Clase 1 Movimiento en 1 y 2 dimensiones

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Semana 2Movimiento en dos y tres dimensiones : 

Semana 2Movimiento en dos y tres dimensiones Definiciones generales para el movimiento tridimensional: Vector posición y desplazamiento, velocidad media e instantánea, rapidez media e instantánea, aceleración media e instantánea.

Definiciones generales : 

16/08/2010 Yuri Milachay 2 Definiciones generales La mayoría de los cuerpos se mueven a lo largo de curvas que describen las trayectorias más diversas, por ejemplo, un brazo humano reproduce una serie de movimientos definidos. Todos los movimientos pueden ser descritos usando los conceptos de vector posición velocidad y aceleración.

1.1 Definiciones Generales : 

16/08/2010 Yuri Milachay 3 1.1 Definiciones Generales Vector Posición Para describir el movimiento de una partícula, primero hay que describir su posición; esto se hace con el vector posición. Vector desplazamiento El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo [t1 , t2] está dado por t1 t2

1.2 Velocidad : 

16/08/2010 Yuri Milachay 4 La rapidez media no es un vector y es mayor o igual que el módulo del vector velocidad media para el mismo intervalo de tiempo. 1.2 Velocidad Vector velocidad media. Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como El vector velocidad media es paralelo al vector desplazamiento. Rapidez media Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2]

1.2 Velocidad : 

16/08/2010 Yuri Milachay 5 Rapidez instantánea igual al módulo de la velocidad instantánea t1 t3 t4 t5 1.2 Velocidad Vector velocidad instantánea La velocidad instantánea es el limite de la vm cuando Δt sea muy pequeño. El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria que describe la partícula. Expresada en función de sus componente rectangulares, x y z

1.3 Aceleración : 

16/08/2010 Yuri Milachay 6 1.3 Aceleración Aceleración media Se define como la rapidez de cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo [t2 , t3] El vector aceleración media es paralelo al vector cambio de velocidad en un determinado intervalo de tiempo t1 t2

1.3 Aceleración : 

16/08/2010 Yuri Milachay 7 Aceleración instantánea es igual al limite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero Es la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo y apuntara hacia la concavidad de la trayectoria. 1.3 Aceleración t2 x y z

1.3 Aceleración : 

16/08/2010 Yuri Milachay 8 1.3 Aceleración La aceleración puede descomponerse en las componentes at paralela a la trayectoria y ac perpendicular a la trayectoria, entonces la aceleración instantánea se puede expresar como: ac, aceleración normal, indica el cambio de dirección de la velocidad. ρ es el radio de curvatura y v es la rapidez instantánea. at, aceleración tangencial, indica el cambio del módulo de la velocidad x y z

1.4 Cálculo del vector posición y velocidad : 

16/08/2010 Yuri Milachay 9 Cálculo del vector posición a partir de la velocidad instantánea Si se conoce la aceleración en función del tiempo, integrando es posible encontrar su posición y velocidad Integrando 1.4 Cálculo del vector posición y velocidad Cálculo del vector velocidad Sabemos Integrando

1.3 Movimiento de proyectiles : 

16/08/2010 Yuri Milachay 10 1.3 Movimiento de proyectiles Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y sigue una trayectoria determinada totalmente por los efectos de la aceleración de la gravedad. Las componentes rectangulares de la velocidad y posición son: Trayectoria parabólica MRU MRUV

1.3 Movimiento de proyectiles : 

16/08/2010 Yuri Milachay 11 1.3 Movimiento de proyectiles El movimiento en eje x es MRU. El movimiento en el eje y es MRUV Si conocemos la velocidad inicial y el ángulo de disparo Considerando que xo = yo = 0 la ecuación de la trayectoria descrita por el proyectil es una parábola. Trayectoria parabólica MRU MRUV

1.3 Movimiento de proyectiles : 

16/08/2010 Yuri Milachay 12 1.3 Movimiento de proyectiles Características La componente horizontal de la velocidad permanece constante La altura máxima Tiempo de subida es igual a de bajada Tiempo de vuelo El alcance El alcance máximo se produce bajo un θ = 45 Mov. acelerado Mov. desacelerado

1.3 Movimiento de proyectiles : 

16/08/2010 Yuri Milachay 13 Variación del alcance de un proyectil con el ángulo de disparo El alcance máximo se produce bajo un ángulo de disparo de 45º Existen dos ángulos de disparo α, β que tendrán el mismo alcance y estos ángulos cumplen con: 1.3 Movimiento de proyectiles

Ejemplo : 

16/08/2010 Yuri Milachay 14 El niño A se esta moviendo en línea recta frente al edificio a una velocidad constante vA.= 10 m/s. El niño C se encuentra ha una altura h = 20 m cuando lanza una bola B horizontalmente, cuando A esta a d = 10 m. Con que velocidad debe lanzar la bola el niño C para que el niño A atrape la bola Ejemplo

Ejemplo : 

16/08/2010 Yuri Milachay 15 Se lanza una pequeña piedra con una velocidad vo = 10 m/s en la forma mostrada en la figura. Si la piedra se introduce en un tubo que se orienta 45 respecto a la vertical, de modo que el movimiento de la piedra coincide con el eje del tubo. Determine los valores de x e y en el instante que la piedra penetra en el tubo Ejemplo

1.4 Movimiento Circular : 

16/08/2010 Yuri Milachay 16 1.4 Movimiento Circular Es aquel movimiento en que el móvil describe una trayectoria circular Desplazamiento angular (θ): Es el ángulo central barrido por el móvil, el cual se mide en radianes Longitud de arco (s): Magnitud física que nos expresa la distancia recorrida por el móvil, se mide en m Periodo (T): Es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa o revolución (θ = 2π rad) Frecuencia (f): Es el número de revoluciones por unidad de tiempo q S R R recta recta

1.4 Movimiento Circular : 

16/08/2010 Yuri Milachay 17 1.4 Movimiento Circular Velocidad angular (ω): Es la magnitud vectorial que expresa la rapidez con que móvil barre un ángulo central, unidad (rad/s). Se presenta por un vector perpendicular al plano al centro de la circunferencia, donde su sentido depende del giro horario (+) y antihorario (-) que realice el móvil. La velocidad angular puede determinarse usando: r r R R D q D sr D sR

1.4 Movimiento Circular : 

16/08/2010 Yuri Milachay 18 1.4 Movimiento Circular Velocidad tangencial: La velocidad instantánea es tangente a la trayectoria y coincide con la rapidez entones. Podemos expresar la rapidez lineal como: La rapidez lineal es igual a la rapidez angular instantánea por el radio de la trayectoria circular R R D q D s

1.4 Movimiento Circular : 

16/08/2010 Yuri Milachay 19 1.4 Movimiento Circular Aceleración. Todas las variaciones de la velocidad en el movimiento circular están dirigidas hacia el interior de la trayectoria. Por ende, la aceleración en el movimiento circular puede determinarse como Donde la aceleración tangencial Como: v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 -v8 Dv81 R -v4 Dv45 Mov. acelerado Mov. desacelerado

1.4 Movimiento Circular : 

16/08/2010 Yuri Milachay 20 1.4 Movimiento Circular La aceleración centrípeta será Donde Así La aceleración centrípeta es igual al cuadrado de su rapidez angular por el radio de su trayectoria, y está dirigida hacia el centro de rotación. v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 R

1.4 Movimiento Circular uniforme : 

16/08/2010 Yuri Milachay 21 No hay cambio en el módulo de la velocidad. Sí hay cambio de dirección de la velocidad. 1.4 Movimiento Circular uniforme En este movimiento se considera La partícula se mueve con rapidez angular constante. De la definición de velocidad angular, Integrando obtenemos la posición angular con el tiempo. Dv v1 -v1 v2 v4 ac

1.4 Movimiento Circular uniformemente variado : 

16/08/2010 Yuri Milachay 22 1.4 Movimiento Circular uniformemente variado Es aquel movimiento efectuado por un móvil durante el cual la aceleración angular y tangencial permanecen constantes. Y como las ecuaciones cinemáticas del movimiento circular son: Estas ecuaciones son idénticas a las halladas en el MRUV, entonces, por analogía, se pueden escribir las ecuaciones del MCUV. Dv v1 -v1 v2 D vr Dvt Eje radial Eje tangente Sí hay cambio en el módulo de la velocidad. Sí hay cambio de dirección de la velocidad.

1.4 Ecuaciones del movimiento circular : 

16/08/2010 Yuri Milachay 23 MRU MRUV MCU MCUV 1.4 Ecuaciones del movimiento circular [t1 , t2 ] [t1 , t2 ]