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MatematicarevApresenta : 

9/5/2009 1 MatematicarevApresenta

PRODUTOS NOTÁVEIS : 

9/5/2009 2 PRODUTOS NOTÁVEIS

REALIZAÇÃO : 

9/5/2009 3 REALIZAÇÃO COLÉGIO CASCAVELENSE SÉRIE : LEVE O PROFESSOR PRÁ CASA DIREÇÃO PROF.EDMUNDO REIS BESSA (EDI)

Quadrado da soma de dois termos : 

4 9/5/2009 Quadrado da soma de dois termos (a + b)² = a² + b² + 2ab Exemplo: (3 + 4)² = 3² + 4² + 2×3×4

InterpetraçãoGeométrica : 

9/5/2009 5 InterpetraçãoGeométrica (a + b)² = a² + 2ab + b² a a² b² ab ab ab ab a² b² b b a = + + + Trinômio quadrado perfeito

Quadrado da diferença de dois termos : 

6 9/5/2009 Quadrado da diferença de dois termos (a-b)² = a² + b² - 2ab Exemplo: (7 - 5)²=7² + 5² - 2×7×5

Diferença de potências (ordem 2) : 

7 9/5/2009 Diferença de potências (ordem 2) a² - b² = (a + b).(a - b) Exemplo: 7² - 5² =(7 + 5) . (7 - 5)

InterpetraçãoGeométrica : 

9/5/2009 Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc 8 InterpetraçãoGeométrica a² - b² = (a + b).(a - b) a - b a(a – b) a(a – b) b(a – b) b(a – b) a b² b a - b b a = + Diferença entre dois quadrados

Quadrado de um trinômio : 

9 9/5/2009 Quadrado de um trinômio (a + b + c) ² = = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) Ex: (1 + 2 + 3) ² = = 1² + 2² + 3² + 2.1.2 + 2.1.3 + 2.2.3

InterpetraçãoGeométrica : 

10 9/5/2009 InterpetraçãoGeométrica (a + b + c) ² = = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc a a² C ² ab ab b b a b² ac ac bc bc a² ab ab ac ac b² bc bc c c C ² + + + + + + =

Decorrências : 

11 9/5/2009 Decorrências (a + b – c)² = = a² + b³ + c² + 2(ab – bc –ac) (a – b – c)² = = a² + b³ + c² + 2(-ab + bc –ac)

Cubo da soma de dois termos : 

12 9/5/2009 Cubo da soma de dois termos (a + b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) Exemplo: (4 + 5)³ = 4³ + 3×4²×5 + 3×4×5² + 5³

Cubo da soma de dois termos na forma simplificada : 

9/5/2009 13 Cubo da soma de dois termos na forma simplificada (a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)² Exemplo: (4 + 5)³ = 4(4-3×5)² + 5(5-3×4)²

Cubo da diferença de dois termos : 

Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- CcProduos 14 9/5/2009 Cubo da diferença de dois termos (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = a³ - b³ - 3ab(a – b) Exemplo: (4 - 5)³= 4³ - 3×4²×5 + 3×4×5² - 5³

Identidade de Fibonacci : 

9/5/2009 15 Identidade de Fibonacci (a² + b²)(p² + q²) = = (ap - bq)²+(aq + bp)² Exemplo: (1² + 3²)(5² + 7²)= = (1×5-3×7)² + (1×7+3×5)²

Identidade de Platão : 

16 9/5/2009 Identidade de Platão (a² + b²)² = (a² - b²)² + (2ab)² Exemplo: (3² + 8²)² = (3² - 8²)² + (2×3×8)²

Identidade de Lagrange (4 termos) : 

9/5/2009 17 Identidade de Lagrange (4 termos) (a² + b²)(p² + q²)-(ap + bq)² = (aq –bp)² Exemplo: (9²+7²)(5²+3²)-(9×5+7×3)² = (9×3-7×5)²

Identidade de Lagrange (6 termos) : 

18 9/5/2009 Identidade de Lagrange (6 termos) (a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+ bq + c r)² = = (aq - bp)² + (ar - cp)² + (br - c q)² Exemplo: (1²+3²+5²)(7²+8²+9²)-(1×7+3×8+5×9)² = = (1×8 - 3×7)² + (1×9 - 5×7)² + (3×9 - 5×8)²

Identidade de Cauchy (n=3) : 

9/5/2009 19 Identidade de Cauchy (n=3) (a + b)³ - a³ - b³ = 3ab(a + b) Exemplo: (2 + 7)³ - 2³ -7³ = 3×2×7×(2 + 7)

Identidade de Cauchy (n=5) : 

20 9/5/2009 Identidade de Cauchy (n=5) (a + b) – a - b = 5ab(a + b)(a² + ab + b²) Exemplo: (1 + 2) - 1 - 2 = 5×1×2×(1 + 2)(1² + 1×2 + 2²) 5 5 5 5 5 5

Quadrado da soma de n termos : 

9/5/2009 21 Quadrado da soma de n termos sendo que i<j. Ex: (a + b)² = a² +b² + 2(ab) (a + b + c)²= a² + b² + c² + 2(ab+ac+bc) (a+b+c+d)²=a²+b²+c²+d²+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

Diferença entre os quadrados da soma e diferença : 

9/5/2009 22 Diferença entre os quadrados da soma e diferença (a + b)² - (a - b)² = 4ab Exemplo: (7 + 9)² - (7 - 9)²= = 4×7×9

Soma dos quadrados da soma e da diferença : 

9/5/2009 23 Soma dos quadrados da soma e da diferença (a + b)² + (a - b)² = 2(a² + b²) Exemplo: (3 + 5)² + (3 - 5)² = 2(3² + 5²)

Soma de dois cubos : 

9/5/2009 24 Soma de dois cubos a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) Exemplo: 2³ + 4³ = (2 + 4)³ - 3×2×4×(2 + 4)

Soma / diferença de dois cubos na forma fatorada : 

9/5/2009 25 Soma / diferença de dois cubos na forma fatorada a ³ + b ³ = (a + b)(a² - ab + b²) a ³ - b ³ = (a - b)(a² + ab + b²) Exemplo: 5³ + 7³=(5 + 7) (5² - 5×7 + 7²)

Transformação do produto na diferença de quadrados : 

9/5/2009 26 Transformação do produto na diferença de quadrados ab = [½(a + b)]² - [½(a - b)]² Exemplo: 3×5 = [½(3 + 5)]² - [½(3 - 5)]²

Diferença de potências (ordem 4) : 

27 9/5/2009 Diferença de potências (ordem 4) a4 - b4 = (a - b)(a + b)(a² + b²) Exemplo: 54 – 14 = (5 - 1)(5 + 1)(5² +1²)

Diferença de potências (ordem 6) : 

9/5/2009 28 Diferença de potências (ordem 6) a6 - b6 = (a - b)(a + b)(a²+ab +b²)(a²- ab +b²) Exemplo: 56 - 16=(5 - 1)(5 +1)(5² + 5×1+1²)(5²- 5×1+1²)

Diferença de potências (ordem 8) : 

29 9/5/2009 Diferença de potências (ordem 8) a8 - b8 = (a - b)(a + b)(a² + b²)(a4 + b4) Exemplo: 58 – 18 = (5 - 1)(5 + 1)(5² + 1²)(54 + 14)

Produto de três diferenças : 

9/5/2009 30 Produto de três diferenças (a - b)(a - c)(b - c) = = ab(a - c)+ bc(b - c) + ca(c - a) Ex: (1 - 3)(1 - 5)(3 - 5)= = 1×3×(1 - 5) + 3×5×(3 - 5) + 5×1×(5 - 1)

Produto de três somas : 

31 9/5/2009 Produto de três somas (a + b)(b + c)(c + a) = = (a + b + c)(ab + bc + ac) - abc Ex: (1 + 3)(3 + 5)(5 + 1) = = (1 + 3 + 5)(1×3 + 3×5 + 1×5) - 1×3×5

Soma de cubos das diferenças de três termos : 

9/5/2009 32 Soma de cubos das diferenças de três termos (a - b)³ + (b - c)³ + (c - a)³ = = 3(a - b)(b - c)(c - a) Ex: (1 - 3)³ + (3 - 5)³ + (5 - 1)³ = = 3(1 - 3)(3 - 5)(5 - 1)

Cubo da soma de três termos : 

9/5/2009 33 Cubo da soma de três termos (a + b + c)³ = =(a + b - c)³ + (b + c - a)³ + (a + c - b)³+24abc = a³ + b³ + c³ + 3(a + b) (b + c) (c + a) Exemplo: (7 + 8 + 9)³ = = (7 +8 -9)³+(8 +9 -7)³+(7+9 -8)³ +24×7×8×9

Cubo da soma de n termos : 

9/5/2009 34 Cubo da soma de n termos sendo que i < j e i < j < k. Ex: (a + b + c)³ = a³ + b ³ + c ³ + 3(a + b)(b + c)(c + a) = a³ + b ³ + c ³ + (a + b + c)(ab+bc+ca)-3abc = a³ + b ³ + c ³ + 3ª²(b + c) + 3b²(a + c) + 3c²(a + b) + 6abc

Exercícios: : 

9/5/2009 35 Exercícios: 1. Desenvolva (x² + x + 1) ³ 2. Se a³ + b³ + c³ = 0, calcule o valor de _____( a + b + c)³__________ (a + b + c)(ab+ac+bc) - 3abc Resp: 1. x6 +x³ + 1 + 3(x²+x)(x²+1)(x+1) 2. 1

Soma nula de produtos de cubos por diferenças : 

9/5/2009 Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc 36 Soma nula de produtos de cubos por diferenças a³(b - c) + b³(c - a) + c³(a - b) + + (a + b + c)(a - b)( b - c)(a - c) = 0 Ex: 2³(4 - 6) + 4³(6 - 2) + 6³(2 - 4) + + (2 + 4 + 6)(2 - 4)(4 - 6)(2 - 6) = 0

Soma de produtos de cubos com diferenças : 

9/5/2009 Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc 37 Soma de produtos de cubos com diferenças a³(b - c)³ + b³(c - a)³ + c³(a- b)³ = = 3abc(a - b)(b - c)(a - c) Ex: 7³(8 - 9)³ + 8³(9 - 7)³ + 9³(7 - 8)³ = = 3.7.8.9(7 - 8)(8 - 9)(7 - 9)

Produto de dois fatores homogêneos de grau dois : 

Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- CcProduos 38 9/5/2009 Produto de dois fatores homogêneos de grau dois (a² + ab + b²) (a² - ab + b²) = = a4 + a² b² + b4 Ex: (5² + 5×7 + 7²)(5² - 5×7 + 7²) = =54 + 5² 7² + 74

Soma de quadrados de somas de dois termos : 

9/5/2009 Produtos Notáveis - Prof:EdRBsa- Leve Prof.P/Casa- Cc 39 Soma de quadrados de somas de dois termos (a + b)² + (b + c)² + (a + c)² = = (a + b + c)² + a² + b² + c² Ex: (1 + 3)² + (3 + 5)² + (1 + 5)² = = (1 + 3 + 5)² + 1² + 3² + 5²

Produto de quadrados de fatores especiais : 

40 9/5/2009 Produto de quadrados de fatores especiais (a - b)² (a + b)² (a² + b²)² = = (a4 - b4)² Ex: (7 - 3)² (7 + 3)² (7² + 3²)²= = (74 - 34)²

Soma de quadrados de expressões homogêneas de 1º grau : 

9/5/2009 41 Soma de quadrados de expressões homogêneas de 1º grau (a + b + c)² + (a - b)² + (b - c)² + (c -a)² = = 3(a²+b²+c²) Ex: (7 + 8 + 9)² + (7 - 8)² + (8 - 9)² + (9 -7)² = = 3(7² + 8² + 9²)

Multiplicando Binômios tipo (x + a) : 

9/5/2009 42 Multiplicando Binômios tipo (x + a) (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab (x + a)(x + b)(x + c) = = x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc. (x – a)(x – b)(x –c) = = x³ - (a + b + c)x² + (ab + bc +ca)x - abc

Exercícios: Calcule usando a regra dos binômios: : 

9/5/2009 43 Exercícios: Calcule usando a regra dos binômios: 1. (x + 5)(x + 7) = 2. (x – 6)(x + 9) = 3. (x – 10)(x – 12) = 4. (x + 2)(x + 5)(x + 3) = 5. (x – 4)(x + 6)(x – 3) = Resp: 1. x² + 12x + 35; 2. x² + 3X – 54; 3. x² - 22x + 120; 4. x³ + 10x² + 31x + 30 5. x³ - x² - 30x + 72

Identidade Trinômica de Gauss : 

9/5/2009 44 Identidade Trinômica de Gauss (x2m + x m y n + y 2n)(x2m – x my n +y2n) = = x4m + x2my2n + y4n Ex: Calcule: ( x4 + x² + 1 ) ( x4 – x² + 1) = ( x6 + x³ y + y² ) ( x6 – x³ y + y² ) = ( x² + x + 1 ) ( x² - x + 1 ) = Resp: a) x8 + x4 + 1 b) x12 – x6y² + y4 c) x4 + x² + 1

Identidade de interpolação : 

9/5/2009 45 Identidade de interpolação Ex: Com a=1, b=2 e c=3 na identidade, obtemos:

Slide 46: 

46 9/5/2009 . FIM

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