R3_Parte_2

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IL PROGETTO DELLE OPERE CIVILI:

I RACCORDI DEI RETTIFILI IL PROGETTO DELLE OPERE CIVILI UNITÀ R3 - parte 2

PROPRIETÀ GEOMETRICHE DEI CERCHI:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] PROPRIETÀ GEOMETRICHE DEI CERCHI 2 1 2 3 4

TIPOLOGIE DI CURVE CIRCOLARI:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] TIPOLOGIE DI CURVE CIRCOLARI 3 INTERNA MONOCENTRICA INTERNA POLICENTRICA ESTERNA (TORNANTE)

LA CURVA CIRCOLARE NELLO SPAZIO:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LA CURVA CIRCOLARE NELLO SPAZIO 4 Le curve circolari rappresentano la proiezione sul piano orizzontale dell’asse stradale in curva. Nello spazio, cioè sul terreno, il raccordo circolare non è, in generale, una curva piana , ma un arco di elica che avvolge una superficie cilindrica.

LA CURVA CIRCOLARE NELLO SPAZIO:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LA CURVA CIRCOLARE NELLO SPAZIO 5 Il punto V , intersezione planimetrica dei due rettifili AV e BV , e chiamato vertice dei rettifili , si realizza solo sul piano di riferimento . Sono le proiezioni dei rettifili a intersecarsi in V , mentre i rettifili nello spazio sono, in generale, linee sghembe , e in corrispondenza della verticale tracciata da V , V 1 e V 2 presentano quote ( Q V 1 , Q V 2 ) diverse e generano perciò un dislivello D V .

ELEMENTI DELLE CURVE CIRCOLARI:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] ELEMENTI DELLE CURVE CIRCOLARI 6  = 180° –  c = 2 R  sen  /2 s b = cos  /2 t = R  tg  /2 t = R  cotg  /2 s = 2 R  sen 2  /4 s = R (1 – cos  /2) R     S = -------------- 180° S = R   rad

CURVA TANG. A 3 RETTIFILI (1° CASO):

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] CURVA TANG. A 3 RETTIFILI (1° CASO ) 7 AT 1 = AT 2 = t’ = R  cotg  /2 BT 2 = BT 3 = t” = R  cotg  /2 S R = p – AB  R = p  tg 2 Elementi noti : AB , , . La curva è un arco del cerchio ex-inscritto al triangolo ABV . Raggio della curva t’ = t  AV t” = t  BV Per controllo : t’ + t” = AB

CURVA TANG. A 3 RETTIFILI (2° CASO):

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] CURVA TANG. A 3 RETTIFILI (2° CASO ) 8 t’ = p – a = R  cotg  /2 t” = p – b = R  cotg  /2 t’” = p – c = R  cotg  /2 S R = p  R = ( p – a )  tg 2 Elementi noti: AB , , . La curva è un arco del cerchio inscritto al triangolo ABP . Raggio della curva Posizione dei punti di tangenza p – a p – c p – b

CURVA PER UN PUNTO ‘P’ ASSEGNATO:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] CURVA PER UN PUNTO ‘P’ ASSEGNATO 9 d  =arctg( y/x )  ’ =  /2 –  Rilievo di P per allineamenti e squadri : misura di VH=x e HP=y d = y /sen  Applicando il teorema dei seni al triangolo VPO : Dal triangolo retto VOT 1 : sen  ’  * = arcsen  (-----------) sen  /2 Sostituendo nella precedente si ottiene:  = 180° –  * ATTENZIONE è: d sen  ’ R = sen  H

CURVA CON PENDENZA ‘p’ ASSEGNATA:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] CURVA CON PENDENZA ‘ p’ ASSEGNATA 10 Definizione di pendenza all’interno della curva Sostituendo nella precedente definizione di pendenza e semplificando:

CURVA CON PENDENZA ‘p’ ASSEGNATA:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] CURVA CON PENDENZA ‘p’ ASSEGNATA 11 1° caso particolare: rettifili orizzontali a diversa quota p 1 = p 2 =0: 2° caso particolare: rettifili che si intersecano nello spazio  V 1 V 2 =0 : In questo caso particolare la pendenza non dipende dal raggio ma dalle pendenze dei due rettifili, oltre che dall’angolo .

Slide 12:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] 12 CURVE COMPOSTE

LE CURVE COMPOSTE:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LE CURVE COMPOSTE 13 Sono curve circolari formate da due o più archi di circonferenza con diverso raggio. L’impiego di questo tipo di curve spesso pone problemi alla circolazione ; tuttavia possono venire utilizzate nei progetti stradali quando particolari esigenze topografiche, o di economia, lo richiedano. Le curve composte più usate sono: tornanti ; a due centri (bicentriche); a tre centri ; policentriche .

I TORNANTI:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] I TORNANTI 14 Sono curve esterne che consentono una rapida inversione , più o meno completa, della direzione dell’asse stradale. Essi permettono anche il superamento di forti dislivelli in brevi spazi.

GEOMETRIA DEI TORNANTI:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] GEOMETRIA DEI TORNANTI 15 R  1 = arcsen ( ------ ) V 1 V  1 = 100 C –  1  2 = 100 C –  2  1 =  1  2 =  2 1 ° rettifilo V 1 T 3 = R tg  1 V 2 T 4 = R tg  2 t 1 = V 1 T 3 – m t 2 = V 2 T 4 – n R 1 = t 1 cotg (  1 /2) R 2 = t 2 cotg (  1 /2) Risvolto R = R min 2° rettifilo 1 a controcurva 2 a controcurva

LE CURVE COMPOSTE: a 2 centri:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LE CURVE COMPOSTE: a 2 centri 16  2 t 1  sen   R 1  cos   R 1 tg ---- = --------------------------------- 2 t 2  R 1  sen   t 1  cos  t 2  R 1  sen   t 1  cos  R 2 = R 1 + ------------------------------- sen  2  1 = 200 C  (  2 +  ) Elementi noti (4)  , t 1 , t 2 , R 1 Elementi fondamentali (5)  , t 1 , t 2 , R 1 , R 2  1 +  2 = 200 C    1 +  2 = 200 C +  I centri O 1 e O 2 sono allineati col punto di tangenza T comune ai due archi. La tangente V 1 V 2 comune ai due archi è ortogonale in T alla congiungente O 1 e O 2 . Tra gli angoli al centro e quelli al vertice dei due archi sussistono le seguenti relazioni :

ANDAMENTO DELLA FORZA CENTRIFUGA NELLE CURVE BICENTRICHE (supponendo che il veicolo la percorra a velocità costante):

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] ANDAMENTO DELLA FORZA CENTRIFUGA NELLE CURVE BICENTRICHE (supponendo che il veicolo la percorra a velocità costante) 17 F’ C  0 F C =0 F” C  F’ C F C =0 Il passaggio da una curvatura a un’altra determina un salto più o meno grande nell’intensità della forza centrifuga F C a cui è soggetto un veicolo in curva, a causa della sua velocità. Ciò può determinare grosse difficoltà al moto dei veicoli e compromettere la sicurezza della circolazione.

LE CURVE COMPOSTE: a 3 centri:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LE CURVE COMPOSTE: a 3 centri 18 Costituisce la logica premessa ai raccordi progressivi. Curva circolare primitiva Inserimento a centro conservato R 1 = 2 R 0 R 0 < R p = spostamento primitiva

Slide 19:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] 19 CURVE PROGRESSIVE

LE CURVE PROGRESSIVE:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LE CURVE PROGRESSIVE 20 Le norme non consentono di raccordare i rettifili diretta-mente con curve circolari, ma prescrivono che tra rettifilo e curva circolare sia interposto un tratto a raggio variabile . Si tratta di elementi curvilinei con raggio R variabile tra un valore infinito , in corrispondenza dei rettifili, e il valore R 0 della curva circolare. IL PROBLEMA nasce dal fatto che il passaggio dalla traiettoria del veicolo, dal rettifilo alla curva circolare, è praticamente impossibile perché l’azione sterzante non può essere istantanea (nel punto di tangenza), ma al contrario richiede un certo tempo durante il quale il veicolo descrive una traiettoria che si discosta da quella circolare dell’ asse della corsia , tagliando la corsia vicina .

I RACCORDI PROGRESSIVI:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] I RACCORDI PROGRESSIVI 21 Ramo circolare LA SOLUZIONE : per migliorare le con-dizioni di efficienza nel moto del veicolo si provvede a inserire , tra il rettifilo e la curva circolare, un opportuno raccordo di raggio R variabile con continuità da R =  , sul punto di tangenza col rettifilo, a R = R 0 in cor-rispondenza del punto di tangenza con il tratto circolare. Ramo progressivo

I TIPI DI RACCORDI PROGRESSIVI:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] I TIPI DI RACCORDI PROGRESSIVI 22 Le norme affermano che le curve a raggio variabile vengono inserire tra due elementi del tracciato a curvatura costante , estendendo con ciò al rettifilo il significato di elemento curvilineo con raggio di curvatura costante di valore infinito ( R =  ). Di transizione , se uniscono un rettifilo a una curva circolare. Di flesso , se uniscono due curve circolari percorse in verso opposto . Di continuità , se uniscono due curve circolari percorse nello stesso verso . TIPOLOGIE DI CURVE PROGRESSIVE

IL CONTRACCOLPO:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] IL CONTRACCOLPO 23 a ’ C a ” C in cui: D a = a ” C – a ’ C CONTRACCOLPO : è la va-riazione dell’accelerazione cen-trifuga nella unità di tempo: c = D a / t (m/sec 3 ) LE NORME prescrivono che il contraccolpo non superi il seguen-te valore limite (m/sec 3 ): 50,4 c max = V Psup v 2 a C = R (m/sec 2 ) Accelerazione centrifuga di un veicolo che percorre la curva a velocità v costante R t > R t+1

SOPRAELEVAZIONE DELLA CURVA:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] SOPRAELEVAZIONE DELLA CURVA 24 Il graduale passaggio dalla sagomatura a tetto in rettifilo a quella a falda nel tratto circolare, si ottiene facendo ruotare la carreggiata stradale , o parte di essa (cioè una o più corsie ), intorno al suo asse , oppure intorno al suo ciglio interno . La rotazione si esegue in ogni caso lungo i tratti a raggio variabile del tracciato, e la legge di rotazione è tale da dar luogo a un andamento lineare del profilo dei cigli della carreggiata.

LA SOVRAPENDENZA Di DEL CIGLIO ESTERNO:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LA SOVRAPENDENZA D i DEL CIGLIO ESTERNO 25 B D i max = 18 · ---- (%) V p Per evitare ristagni d’acqua durante la rotazione della piattaforma, le norme pre-scrivono per il ciglio esterno (quello che si solleva) una pendenza longitudinale non inferiore a un valore D i min ; mentre per limitare il rollio del veicolo nel suo moto la stessa pendenza non dovrà superare il valore assegnato D i max . D i min = 0,1 · B (%) Profilo dei cigli ciglio esterno ciglio interno asse D i

LA CLOTOIDE:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LA CLOTOIDE 26 doppia spirale di Cornu (Alfred) La clotoide (nome dovuto al matematico italiano Cesàro) è una curva in cui la lunghezza del percorso compiuto su di essa fino a un certo punto P (sviluppo s ), è inversamente proporzionale al raggio di curvatura R nello stesso punto. Cloto : figura mitologica che dipanava il filo della vita dei mortali, avvolgendolo sul fuso.

LA CLOTOIDE:EQUAZIONE PARAMETRICA:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LA CLOTOIDE:EQUAZIONE PARAMETRICA 27 La clotoide può essere definita come il luogo dei punti per i quali è costante il prodotto tra raggio di curvatura R e la lunghezza dell’arco s misurato da un’origine fissa. Nella progettazione stradale viene impiegata una parte limitata della curva clotoide , il cui raggio di curvatura varia con continuità da un valore infinito , in corrispondenza dell’origine, a un valore infinitesimo (dunque passante per un valore intermedio finito R 0 ). R · s = A 2 Equazione della clotoide A : parametro della clotoide o di scala (espresso in m). s = A 2 /R

LA CLOTOIDE: geometria:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LA CLOTOIDE: geometria 28 s = ----- ( rad ) 2 R essendo s = A 2 / R A 2 = ----- ( rad ) 2 R 2 A 2 0 = ----- ( rad ) 2 R 0 2 In corrispondenza del punto T di tangenza si ha : s = L T e R = R 0 . IMPORTANTE : la lunghezza dello sviluppo del ramo di transizione L T deve essere superiore a un valore limite L min prescritto dalla normativa. 0     0 Angolo tra il rettifilo e la tangente alla clotoide nel generico punto P .

IL PARAMETRO DI SCALA ‘A’:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] IL PARAMETRO DI SCALA ‘ A ’ 29 1° – Limitazione del contraccolpo essendo : c max =50,4/ V A  0,021  V 2 essendo : ( q f  q i )  0 V 3 L t  L min = ----------------- 3,6 3  c max  R 0 essendo : s max = L t = A 2 / R 0 Raccordi di continuità 2° – Limitazione della sovrappendenza Raccordi di transizione 3° – Criterio estetico R 0  A  R 0 /3 Il parametro A deve (NORME) assumere valori tali che i raccordi progressivi progettati siano in grado di garantire i seguenti criteri: una variazione di accelerazione centrifuga ( contraccolpo ) contenuta entro valori accettabili; una limitazione della pendenza longitudinale (o sovrappendenza) dei cigli della piattaforma; la percezione ottica corretta dell’andamento del tracciato.

INSERIMENTO A RAGGIO CONSERVATO:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] INSERIMENTO A RAGGIO CONSERVATO 30 ’ =  - 2  0 1 ° Angolo al centro del tratto circolare: Y T – R 0 (1 – cos  0 )  = -------------------------- cos  /2 2 ° Traslazione della primitiva: SV = ( X T – R 0 sen  0 ) + [( Y T – R 0 (1 – cos  0 )]  tg  /2 + R 0 tg  /2 4 ° Posizione punto di tangenza S sul rettifilo V 3 L t = ----------------- 3,6 3  c max  R 0 3 ° Lunghezza del ramo di clotoide da S a T :

LA RICERCA DI XT=Xmax e YT=Ymax:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] LA RICERCA DI X T = X max e Y T = Y max 31 1° MODO: Tavole clotoide unitaria: A =1 Tutti gli elementi lineari della tabella dovranno essere moltiplicati per il parametro di scala A . Esempio: X T = x  A e Y T = y  A 2° MODO: Polinomio di Mc Laurin L’angolo φ 0 deve essere utilizzato in radianti . Il calcolo del valore della parentesi quadrata (detto polinomio di Mac Laurin ) può essere senz’altro appros-simato al secondo termine in entrambe le espressioni.

UN ESEMPIO NUMERICO:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] UN ESEMPIO NUMERICO 32 PROBLEMA : Si debba realizzare un raccordo di transizione per collegare una curva circolare primitiva di raggio R 0 =250 m, con due rettifili formanti un angolo  =94 c . Essendo V =80 km/h la velocità di progetto nella curva, determinare gli elementi fondamentali del raccordo di transizione trascurando gli effetti della sagomatura trasversale della carreggiata. Soluzione Essendo il raccordo simmetrico, basta studiare il primo ramo.  = 200 C – 94 C = 106 C : angolo al centro della primitiva T 1 V = t = 250 tg (106 C /2) = 274,75 m: tangente della primitiva c max = 50,4/80 = 0,63 m/sec 3 : valore massimo del contraccolpo 250/3 < A < 250: verifica della clotoide secondo il criterio estetico (criterio 3) 80 3 L t = -------------------- = 69,67 m: sviluppo complessivo dell’arco di clotoide 3,6 3  0,63  250 131,98 2  0 = ----------- = 0 rad ,13935 = 8 C ,8713: angolo che la tangente alla clotoide nel suo punto terminale 2 250 2  ’=106 C – 2  8 C ,8713 = 88 C ,2574: angolo al centro dell’arco di primitiva T’ 1 T’ 2 da raccordare alla clotoide 250  88 C ,2574   S’ = ----------------------- = 346,58 m: sviluppo dell’arco di primitiva T’ 1 T’ 2 da raccordare alla clotoide 200 C S TOT = 69,67 + 346,58 + 69,67 = 485,92 m: sviluppo totale del raccordo di transizione : parametro di scala della clotoide (criterio 1: contraccolpo)

Slide 33:

Copyright © 2009 Zanichelli editore S. p. A., Bologna [6629] 33 Le coordinate X T e Y T del punto di tangenza T (punto finale della clotoide e iniziale per la curva circolare) si ricavano dal polinomio di Mac Laurin approssimando il calcolo al secondo termine: 3,23 – 250  (1 – cos 8 C ,8713)  = ----------------------------------- = 1,20 m : valore della traslazione della primitiva lungo la bisettrice cos (106 C /2) SV = [69,53 – 250  sen 8 C ,8713] + [3,23 – 250  (1 – cos 8 C ,8713)]  tg (106 C /2) + 274,75 = = 34,80 + 0,88 + 274,75 = 310,43 m : distanza del punto iniziale della clotoide dal vertice V

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