 1/2 ǁ a cuerda de la circunferencia de radio ½ y centro en O : 1 1 1 1 radio de curvatura del arco circular ̂ √ 2 hipotenusa del ∆ rectángulo en A Radio de curvatura de un punto P de la espiral correspondiente al arco ̂ En el ∆ 1 rectángulo en O se tiene: 1 2 1 2 1 2 + 1 2 2 1 + 1 4 5 4 de donde: 1 √ 5 2 De la figura: 1 es el ángulo entre el tramo izquierdo del eje X y el radio vector En el ∆ 1 2 − 1 entonces aplicando el teorema del coseno para determinar la magnitud del lado 1 en el triangulo 1 tendremos: 1 2 1 2 5 4 2 + 1 2 2 − 2 1 2 cos es decir ordenando sustituyendo y simplificando: Obtenemos la ecuación buscada para determinar el valor del radio de curvatura de la espiral para este primer caso : 0 ≤ 1 ≤ tan −1 1 √ 1 4 − − − Como cos 2 − 1 sin 1 podemos reescribir la ecuación como: 2 − sin 1 − 1 0 En la solución de esta ecuación cuadrática solo deberemos considerar el signo positivo de las raíces. Entonces será: sin 1 +√ sin 1 2 +4 2 ≥ 1 como comprobación: Para 1 0 tendremos: √ 4 2 1 Y para 1 4 tendremos : 1 √2 +√ 1 2 +4 2 4 √2 2 2 √ 2 √2

slide 6:

GRAFICO4 correspondiente al segundo arco ̂ de la espiral Nótese que en este caso: Radio 2 1/2 ǁ a cuerda y que forma un ángulo de 3 4 con 2 En el ∆ 2 rectángulo en O tendremos: 2 2 2 2 √2 2 + 1 2 2 2 + 1 4 9 4 entonces será: 2 √ 9 2 3 2 En el ∆ 2 2 2 y − 2 − 4 3 4 − 2 entonces aplicando el teorema del coseno tenemos: 2 2 9 4 2 + 1 2 2 − 2 1 2 cos Desarrollando sustituyendo y ordenando resulta: − − − Que será la expresión para en este segundo caso: tan −1 1 √ 1 4 ≤ 2 ≤ 4 + tan −1 1 √ 2

slide 7:

Comprobación: SI 2 4 resulta: 2 − cos 2 − 2 0 que con cos 2 0 nos da: 2 2 y √2 Si 2 4 + tan −1 1 √ 2 será 2 − tan −1 1 √ 2 y por ende cos sintan −1 1 √ 2 1 √ 3 por lo que resulta: : 2 − 1 √ 3 − 2 0 de donde: 1 √ 3 +√ 1 3 +8 2 1 2 1 √ 3 + 5 √ 3 √3 Nótese que el ángulo entre 1 y 2 es 4 ya que sus lados son mutuamente perpendiculares con los del ángulo AOB . GRAFICO 5 correspondiente al arco ̂ incluyendo el ∆ Nótese que en este caso el Radio 3 1/2 ǁ a cuerda y En el ∆ 3 rectángulo tenemos: : 3 2 3 2 √3 2 + 1 2 2 3 + 1 4 13 4 de donde: 3 √ 13 2

slide 8:

En el ∆ 3 : 3 3 3 3 Aplicando el teorema del coseno para determinar a 3 en el ∆ 3 tendremos: 3 2 13 4 2 − 2 1 2 cos + 1 2 2 de donde: 2 − cos − 3 0 nueva ecuación general para en este caso. De la figura obtenemos: 2 − 4 − tan −1 1 √ 2 y también: − 3 − Entonces será: − 3 − 2 + 4 + tan −1 1 √ 2 3 4 − 3 + tan −1 1 √ 2 Sustituyendo este valor en la ecuación general de este caso resulta: − − + − √ − Que será la expresión para en este tercer caso: Como comprobación: Si 3 4 +tan −1 1 √ 2 será: 3 4 − 4 − tan −1 1 √ 2 + tan −1 1 √ 2 2 entonces como cos 2 0 resulta: 2 3 √3 Si 3 4 +tan −1 1 √ 2 + tan −1 1 √ 3 4 +tan −1 1 √ 2 + 6 entonces: 3 4 − 4 − tan −1 1 √ 2 − 6 + tan −1 1 √ 2 3 y como cos 3 1 2 será: 2 − 1 2 − 3 0 Y resolviendo resulta: 1 2 +√ 1 4 +12 2 1 2 + 7 2 2 8 2 2 2 √4 Nótese que el ángulo entre 2 y 3 es igual a tan −1 1 √ 2 por ser ángulos con lados mutuamente perpendiculares. Observamos de manera general que el ángulo resultante en la expresión para se corresponde con la diferencia entre el ángulo que forma con y el ángulo Así mismo el ángulo entre y aumenta cuando pasamos de n a n+1 en una cantidad correspondiente al valor del ángulo entre √ √ + 1 dado por tan −1 1 √ .

slide 9:

También notamos que el termino independiente que aparece en la ecuación cuadrática que nos permite determinar el valor de corresponde al valor de n en el caso considerado. Entonces podemos escribir en forma general que el ángulo entre y viene dado por la expresión: + ∑ − √ − − Luego para: n1 será: δ 1 π 2 + ∑ tan −1 1 √i i0 i1 − φ 1 Aquí ∑ tan −1 1 √i i0 i1 0 para n1 luego δ 1 π 2 − φ 1 Para n2 será: Aquí ∑ tan −1 1 √i i1 i1 tan −1 1 √ 1 4 luego δ 2 π 2 + 4 −φ 2 3 4 − φ 2 Y para n3 será: Aquí ∑ tan −1 1 √i i2 i1 tan −1 1 √ 1 + tan −1 1 √ 2 4 + tan −1 1 √ 2 luego: 3 2 + 4 +tan −1 1 √ 2 − 3 3 4 + tan −1 1 √ 2 − 3 Resultados idénticos a los deducidos anteriormente para cada caso de estudio lo cual nos permite obtener una fórmula para en el caso general correspondiente a n entero positivo mayor o igual a la unidad. − − Donde n≥ 1 entero positivo y: + ∑ − √ − −

slide 10:

GRAFICO 6 Elementos de un sector espiral genérico n-ésimo El sector circular JK representa el caso general de un arco ̂ genérico n-ésimo de longitud cuerda unitaria y radio de centro en en el cual está inscrito el ∆ JK isósceles de lados ángulo central 2 y base unitaria la cuerda . Siendo √ la bisectriz de dicho ángulo central y ` ℎ la flecha del arco ̂ . Análogamente el sector JKO corresponde al caso general de un arco espiral genérico n-ésimo de igual longitud y cuerda unitaria en el cual está contenido el ∆ de base unitaria la cuerda y de lados correspondientes a las raíces cuadradas de valores consecutivos de n: √ y √ + 1 Nótese que ambos sectores tienen la misma área total ya que el área del segmento de circulo entre la cuerda y el arco es común y ambos triángulos tienen áreas iguales: 1 2 1 √ 1 2 √ 1 Resumiendo: √ y √ + 1 1 : longitud del arco ̂ 2 ° : ángulo central inscrito J 1 2 : radio de la circunferencia de centro en O : cuerda unitaria paralela al radio : bisectriz del ángulo central J 2 ° ` ℎ la flecha del arco ̂ respecto a su cuerda unitaria

slide 11:

TOPICOS GENERALES: 1 Calculo de en función de n: 2 1 2 2 + √ 2 1 4 + y √ 1 4 + √ 1+4 2 √ tan 1 2 √ 1 2√ y tan −1 1 2√ Si n1 tendremos 1 √ 5 2 Si n2 tendremos 2 √ 9 2 Si n3 tendremos 3 √ 13 2 notamos que la cantidad subradical aumenta de 4 en 4 al pasar de n a n+1 2 Curvatura del arco JK La curvatura puede obtenerse de la relacion entre ángulo inscrito y la longitud del arco correspondiente : 2 de donde : 2 1 2 √ 1+4 3 Longitud del arco JK La longitud de un arco de cuerda unitaria correspondiente a un sector n-ésimo de la espiral vendrá dado por la relacion: : 2 Donde debe ser adimensional es decir debe estar en radianes luego si tan −1 1 2√ Esta dado en grados sexagesimales deberemos multiplicar su valor por 180 ° para obtenerlo en radianes así garantizamos que la magnitud del arco resulte en las mismas unidades de longitud que las del radio. Resultaría: 2 ° 180 ° ° 90 ° tan −1 1 2√ √ 1+4 2 90 ° tan −1 1 2√ √1 + 4 180 °

slide 12:

4 Flecha del arco Jk con respecto a su cuerda unitaria Del gráfico 6 se obtiene de manera inmediata que: − √ √ 1+4 2 − √ . Se puede comprobar fácilmente que lim →∞ √ 1+4 2 − √ 0 5 Área de un sector : Como ya hemos señalado anteriormente el área total de un sector genérico de espiral JKO tiene idéntico valor que el área del sector circular JK correspondiente ya que el área del segmento de circulo entre la cuerda y el arco es común y ambos triángulos ∆ JK y ∆ tienen áreas iguales: 1 2 1 √ 1 2 √ 1 . Entonces dicha área total puede calcularse directamente como el porcentaje de área correspondiente a un ángulo central 2 en un círculo de radio . Por razones dimensionales análogas al del caso de la longitud del arco dicho ángulo central debe estar expresado en radianes. Así tendríamos: 2 2 ° 360 ° 1 + 4 4 ° 180 ° Notas para describir el “lugar geométrico”: Un segmento de recta de longitud 1 √ 5 2 gira un ángulo dado por tan −1 1 2√ 1 alrededor de un punto 1 situado en la intersección del eje Y con una circunferencia de centro O y radio ½. En esta posición dicho radio 1 se hace tangente en 1 a dicha circunferencia y luego gira de nuevo en el mismo sentido dextrógirootra vez un ángulo igual al inicial. En esta nueva posición 1 incrementa su valor hacia el interior del circulo de centro O y radio ½ interceptando a la circunferencia de este círculo en el punto 2 siendo el ángulo entre 1 y 2 el correspondiente a tan −1 1 √ 1 determinando un nuevo valor para el radio de curvatura dado por 2 √ 9 2 con este valor el segmento realiza un nuevo giro ahora alrededor de 2 correspondiente a un ángulo dado por tan −1 1 2√ 2 en esta posición se hace tangente en 2 a la circunferencia de centro en O y radio ½ luego el segmento gira alrededor de 2 un nuevo un ángulo igual al anterior. En esta nueva posición 2 incrementa su valor hacia el interior del circulo de centro O y radio ½ interceptando a la circunferencia de este círculo en el punto 3 siendo el ángulo entre 2 y 3 el correspondiente a tan −1 1 √ 2 determinando un nuevo valor para el radio de curvatura dado por 3 √ 13 2 con este valor el segmento realiza un nuevo giro ahora alrededor de

slide 13:

3 correspondiente a un ángulo dado por tan −1 1 2√ 3 en esta posición se hace tangente en 3 a la circunferencia de centro en O y radio ½ luego el segmento gira de nuevo un ángulo igual al anterior y en esta nueva posición 3 incrementa su valor hacia el interior del circulo de centro O y radio ½ interceptando a la circunferencia de este círculo en el punto 4 siendo el ángulo entre 3 y 4 el correspondiente a tan −1 1 √ 3 determinando un nuevo valor para el radio de curvatura dado por 4 √ 17 2 con este valor el segmento realiza un nuevo giro ahora alrededor de 4 Este proceso se repite indefinidamente y como puede observarse los radios de curvatura van aumentando la cantidad subradical en 4 unidades cada vez 59.1317… así mismo los ángulos de giro mitad están dados por tan −1 1 2√ mientras que los ángulos entre dos radios consecutivos de la circunferencia de centro en O y radio ½ corresponden al valor tan −1 1 √ . El extremo libre del radio de curvatura al girar alrededor de los puntos va generando los arcos circulares contínuos de cuerda unitaria que en conjunto constituyen la espiral de raíces cuadradas de los números naturales. ESPIRAL DE RAICES CUADRADAS DE LOS NUMEROS NATURALES Esta nueva espiral se incorpora al pequeño grupo de espirales planas ya conocidas en la reina de las ciencias como son la espiral de Arquímedes la espiral Parabólica o de Fermat la espiral Hiperbólica la Clotóide la espiral Logarítmica y sus tres aproximaciones análogas como son la espiral Aurea o de Durero la espiral de Fibonacci y la espiral de triángulos isósceles áureos.

slide 14:

Bibliografía de mis trabajos anteriores: Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997-revisado 2016 Prisma Combinatorio y su relación con los coeficientes Trinomiales 1997-revisado 2016 Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016 Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016 Distribución espacial de coeficientes Pentanomiales 2017 Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial y otros tópicos complementarios 2017 Particiones Discretas de m en r. Coeficientes Polinómicos y su cadena de valor 2017 Particiones Discretas de m en r. Formulaciones Matemáticas 2017 Particiones con repetición. Composición de enteros 2017 Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018 Productos internos y externos del Triángulo de Pascal 2018 Prisma Combinatorio o expansión espacial del Triángulo de Pascal 2018 El Triángulo de Pascal o Triángulo Aritmético y sus propiedades o características clásicas Actualizando las Fuentes 2018 El Triángulo de Pascal o Triángulo Aritmético sus 19 propiedades clásicas y sus análogas en el Prisma Combinatorio 2018 Fibonacci y el número áureo en el Prisma Combinatorio 2019 Todos estos trabajos pueden leerse y descargarse en Slideshare de Linkedin

authorStream Live Help