Distribuciones de probabilidad

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Universidad Tecnológica De Torreón Estadística “Trabajo final de la unidad dos”:

1) Eventos aleatorios, espacio muestral y técnicas de conteo 2) Distribuciones de probabilidad Alejandra Ríos Zamora 2°D Lic. Edgar Gerardo Mata Ortiz Universidad Tecnológica De Torreón Estadística “Trabajo final de la unidad dos”

Eventos aleatorios :

Eventos aleatorios

Espacio Muestral :

Espacio Muestral

Técnicas De Conteo :

Técnicas De Conteo

Distribuciones de probabilidad:

Distribuciones de probabilidad Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo . Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro , constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales Distribución Bernoulli Distribución Binomial Distribución Poisson Distribución T de student Distribución Gamma Distribución Normal

Distribución Bernoulli :

Distribución Bernoulli Para cualquier ensayo de bernoulli se define a la variable aleatoria x así: si el experimento propicio “éxito” , entonces x = 1 . De lo contrario, x = 0 . De ahí que x sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de probabilidad p(x) P(0) =P(X = 0) = 1-P P(1) =P(X = 1) =P Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli Media = P Varianza = P(1-P)

Ejemplos::

Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara”. Sea X = 1, si la moneda cae en “cara” y X = 0, si cae en “cruz”. ¿Cuál es la distribución de X ? Probabilidad de que caiga “cara” = .5 ó 50% Ejemplos: Eventos Probabilidad X = 1 P(1) =P(X = 1) =P 0.5 ó 50% X = 0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.5 ó 50% Media: = P 0.5 Varianza: = P(1-P) 0.25 La probabilidad de éxito, P(X = 1) , es igual a 0.5 . Por lo tanto, X~ Bernoulli (0.5)

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Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X = 1, si el dado cae seis y X = 0, en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X ? Eventos Probabilidad X = 1 P(1) =P(X = 1) =P 0.16 ó 1/6 X = 0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.83 ó 5/6 La probabilidad de éxito, P(X = 1) , es igual a 1/6 . Por lo tanto, X~ Bernoulli (1/6) Media: = P 0.16 ó 1/6 Varianza: = P(1-P) 0.1344 ó 5/36

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Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso esta defectuoso. Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X = 1, si el componente esta defectuoso y X =0 , en cualquier otro caso. ¿Cuál es la distribución de X? Eventos Probabilidad X = 1 P(1) =P(X = 1) =P 0.10 X = 0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.90 La probabilidad de éxito, P(X = 1) , es igual a 0.1. Por lo tanto, X~ Bernoulli (0.1) Media: = P 0.1 Varianza: = P(1-P) 0.09

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Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55. Sea X = 1 , si anota el tiro, si no lo hace, X = 0 . Determine la mediana y la varianza de X Eventos Probabilidad X = 1 P(1) =P(X = 1) =P 0.55 X = 0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.45 La probabilidad de éxito, P(X = 1) , es igual a 0.1. Por lo tanto, X~ Bernoulli (0.55) Media: = P 0.55 Varianza: = P(1-P) 0.2475

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En un restaurante de comida rápida, 25% delas ordenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una grande. Sea X = 1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida pequeña y X= 0 en cualquier otro caso. Sea Y = 1 si la orden es una bebida median y Y = 0 en cualquier otro caso. Sea Z = 1 si la orden es una bebida pequeña o mediana y Z = 0 en cualquier otro caso. Eventos Si la bebida es pequeña Probabilidad X = 1 P(1) =P(X = 1) =P 0.25 X = 0 P(0) =P(X = 0) = 1-P 0.75 Eventos Si la bebida es mediana Probabilidad Y = 1 P(1) =P(Y = 1) =P 0.35 Y = 0 P(0) =P(Y = 0) = 1-P 0.65 Eventos Si la bebida es pequeña o mediana Probabilidad Z = 1 P(1) =P(Z = 1) =P 0.60 Z = 0 P(0) =P(Z = 0) = 1-P 0.40 Media: = P 0.25 Varianza: = P(1-P) 0.1875 Media: = P 0.35 Varianza: = P(1-P) 0.2275 Media: = P 0.60 Varianza: = P(1-P) 0.24

Distribución binomial:

Extraer un solo componente de una población y determinar si está o no defectuosa es ejemplo de un ensayo bernoulli. En la práctica, es posible extraer varios componentes de una gran población y contar el número de elementos defectuosos. Esto implica realizar diversos ensayos de bernoulli independientes y contar el número de éxitos. El número de éxitos es una variable aleatoria, que tiene una distribución binomial. Suponga que se lleva a cabo una serie de n ensayos de bernoulli, cada uno con la misma probabilidad de éxito p . además, suponga que los ensayos son independientes: esto es, que el resultado de un ensayo no influyen en los resultados de alguno de los otros ensayos. Sea la variable aleatoria X igual al numero de éxitos en n ensayos, entonces X tiene la distribución binomial con parámetros n y p . la notación es X~Bin( n,p ) . X es una variable aleatoria discreta y sus posibles valores son 0,1……n. Distribución binomial

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Si X ~Bin ( n,p ), la función de masa de probabilidad de X es: P(X) = P(X = x) =

Ejemplos ::

Se lanza al aire 8 veces un dado. Determine la probabilidad de que no salga mas de dos números seis. Cada lanzamiento del dado es un experimento Bernoulli con una probabilidad de éxito de 1/6. Sea X el numero de seises en los 8 lanzamientos. Entonces X~ Bin (8 1/6). Se necesita determinar a P(X=0), P(X=1) y P(X=2) Ejemplos : P(X=0) 0.2326 P(X=1) 0.3721 P(X=2) 0.2605

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Determine la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria X , si X ~ Bin (10,0.4). Determine P(X =5) P(X=5) 0.2007 n=10, p=0.4 X=5

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Sea X~ Bin (8, 0.4). Determine X Valores de la formula Sustituir formula Resultado 0 n=8 p=0.4 X=0 (8!/0!(8-0)!)( 0.4 0 )(1-0.4) 8-0 0.01679616 1 n=8 p=0.4 X=1 (8!/1!(8-1)!)( 0.4 1 )(1-0.4) 8-1 0.08957952 2 n=8 p=0.4 X=2 (8!/2!(8-2)!)( 0.4 2 )(1-0.4) 8-2 0.20901888 3 n=8 p=0.4 X=3 (8!/3!(8-3)!)( 0.4 3 )(1-0.4) 8-3 0.27869184 4 n=8 p=0.4 X=4 (8!/4!(8-4)!)( 0.4 4 )(1-0.4) 8-4 0.2322432 5 n=8 p=0.4 X=5 (8!/5!(8-5)!)( 0.4 5 )(1-0.4) 8-5 0.12386304 6 n=8 p=0.4 X=6 (8!/6!(8-6)!)( 0.4 6 )(1-0.4) 8-6 0.04128768 7 n=8 p=0.4 X=7 (8!/7!(8-7)!)( 0.4 7 )(1-0.4) 8-7 0.0688128 8 n=8 p=0.4 X=8 (8!/8!(8-8)!)( 0.4 8 )(1-0.4) 8-8 0.00065536

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Se toma una muestra de cinco elementos de una población grande, en la cual 10% de los elementos esta defectuosa Sea X~ Bin (5, 0.1) . Determine X Valores de la formula Sustituir formula Resultado 0 n=5 p=0.1X=0 (5!/0!(5-0)!)( 0.1 0 )(1-0.1) 5-0 0.59049 1 n=5 p=0.1X=1 (5!/1!(5-1)!)( 0.1 1 )(1-0.1) 5-1 0.32805 2 n=5 p=0.1X=2 (5!/2!(5-2)!)( 0.1 2 )(1-0.1) 5-2 0.0729 3 n=5 p=0.1X=3 (5!/3!(5-3)!)( 0.1 3 )(1-0.1) 5-3 0.0081 4 n=5 p=0.1X=4 (5!/4!(5-4)!)( 0.1 4 )(1-0.1) 5-4 0.00045 5 n=5 p=0.1X=5 (5!/5!(5-5)!)( 0.1 5 )(1-0.1) 5-5 0.00001

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Se lanza una moneda 10 veces y la probabilidad de obtener cara es de .5 Sea X~ Bin (10, 0.5) . Determine X Valores de la formula Sustituir formula Resultado 0 n=10 p=0.5 X=0 (10!/0!(10-0)!)( 0.5 0 )(1-0.5) 10-0 0.000976562 1 n=10 p=0.5 X=1 (10!/1!(10-1)!)( 0.5 1 )(1-0.5) 10-1 0.009765625 2 n=10 p=0.5 X=2 (10!/2!(10-2)!)( 0.5 2 )(1-0.5) 10-2 0.043945312 3 n=10 p=0.5 X=3 (10!/3!(10-3)!)( 0.5 3 )(1-0.5) 10-3 0.1171875 4 n=10 p=0.5 X=4 (10!/4!(10-4)!)( 0.5 4 )(1-0.5) 10-4 0.205078125 5 n=10 p=0.5 X=5 (10!/5!(10-5)!)( 0.5 5 )(1-0.5) 10-5 0.24609375 6 n=10 p=0.5 X=6 (10!/6!(10-6)!)( 0.5 6 )(1-0.5) 10-6 0.205078125 7 n=10 p=0.5 X=7 (10!/7!(10-7)!)( 0.5 7 )(1-0.5) 10-7 0.1171875 8 n=10 p=0.5 X=8 (10!/8!(10-8)!)( 0.5 8 )(1-0.5) 10-8 0.043945312 9 n=10 p=0.5 X=9 (10!/9!(10-9)!)( 0.5 9 )(1-0.5) 10- 0.009765625 10 n=10 p=0.5 X=10 (10!/10!(10-10)!)( 0.5 10 )(1-0.5) 10-10 0.000976562

La distribución poisson:

La distribución poisson La distribución de poisson se utiliza con frecuencia en el trabajo científico. Una manera de considerarla es como una aproximación de la distribución binomial cuando n es grande y p es pequeño. Esto se muestra con un ejemplo: Una masa contiene 10 000 átomos de una sustancia radiactiva. La probabilidad de que cierto átomo decaiga en un periodo de un minuto es 0.0002. Sea X el número de átomos que decae en un minuto. Se puede considerar a cada átomo como un ensayo de bernoulli, en lo que el éxito ocurre si el átomo decae. Por tanto, X es el numero de éxitos en 10 000 ensayos de bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de éxito de 0.0002 , de tal forma que la distribución de X es Bin (10 000, 0.0002). La media de X es µ x =(10 000)(0.0002) = 2. Otra masa contiene 5 000 átomos y cada uno de estos tiene probabilidad de 0.0004 de decaer en un intervalo de un minuto. Se Y el numero de átomos de esta masa que decae en un minuto. Por lo tanto Y ~ Bin(5 000, 0.0004) y µ y = (5 000)(0.0004)=2.

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En cada uno de estos casos, el número de ensayos n y la probabilidad de éxito p son diferentes, pero el número promedio de éxitos, que es igual al producto np , es el mismo. Ahora suponga que se quiere calcular la probabilidad de que solo tres átomos decaigan en un minuto para cada uno de estas masas. Mediante la función de masa de probabilidad binomial, se calcula de la siguiente manera:

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Esta probabilidades son casi iguales entre sí. Aunque a partir de la fórmula de la función de masa de probabilidad binomial esto no es obvio, cuando n es grande y p es pequeño la función de masa depende por completo de la media np , y muy pocos de los valores específicos de n y p. por consiguiente, se puede aproximar la función de masa binomial con una cantidad que dependa solo del producto np . Específicamente, si n es grande y p es pequeña, y λ =np , se puede demostrar mediante métodos avanzados que para toda las X .

Si X es una variable aleatoria cuya función de masa de probabilidad esta dada por la ecuación entonces X sigue una distribución de poisson con parámetro λ . La notación es X~ Poisson (λ) :

Si X es una variable aleatoria cuya función de masa de probabilidad esta dada por la ecuación entonces X sigue una distribución de poisson con parámetro λ . La notación es X~ Poisson (λ) Esto conduce a la definición de una nueva función de probabilidad, denominada función de masa de probabilidad de poisson, que se define mediante Siempre y cuando X sea un numero entero y no negativo

Ejemplos: :

Si X ~Poisson (3) , calcule: P(X = 2), P(X = 10), P(X = 0), P(X = -1) y P(X = O.5) Ejemplos: λ X no debe ser negativo X debe ser un numero entero

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Suponga que 0.03% de los contenedores plásticos producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tiene estos defectos determine P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) y P(X = 5) P(X = x) Sustitución de la formula Resultado P(X = 1) e -3 (3 1 /1!) 0.149361205 P(X = 2) e -3 (3 2 /2!) 0.224041807 P(X = 3) e -3 (3 3 /3!) o.224041807 P(X = 4) e -3 (3 4 /4!) 0.168031355 P(X = 5) e -3 (3 5 /5!) 0.100818813 λ =np =(10 0008)(0.03%) λ = 3

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Si X ~Poisson (4) , calcule: P(X = 0), P(X = 1) y P(X = 2) λ

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Si X ~ Poisson (6) , calcule: P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3) y P(X = 4) P(X = x) Sustitución de la formula Resultado P(X = 0) e -6 (6 0 /0!) 0.002478752 P(X = 1) e -6 (6 1 /1!) 0.014872513 P(X = 2) e -6 (6 2 /2!) 0.044617539 P(X = 3) e -6 (6 3 /3!) 0.089235078 P(X = 4) e -6 (6 4 /4!) 0.133852617 λ

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Si X ~ Poisson (5) , calcule: P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) y P(X = 5) λ P(X = x) Sustitución de la formula Resultado P(X = 1) e -5 (5 1 /1!) 0.033689735 P(X = 2) e -5 (5 2 /2!) 0.084224337 P(X = 3) e -5 (5 3 /3!) 0.140373895 P(X = 4) e -5 (5 4 /4!) 0.175467369 P(X = 5) e -5 (5 5 /5!) 0.175467369

Distribución Normal :

Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss: El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. Distribución normal estándar N (0, 1) La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1. La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla. Distribución Normal

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Tipificación de la variable Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N (0, 1). Cálculo de probabilidades en distribuciones normales La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable tipificada. Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k). Φ (k) = P (z ≤ k)

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Determine el área bajo la curva normal a) Ala derecha de z= -0.85. b) Entre z = 0.40 y z = 1.30. c) Entre z =0.30 y z = 0.90. d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45 Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los problemas a) 1 – 0.1977 = 0.8023 b) 0.9032 – 0.6554 = 0.2478 c) 0.8159 – 0.3821 = 0.4338 d) 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404

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Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen normalmente con media de 480 y desviación estándar de 90. a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700? b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones? Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se encuentra? c) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520? µ = 480 σ = 90 a) Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073 b) la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67 El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7 c) z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082 Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91 d) z = (420 - 480)/90 = - 0.67 Z = (520 – 480)/90 = 0.44 El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186

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3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente con media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación tenga resistencia mayor a 12 Gpa? b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación. c)Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación. RESULTADOS µ = 10 σ = 1.4 a) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 = 0.0764 b) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67 El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa. c) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645 El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.

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4- La penicilina es producida por el hongo penicillium , que crece en un caldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La concentración optima e azúcar es de 4.9 mg/ mL. Si la concentración excede los 6 mg/ mL , el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo el día. a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se distribuye normalmente con media 4.9 mg/ mL y desviación estándar 0.6 mg/ mL en que proporción de días se suspenderá el proceso? b)El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2 mg/ mL y desviación estándar de 0.4 mg/ mL ¿este caldo surtirá efectos con menos días de producción perdida? RESULTADOS a) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336 b) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días

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5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se distribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de 0.03 onzas. a)¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas? b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas? c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas? RESULTADOS a) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475 b)Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas c)– 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas

Distribución Gamma :

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda , la variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a = n  lambda (escala) y p=n (forma). Se denota Gamma( a,p ). Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida). Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”). Distribución Gamma

Ejemplos::

El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente. Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2). Solución: Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Ejemplos: Gamma (a p) a : Escala 60000 p : Forma 20000 Punto X 10000 Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826 Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174 Media 0,3333 Varianza 0,0556 Moda 0,1667 La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98. .

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Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese: 1. El tiempo medio de supervivencia. 2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1 Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Gamma (a,p) a : Escala 0,8100 p : Forma 7,8100 Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000 Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000 Punto X 14,2429 Media 9,6420 Varianza 11,9037 Moda 8,4074 El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años

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Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

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A quí se encuentran las muestras que se tomaron para resolver el problema .

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Solución: Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar con los datos con los que contamos. Tendremos que sustituir los datos t= x - μ SI n α = 1- Nc = 10% v = n-1 = 24 t = 2.22 Procedimiento: se demostrara la forma en que se sustituirán los datos. VALOR DE LOS DATOS.. APLICACION DE LA FORMULA µ=500 h t= 505.36-500 t = 2.22 n=25 12.07 25 Nc =90% v = 25 -1 = 24 X=505.36 α = 1- 90% = 10% S=12.07

Distribución T de student :

Distribución T de student En probabilidad y estadística, la distribución t ( de Student ) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente Donde Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1 V tiene una distribución ji-cuadrado con  grados de libertad Z y V son independientes Si μ es una constante no nula, el cociente    es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student :

Aparición y especificaciones de la distribución t de Student Supongamos que X 1 ,..., X n son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ 2 . Sea La media muestral. Entonces sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1. Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,

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