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Sequências e regularidades O que deves saber Determinar a lei de formação de uma sequência. Determinar termos de uma sequência a partir da lei de formação. Determinar o termo geral de uma sequência numérica e representá-lo usando símbolos matemáticos adequados. Determinar termos de várias ordens a partir do termo geral. Profª Helena Borralho/2012-13

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O Conceito de Padrão é utilizado quando nos referimos a uma disposição ou arranjo de números, formas, cores ou sons onde se detetam regularidades. Conceito de Padrão: Sucessão ou sequência é todo conjunto onde consideramos os elementos dispostos em uma certa ordem. Profª Helena Borralho/2012-13

SEQUÊNCIA NUMÉRICA:

Ao numerarmos as casas desta maneira: Obtemos a sequência de números: 2, 4, 6, 8, … Cada número, a partir do primeiro, resulta da adição do anterior com duas unidades. Esta é a sequência de números pares . SEQUÊNCIA NUMÉRICA Profª Helena Borralho/2012-13

SEQUÊNCIA NUMÉRICA:

Mas se as numerarmos desta forma: obtemos a sequência de números : 1, 3, 5, 7, … Também aqui, cada número, a partir do primeiro, resulta da adição do anterior com duas unidades. Esta é a sequência de números ímpares . SEQUÊNCIA NUMÉRICA Profª Helena Borralho/2012-13

SEQUÊNCIA NUMÉRICA:

Mas afinal o que é uma sequência numérica? SEQUÊNCIA NUMÉRICA Profª Helena Borralho/2012-13

SEQUÊNCIA NUMÉRICA:

Diz-se que um conjunto de números forma uma sequência numérica quando existe uma regra ou uma “lei de formação” que, a partir de alguns números, permite descobrir outros. SEQUÊNCIA NUMÉRICA Profª Helena Borralho/2012-13

SEQUÊNCIA NUMÉRICA:

SEQUÊNCIA NUMÉRICA Sequência numérica é todo conjunto de números dispostos numa certa ordem . Cada número é um termo. Se há ordem significa que existe uma regra, lei de formação , que permite passar de um termo para o seguinte. A representação matemática de uma seqüência é (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n  1 , a n ), em que: a 1 é o primeiro termo a 2 é o segundo termo a 3 é o terceiro termo . . . . . . a n é o enésimo termo Profª Helena Borralho/2012-13

SEQUÊNCIA NUMÉRICA:

Sequência de números é um conjunto de números ordenados de uma determinada forma. Termos da sequência são os números que formam a sequência. Ordem - representa a posição em que se encontra o termo. Exemplo: 2 , 4, 6, 8 , 10, … 1º termo ou termo de ordem 1 4º termo ou termo de ordem 4 Sequência dos números pares naturais SEQUÊNCIA NUMÉRICA Profª Helena Borralho/2012-13

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É possível, na maioria dos casos, encontrar os elementos de uma sucessão numérica e as suas respetivas posições. Para isso, deveremos analisar a lei de formação da sequência, isto é, a lei que nos informa de que maneira os termos de uma sequência se sucedem. Além disso, esta lei nos possibilita descobrir o termo geral. LEI DE FORMAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA 5 , 10, 15, 20, 25, … Posição 1 2 3 4 5 … n x5 x5 x5 x5 x5 x5 Termos 5 10 15 20 25 … 5xn ou 5n Sequência dos múltiplos naturais de 5 Lei de formação Profª Helena Borralho/2012-13

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Consideremos agora o exemplo dos trevos: 1 trevo tem 3 folhas 2 trevos têm 6 folhas 3 trevos têm 9 folhas … Quantas folhas têm 10 trevos? E 14 trevos? Nº de trevos 1 2 3 … 10 … 14 … n Nº de folhas 3 6 9 … 30 … 42 … 3xn ou 3n x3 … Para determinarmos uma sequência numérica precisamos de uma lei de formação. Conclusão: Profª Helena Borralho/2012-13

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Na figura estão representados os três primeiros prédios de uma sequência em que cada prédio tem mais um andar do que o prédio anterior. Quantas janelas terão os 4º e 5º prédios? Porquê ? Nº de prédios 1 2 3 4 5 Nº de janelas 5 7 9 11 13 +2 +2 +2 +2 Lei de formação Profª Helena Borralho/2012-13

Conclusão:

Conclusão EXEMPLO: Sequência dos números pares naturais 2 , 4, 6, 8, 10, … temos : a 1 = 2 ; a 2 = 4 ; a 4 = 8 a n =2n Toda sequência numérica possui uma ordem para organização dos seus elementos, assim podemos dizer que em qualquer sequência os elementos são dispostos da seguinte forma: (a1,a2,a3,a4,....,a n , .....) ou (a1,a2,a3,....,a n ), onde a1 é o 1º elemento, a2 o segundo elemento e assim por diante, e a n o enésimo elemento. Essas sequências numéricas podem ter infinitos elementos, assim chamadas de infinitas, caso contrário, são chamadas de finitas. Profª Helena Borralho/2012-13

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TERMO GERAL DE UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA Observa a sequência de figuras: O número de quadrados em cada padrão forma uma sequência numérica:3,7,11,15,… Quantos quadrados terá o padrão 5 ? Terá 19 quadrados A lei de formação da sequência é adicionar 4 ao termo anterior, logo, o padrão 5, terá 19 quadrados. ordem 1 2 3 4 5 termo 3 7 11 15 19 +4 +4 +4 +4 Profª Helena Borralho/2012-13

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Determinação de uma sucessão As sucessões são dadas, em sua maioria, por meio de uma regra chamada lei de formação que nos permite calcular qualquer termo da sucessão. Ex: Escrever a sucessão em que a n = 2n e n  {1, 2, 3, 4, 5}. Para n = 1 temos: a 1 = 2 . 1 = 2 Para n = 2 temos: a 2 = 2 . 2 = 4 Para n = 3 temos: a 3 = 2 . 3 = 6 Para n = 4 temos: a 4 = 2 . 4 = 8 Para n = 5 temos: a 5 = 2 . 5 = 10 Logo, a sequência será : 2, 4, 6, 8, 10 TERMO GERAL DE UMA SEQUÊNCIA NUMÉRICA Profª Helena Borralho/2012-13

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Por quantos quadrados é formado o padrão 100? Ordem Termo Padrão 1 3= 4-1 Padrão 2 7=4x2-1 Padrão 3 11=4x3-1 Padrão 4 19=4x5-1 … … Padrão 100 399=4x100-1 Padrão n 4n-1 Por quantos quadrados é formado o padrão 100? 399 quadrados Termo geral O termo geral de uma sequência é o termo de ordem n. A letra n é uma variável. Usa-se para representar qualquer número natural ( pode ser 1,2,3,…,100,…) Profª Helena Borralho/2012-13

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Poderá existir um padrão formado por 100 quadrados? Termo geral ( a n ): 4n-1 4n-1=100 4n=101 n=101/4 n não é um número natural. Por isso, não há um padrão formado por 100 quadrados. Profª Helena Borralho/2012-13

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Exemplo: Quadrados perfeitos A quantidade de pontos representa um número que acaba formando um quadrado. Temos , assim, uma sequência infinita: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49... Cada número da sequência dos números quadrados pode ser obtido de acordo com a fórmula do termo geral: a n = n 2 Profª Helena Borralho/2012-13

Sequências de Números:

Sequências de Números Descubra os termos que faltam: 8, 16, , , 40, 48, … Profª Helena Borralho/2012-13

Sequências de Números:

Sequências de Números Descubra os termos que faltam: 2, , 8, 11, , 17, 20, … Profª Helena Borralho/2012-13

Sequências de Números:

Sequências de Números O termo geral da sequência de números pares é: 2xn 3xn 2xn-1 n Profª Helena Borralho/2012-13

Sequências de Números:

Sequências de Números O termo geral da sequência de números ímpares é: 2xn 3xn 2xn-1 n Profª Helena Borralho/2012-13

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FIM Profª Helena Borralho/2012-13

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