Las Matemáticas:: Las Matemáticas: Herramienta fundamental en el Análisis Económico Profesor: Max Garza Valle Alumno: Manuel Vélez Gallardo ITESM Noviembre 2005


Antecedentes: Antecedentes Economía como ciencia: siglo XVIII Aplicación matemática: fines de siglo XIX Apéndices matemáticos: Libros de Microeconomía. Textos de Economía Ambiental. Comercio Internacional. Economía Administrativa. Política Pública Economía del Bienestar, etc.


Usos específicos: Usos específicos Funciones Lineales y No Lineales Cálculo Diferencial e Integral Interpretación de Gráficas. Diagramas de Dispersión. Elasticidades Relaciones de productividad, rendimientos y costos. Utilidad, Producción y Mercados. Multiplicador de Lagrange Matrices


Funciones: Funciones Desde antes del siglo XX y en el XXI, se ha graficado la demanda y la oferta con la variable independiente en el eje Y. P Q En Economía, la variable independiente es el precio. Aún cuando con este diseño no se distorsiona la información.


Pendiente de una Recta: Pendiente de una Recta P Q 12 12 P Q 12 6


Pendiente en una Curva: Pendiente en una Curva En este caso, para encontrar la pendiente en un punto, trazamos la tangente en ese punto y calculamos la pendiente de la recta. P Q 50 10 b La pendiente de la curva en el punto b es igual a -1/5, que se obtiene de la pendiente de la recta.


Posibilidades de Producción: Posibilidades de Producción De acuerdo con la Ley de Rendimientos Decrecientes o Costos Crecientes de David Ricardo A B 1 2 3 4 5 200 La gráfica ilustra que, al pasar del punto A al B, las variaciones de A son cada vez mayores, lo cual se interpreta como costos crecientes del producto B en términos de A. Costo de Oportunidad


Elasticidades: Elasticidades Usando el término de pendiente podemos comprender los conceptos de elasticidad de la demanda. P Q 60 12 Elasticidad Precio-Demanda Mide la sensibilidad de la cantidad demandada ante variaciones del precio.


Elasticidades: Elasticidades Para P = 12; la Ed = ∞…¿Por qué? Para P = 6; la Ed = -1 …¿Por qué? Para P = 0; la Ed = 0 …¿Por qué? P Q 60B 12A Si volvemos a la grafica anterior y consideramos el término P/Q (que es un elemento de la fórmula de Ed) observamos que para el punto A, P =12, la Q = 0; y al dividir P/Q, el cociente es ∞, y ∞*®=∞ Similarmente para el punto B, ahora P = 0 y el cociente de P/Q = 0, y 0®=0


Elasticidades: Elasticidades De igual manera la economía se interesa en la elasticidad cruzada y la elasticidad ingreso, donde la variable precio del bien X se sustituye por el precio de otro bien Y (elasticidad cruzada) y el Ingreso (elasticidad ingreso).


Producción: Producción En economía se analiza el tema de producción con funciones de tercer grado que nos muestran diferentes rendimientos de un factor variable (Trabajo L). Crecientes Constantes Decrecientes


Producción: Producción Q = 80L + 240L2 – 4L3 Q = unidades producidas L = cantidad de trabajo En todo proceso productivo de corto plazo, al mantener un factor fijo (K), e ir agregando unidades del factor variable (L) para cierto nivel de Q, aparecen los rendimientos marginales y absolutos decrecientes.


Producción: Producción Todo proceso productivo se caracteriza por revelar tres etapas de rendimientos: Rendimientos Crecientes: La producción aumenta en mayor proporción que el trabajo. El ∆Q > ∆L Rendimientos Constantes: El ∆Q = ∆L Rendimientos Decrecientes: El ∆Q < ∆L Entonces se utiliza el cálculo diferencial y las segundas derivadas, para encontrar los puntos máximos:


Producción: Producción PMg = ∆Q/∆L = dQ / dL PMe = Q/L Usando estos dos conceptos que gráficamente se representan con funciones que en un principio crecen y después disminuyen; son importantes para determinar los límites de las etapas, en su puntos máximos.


Producción: Producción Q = 20L + 60L2 – L3 PMe = 20 + 60L – L2 PMg = 20 + 120L – 3L2 El PMg es máximo cuando su derivada = 0; 120 – 6L = 0; L = 20. El PMe es máximo cuando su derivada es 0; 60 – 2L = 0; L = 30. (fin de etapa 1) Q es máxima cuando L = 40. PMg=0, (que es el fin de la segunda etapa). Para L > 40; los rendimientos de la producción son absolutamente decrecientes. Es ineficiente o irracional.


Teoría de la Demanda: Teoría de la Demanda Utilidad Total = U = f(x,y) = 20 Utilidad Marginal de X, UMgX = ∆U/∆Qx Utilidad Marginal de Y, UMgY = ∆U/∆Qy Principio de Utilidad Marginal Decreciente: Al consumir un bien a medida que es mayor la cantidad consumida, es menor la utilidad que brinda una unidad adicional.


Curvas de Indiferencia: Curvas de Indiferencia U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y El consumidor es indiferente ante cualquier combinación de bienes representados en una curva (hipérbola rectangular). A medida que la curva se aleja del origen, aumenta la satisfacción.


Optimización: Optimización El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de una curva es igual a su recta de presupuesto. Ingreso = XPx + YPy Ejemplo: I = 240; Px = 40; Py = 20 X = I/Px; Y = I/Py


Recta de Presupuesto: Recta de Presupuesto El consumidor puede maximizar el nivel de utilidad, en cualquier punto de su recta de presupuesto. I/py I/px Y Y X


Optimización: Optimización El consumidor maximiza su utilidad cuando la pendiente de la recta de presupuesto es igual a la pendiente de una curva de indiferencia. La TMSxy = UMgX / UMgY La pendiente de la recta es: Px/Py Optimización: UMgX / UMgY = Px/Py (pendiente de las curvas)


Optimización de la Utilidad: Optimización de la Utilidad U = 20 U = 40 U = 60 U = 80 X Y


Optimización de la Utilidad: Optimización de la Utilidad El consumidor siempre desea ubicarse en la curva de indiferencia de mayor nivel. Pero su ingreso y los precios de los bienes que adquiere, le restringen su nivel d utilidad. TMSxy = UMx/UMy = Px/py


Multiplicadores Lagrange: Multiplicadores Lagrange Los multiplicadores Lagrange son muy utilizados para maximizar funciones de utilidad y de producción. Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de K y de L.


Optimización de Utilidad: Optimización de Utilidad De manera similar podemos maximizar una función de utilidad usando Lagrange: Se resuelven las primeras dos ecuaciones y se sustituye en la tercera, para encontrar las cantidades óptimas de X y de Y.


Matrices y Álgebra Lineal: Matrices y Álgebra Lineal Es muy utilizado el sistema de matrices, y los sistemas Hegelianos y Hesianos, para comprobar la existencia de convexidad o concavidad en las funciones de utilidad y producción. Ello permite comprobar si se cumplen las condiciones necesarias y de suficiencia en la optimización.


Conclusiones: Conclusiones Las Matemáticas son fundamentales para desarrollar el razonamiento del estudiante y resolver problemas de economía con rapidez y exactitud. La competitividad y habilidad de todo profesionista se incrementa con un mayor conocimiento de métodos cuantitativos.


Conclusiones: Conclusiones Se necesita de habilidad y cierta imaginación para trasladar los conocimientos matemáticos, a la solución de problemas económicos. Se facilita la comprensión de un modelo económico al utilizar las herramientas matemáticas, la lógica y representaciones gráficas. Sólo es cuestión de usarlas de manera adecuada, lógica y eficiente. Por lo tanto es necesario aprenderlas, recordarlas y usarlas siempre que sea necesario.