ortogonanilidad

Ortogonalidad : 

Ortogonalidad Datos informativos Especialidad: Semestre: SALAZAR CASTRO JOSE ARMANDO Amorozo_20@hotmail.com mail AREQUIPA - julio de 2010

Introducción : 

Introducción Objetivo : Identificar los vectores perpendiculares Resolver problemas de vectores ortogonales 2

Tabla de contenidos : 

Tabla de contenidos 3

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 4 ORTOGONALIDAD Definición de vectores ortogonales.- -EJEMPLOS.- En ( p.e.usual) comprobar que los vectores son ortogonales. ¿Son ortogonales estos vectores con el producto escalar es el único vector de V ortogonal a todos los vectores de V IMPORTANTE

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 5 Definición de subconjuntos ortogonales.- Dos subconjuntos A y B de V son ortogonales ( ), cuando Sea S subespacio vectorial de V y una base de S. Entonces: -EJEMPLO.- Comprobar que los subconjuntos son ortogonales en ( p.e. usual)

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 6 -EJEMPLO.- Hallar el subespacio vectorial formado por todos los vectores ortogonales al subespacio: utilizando el producto escalar usual en . Según la definición de , será: siendo B una base de S. Primero encontramos una base de S.

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 7 SISTEMAS ORTOGONALES Y ORTONORMALES. PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT En este apartado describiremos un método muy importante, llamado proceso de Gram-Schmidt*. El proceso de Gram-Schmidt es un algoritmo sencillo para producir una base ortogonal u ortonormal para cualquier subespacio vectorial, de un espacio vectorial euclídeo. En honor del matemático y actuario danés Jörgen Pedersen Gram (1850-1916) y Erhard Schmidt, matemático alemán (1876-1959). es un sistema ortogonal de vectores si es un sistema ortonormal de vectores si Vectores unitarios Es decir, un sistema ortonormal es un sistema ortogonal formado por vectores unitarios

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 8 -EJEMPLOS.- 1.- En ( p.e. usual) el sistema es ortogonal, pues: pero no es ortonormal pues: el sistema es ortonormal, pues: 2.- En con el producto escalar ¿Son ortogonales los vectores ?

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 9 Propiedades de los sistemas ortogonales.- a) s.ortogonal de vectores no nulos del e.v. euclídeo V, entonces: b) s.ortogonal, entonces: IMPORTANTE -OBSERVACIÓN.- Para r = 2 En con el producto escalar usual: Teorema de Pitágoras

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 10 Proyección ortogonal de un vector.- La proyección ortogonal de sobre es el vector: -OBSERVACIÓN.- -EJEMPLO.- En con el p.e. usual la proyección ortogonal del vector sobre es:

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 11 Todo espacio vectorial euclídeo de dimensión finita n admite bases ortogonales y ortonormales ¿Cómo se hallan estas bases? Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt: Si es un s. libre de un espacio vectorial euclídeo V, entonces: tales que: y s.ortogonal s.ortonormal

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 12 ¿Cómo se construye una base ortogonal BO (ortonormal BON) de un espacio vectorial euclídeo S? 1.- Hallar una base B de S: 2.- Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt: 3.- Normalizar los vectores del paso 2.-:

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 13 -OBSERVACIONES.- 1.- No es necesario partir de una base B de S, basta con partir de un sistema generador de S. El proceso de Gram-Schmidt detectará si el sistema es libre o ligado. 2.- Suele resultar conveniente calcular los productos escalares de los diversos vectores de la base o s.g. de S y “reordenarlos” escribiendo en primer lugar aquellos vectores que sean ortogonales entre si. Utilizando el p.e. usual hallar una base ortogonal del s.v. engendrado por los vectores: Utilizando el p.e. usual hallar una base ortogonal del s.v. engendrado por los vectores:

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 14 APROXIMACIÓN LINEAL EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS En este apartado vamos resolver el siguiente problema: espacio vectorial euclídeo S subespacio de V con base de S Se trata de encontrar tal que: sea mínima Este problema admite solución y es única. se denomina mejor aproximación de en S. -OBSERVACIÓN.- Si , entonces

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 15 Mejor aproximación de en S.- Si es una base ortogonal de S, la mejor aproximación de en S es: Coeficientes de Fourier. Suma de Fourier.- Si es una base ortogonal de S: se denominan coeficientes de Fourier. se llama suma de Fourier.

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 16 ¿Cómo encontrar la mejor aproximación de un vector de un espacio vectorial V en un subespacio S de V? 2.- Hallar una base B de S: 3.- Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a B: 5.- Comprobar el resultado: 1.- Comprobar que BO base ortogonal de S 4.- Suma de Fourier ( ) de respecto de la base ortogonal BO encontrada en el paso 3.-: HAY QUE TRABAJAR CON EL PRODUCTO ESCALAR DEL PROBLEMA

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 17 -EJERCICIO.- Consideremos el producto escalar usual en a.- Encontrar la mejor aproximación de en el subespacio vectorial S y hallar la norma del error cometido. Solución 1.- Comprobamos que 2.- Hallamos una base BS de S 3.- Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt a la base BS de S para conseguir una base ortogonal BO de S:

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Propedéutico de Matemáticas DEPFIE Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 18 4.- Suma de las proyecciones ortogonales de sobre los vectores de la base ortogonal BO de S: 5.- Comprobar el resultado: b.- Utilizando el producto escalar usual encontrar la mejor aproximación de en el subespacio vectorial: y hallar la norma del error cometido. Norma del error cometido Solución

SEPARADOR DE CONTENIDOS : 

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Ilustraciones de la presentación : 

Ilustraciones de la presentación 20

Resumen de contenidos más importantes : 

Resumen de contenidos más importantes 21

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA : 

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA 22 Libros: Autor(es), (Año de edición), Título,  Ciudad, Editorial. Ejemplo: Sampieri, R., Fernandez Collado, C., & Baptista Lucio, P. (2003). Metodologia de la Investigacion. Mexico: Mcgraw-hill Companies. Internet: Autor(es), (Fecha de publicación), Título de la página web, visitada el: (indicar fecha), desde: (Indicar dirección web), Ejemplo: Salguero, A. (2008, August 13). Investigación - Wikipedia, la enciclopedia libre. visitada: August 21, 2008, desde: http://es.wikipedia.org/wiki/Investigación.