Presentación de la semana 13 Sesión 1

Semana 13 Sesión 1Movimiento Armónico Simple. Energía del MAS : 

Semana 13 Sesión 1Movimiento Armónico Simple. Energía del MAS Movimiento periódico, oscilatorio y armónico simple. Ecuación del MAS. Periodo y frecuencia del MAS. Velocidad y aceleración en el MAS. Energía del MAS

Movimiento periódico : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 2 Movimiento periódico Periódico es aquel movimiento que se repite regularmente; es decir, vuelve a suceder al cabo de cierto tiempo T, denominado periodo. Son ejemplos de movimiento periódico: Los planetas moviéndose alrededor del Sol El cilindro que se desliza por un doble plano inclinado. El movimiento de los planetas alrededor del Sol Movimiento de un cilindro por una doble rampa inclinada

Movimiento Oscilatorio : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 3 Movimiento Oscilatorio Oscilatorio es el movimiento periódico alrededor de una posición de equilibrio. Este movimiento se debe a que existe una fuerza de restitución. En el caso de la figura, el peso produce la oscilación del péndulo. Las magnitudes características del movimiento son: Amplitud A Periodo T Frecuencia f Frecuencia angular 

Ejercicios : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 4 Ejercicios Ejemplo. Un transductor ultrasónico empleado para el diagnostico médico oscila con una frecuencia de 6,7 MHz. ¿Cuánto tarda cada oscilación y qué frecuencia angular tiene? Respuesta T = 0,15 µs  = 4,2 x 107 rad/s Ejercicio Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza 0,120 m de su posición de equilibrio y se suelta con una rapidez inicial cero, después de 0,800 s su desplazamiento es de 0,120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una vez. Calcule: a) la amplitud; b) el periodo, y c) la frecuencia. Respuesta A = 0,120 m T = 1,60 s

Movimiento Armónico Simple : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 5 Movimiento Armónico Simple El movimiento armónico simple es un movimiento oscilatorio en el que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento, como es el caso de un bloque que oscila libremente por acción de la fuerza recuperadora de un resorte sobre una superficie sin fricción. Observaciones del movimiento del bloque en el MAS La velocidad es máxima cuando el bloque pasa por el punto de equilibrio. Su velocidad es cero cuando alcanza su máxima elongación (x = A). Por la segunda ley de Newton, Por lo que la aceleración es cero en el origen y máxima en el punto de máxima elongación. Movimiento producido por el resorte Posición de equilibrio Amplitud Periodo

Ecuación del MAS : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 6 Ecuación del MAS Siempre que la aceleración de un objeto es proporcional a su desplazamiento pero con sentido opuesto, el objeto se mueve con M.A.S Por la Segunda Ley de Newton Considerando que la frecuencia angular Reemplazando la expresión de la aceleración, se obtiene La solución de la ecuación es:

Fase y ángulo de fase : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 7 Fase y ángulo de fase A , ω y δ son constantes A es la amplitud, el desplazamiento máximo respecto a la posición de equilibrio El argumento de la función cos (ωt +δ) se denomina fase y la constante δ es el ángulo de fase. Analizar las situaciones físicas que describen los diferentes valores del ángulo de fase.

Ejercicios : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 8 Ejercicios Ejercicio Escriba la ecuación general de una MAS para un bloque de 5,00 kg de masa que descansa en una superficie horizontal sin fricción y está conectada a un resorte en equilibrio de k = 120 N/m, a) si la masa recibe inicialmente un empujón rápido que comprime el resorte, b) si se comprime el resorte y luego se suelta. k m Inicio Caso (a) Caso (b) v0 = 0

Periodo y frecuencia en el MAS : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 9 Periodo y frecuencia en el MAS Es posible calcular el valor del periodo a partir de la masa del cuerpo y la constante elástica del resorte. Ejercicio. Se ha determinado que la constante del resorte es de 606 N/m y que la masa de la silla es de 12,0 kg. El periodo de oscilación se ha calculado en 2,41 s. ¿Cuál es la masa del astronauta?

Explicación del significado de la frecuencia angular (ω) : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 10 Explicación del significado de la frecuencia angular (ω)

Posición, velocidad y aceleración del MAS : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 11 Posición, velocidad y aceleración del MAS

Slide 12: 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 12 Para calcular el ángulo de fase Para determinar la amplitud Ejemplo Un resorte se monta horizontalmente con su extremo izquierdo fijo. Conectando una balanza de resorte al extremo libre y tirando hacia la derecha, determinamos que la fuerza de estiramiento es proporcional al desplazamiento y que una fuerza de 6,0 N causa una deformación de 0,030 m . Quitamos la balanza y y conectamos un cuerpo de 0,50 kg de masa al extremo, tiramos de él hasta moverlo 0,020 m, lo soltamos y vemos como oscila. a) Determine la constante de fuerza del resorte. b) Calcule la frecuencia, la frecuencia angular y el periodo de la oscilación. k = 200 N/m, w= 20 rad/s f = 3,2 Hz, T = 0,31 s

Ejercicios : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 13 Ejercicios Problema Un bloque de 2,00 kg, que se desliza sin fricción, se conecta a un resorte ideal con k = 300 N/m . En t = 0, el resorte no está estirado ni comprimido y el bloque se mueve en la dirección negativa a 12,0 m/s . Calcule : a) la amplitud ; b) el ángulo de fase, c) escriba la ecuación de la posición en función del tiempo. Respuesta

Ejercicios : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 14 Ejercicios Problema. El desplazamiento en función del tiempo de una masa de 1,50 kg en un resorte está dado por la ecuación Calcule (a) el tiempo que tarda una vibración completa; (b) la constante elástica del resorte; (c) la rapidez máxima de la masa, (d) la fuerza máxima que actúa sobre la masa; (e) la posición, rapidez y aceleración de la masa en t = 1,00 s, y la fuerza que actúa sobre la masa en ese momento.

Ejercicios : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 15 Problema. En la figura se muestra el desplazamiento de un objeto oscilante en función del tiempo. Calcule: a) la frecuencia; b) la amplitud y c) el periodo. Problema. Una pieza de una máquina está en MAS con frecuencia de 5,00 Hz y amplitud de 1,80 cm . ¿Cuánto tarda la pieza en ir de x = 0 a x = -1,80 cm? Solución El desplazamiento tiene lugar cuando el tiempo es igual a ¼ del periodo. Ejercicios

Energía potencial elástica : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 16 Energía potencial elástica

Energía potencial elástica : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 17 Energía potencial elástica Un resorte comprimido tiene energía potencial. Cuando se permite al resorte expandirse, puede aplicar una fuerza sobre el móvil de modo que realice trabajo. De esta manera, la energía potencial del resorte puede transformarse en energía cinética del móvil. La expresión matemática de la energía potencial elástica se deduce de la gráfica Fuerza-desplazamiento En el caso del oscilador armónico, el balance energético tiene lugar entre la energía cinética y potencial elástica. F x Fuerza aplicada sobre el móvil por parte del resorte

Energía del oscilador armónico : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 18 Energía del oscilador armónico Si no hay fricción la energía mecánica del oscilador armónico se mantiene constante en todo momento. Particularmente, se puede igualar la expresión de la energía mecánica a la energía en un extremo. Despejando la velocidad de la expresión anterior se obtiene que: Si x = 0, entonces v = A 

Gráficos de Ek y Ep en el MAS : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 19 Gráficos de Ek y Ep en el MAS

Ejercicios : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 20 Ejercicios Problema. Un objeto de 3,00 kg conectado a un muelle oscila con una amplitud de 4,00 cm y un periodo de 2,0 s Calcule la energía total Cuál es la velocidad máxima del objeto En qué posición x1 la velocidad es igual a la mitad de su valor máximo Problema. Un objeto se mueve con MAS. Cuando está desplazado 0,600 m a la derecha de su posición de equilibrio, tiene una velocidad de 2,20 m/s a la derecha y una aceleración de 8,40 m/s2 a la izquierda. ¿A qué distancia de este punto se desplazará el objeto antes de detenerse momentáneamente para iniciar su movimiento a la izquierda? Solución

Ejercicio : 

01/06/2010 Yuri Milachay, Lily Arrascue, Soledad Tinoco 21 Ejercicio Solución (a) (b) Problema Un deslizador de 0,500 kg , conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k = 450 N/m, está en MAS con una amplitud de 0,040 metros. Calcule (a) la rapidez máxima del deslizador, (b) su rapidez cuando x = -0,015 m, (c) su aceleración máxima y (d) la energía mecánica total en cualquier punto de la trayectoria.