Relação e Função

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Introdução a Função no 1. º ano do Ensino Médio. Produzido por Sirlene Ramos Alkmim.

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Produto : 

Produto Cartesiano

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Par ordenado (x, y): Entendemos por par ordenado um conjunto de dois elementos, sendo: Exemplo: Dados os conjuntos A={2, 3} e B={1, 3, 5}, teremos: A x B = Produto cartesiano: {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)} O primeiro elemento é do conjunto A e o segundo é do B. Essa forma de representação é denominada forma tabular.

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Forma gráfica: A x B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)} {(1, 2), (3, 2), (5, 2), (1, 3), (3, 3), (5, 3)} A = {2, 3} e B = {1, 3, 5} B x A =

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Relação

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Relação Binária: {(2, 2), (2, 4), (2, 5), Seja A = {2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, temos: A x B = Chamamos de relação binária de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B. (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9)} Chamemos uma relação binária R do produto cartesiano A x B, em que y é o consecutivo do dobro de x. R= {(2, 5), A equação y = 2x + 1 é a Lei da relação R. (3, 7), (4, 9)}

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Diagrama de flechas: 2 3 4 6 A B A = {2, 3, 4} e B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} R= {(2, 5), (3, 7), (4, 9)} 2 4 5 7 8 9 D = {2, 3, 4} são os primeiros elementos da relação R. CD = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} são os elementos do conjunto B. Im = {5, 7, 9} são os elementos do conj. B que fazem parte da relação. D = domínio CD = contradomínio Im = imagem

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Exemplo: 1 3 4 A B A = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 9} R= {(3, 2), (4, 3)} 2 3 5 9 D = {3 , 4} são os primeiros elementos da relação R. CD = {2, 3, 5, 9} são os elementos do conjunto B. Im = {2, 3} são os elementos do conj. B que fazem parte da relação. D = domínio CD = contradomínio Im = imagem 7 R

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Exemplo: 1 3 4 A B A = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 8} R= {(2, 1), (8, 7)} 2 3 5 8 D = {2, 5, 8} são os primeiros elementos da relação R. CD = {1, 3, 4, 7} são os elementos do conjunto A. Im = {1, 4, 7} são os elementos do conj. A que fazem parte da relação. 7 (5, 4), R

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Gráfico cartesiano: A = {1, 3, 4, 7} e B = {2, 3, 5, 9} R= {(3, 2), (4, 3)}

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Definição: Função é uma relação binária em que cada elemento x do conj. A corresponde a um único elemento y do conj. B. f: A → B lê-se: f é função de A em B. Sejam A e B conjuntos não-vazios. Exemplos: 1 3 4 A B 2 3 5 a) R1 é uma função de A em B, pois cada elemento do conj. A corresponde a um único elemento do conj. B. R1

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1 3 4 A B 2 3 5 b) R2 é uma função de A em B, pois cada elemento do conj. A corresponde a um único elemento do conj. B. R2 1 3 A B 2 3 5 c) R3 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 do conj. A corresponde a dois elementos do conj. B. R3

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3 A B 2 3 5 d) R4 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 do conj. A corresponde a três elementos do conj. B. R4 1 3 A B 2 3 5 e) R3 não é uma função de A em B, pois o elemento 4 do conj. A não corresponde a um elemento do conj. B. R5 4

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. Quais diagramas representam funções? a) 8 7 6 9 8 7 b) –1 2 4 1 3 c) 3 3 d) 6 –12 12 e) 4 7 2 8 3 f) –2 –3 –1 0 0 A B A B A B A B A B A B Sim Não Sim Não Sim Não

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Sejam os conjuntos: A= {–1, 0, 1, 2, 3} e B= {–3, –2, –1, 0, 1, 2} e a relação R= {(–1, –3), (0, –2), (1, –1), (2, 0), (3, 1)} e –1 0 0 2 R 1 2 –3 –2 –1 1 A B 3

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1 3 4 A B 2 3 5 Considerando uma função f: A→B, temos: f Domínio, Contradomínio e Imagem de uma função: D(f) = A lê-se: o domínio da função f é igual ao conjunto A. CD(f) = B lê-se: o contradomínio da função f é igual ao conjunto B. Im(f) = {2, 3} lê-se: o conj. imagem da função f está contido no CD. D(f) = {1, 3, 4} CD(f) = {2, 3, 5} Im(f) = {2, 3}

Imagem de um elemento: : 

–2.32 –3 –2x2 –3 = Imagem de um elemento: a) Considerando a função f(x)= x + 2, temos: f:(1) = 1 + 2 = 3 (a imagem de 1 pela função f é f(1) = 3) f:(–2) = –2 + 2 = 0 (a imagem de –2 pela função f é f(– 2) = 0) b) Considerando a função f(x)= –2x2 – 3, temos: f:(3) = = –2.9 –3 (a imagem de 3 pela função f é f(3) = – 21) = –18 –3 = –21 f:(–1) = –2.(–1)2 –3 (a imagem de –1 pela função f é f(–1) = – 5) = –2.1 –3 = –2 –3 = –5 x + 2 f:(x) = f:(x) = x + 2 f:(x) = f:(x) = –2x2 –3 =

Raiz ou zero de uma função: : 

Raiz ou zero de uma função: Dada a função f de A em B, chamamos raiz (ou zero) da função todo elemento de A cuja imagem é zero. (portanto 3 não é raiz da função, pois –2.32 –3 f:(–2) = –2 + 2 = 0 (portanto –2 é raiz da função, ou seja, f(– 2) = 0) f:(3) = = –2.9 –3 = –18 –3 = –21 a) Na função f:IR→IR dada por f(x) = x + 2, temos: b) Na função f:IR→IR dada por f(x) = –2x2 – 3, temos:

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No gráfico temos: Os pontos a, b e c são raízes de f. f

Qualidade de uma função: : 

Qualidade de uma função: Função injetora: Exemplo: Dados os conjuntos A= {–1, 0, 1} e B= {–1, 1, 2, 3}, determinar a função f:A→B definida pela lei y = 2x +1. –1 0 1 A B –1 1 2 f 3 x= –1y= 2.(–1) + 1y = –2 +1y= – 1 x= 0y= 2.0 + 1y = 0 +1y= 1 x= 1y= 2.1 + 1y = 2 +1y= 3 OBS: Cada elemento de A corresponde apenas a um elemento em B.

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Função sobrejetora: Seja f uma função de A em B (f:A→B). Dizemos que f é uma função sobrejetora (ou sobrejetiva) se o conj. imagem for igual ao conj. B. Exemplo: Dados os conjuntos A= {–1, 1, 2} e B= {1, 7}, determinar a função f:A→B definida pela lei y= 2x2 –1. –1 1 2 A B 1 7 f x= –1y= 2.(–1)2 – 1y = 2. 1–1y= 2 – 1y= 1 OBS: Cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Im(f) = B ou Im(f) = CD(f) x= 1y= 2.12 – 1y = 2. 1–1y= 2 – 1y= 1 x= 2y= 2.22 – 1y = 2. 4–1y= 8 – 1y= 7

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x= 0y= 2.0 – 1y= 0 – 1y= –1 x= 2y= 2.2 – 1y = 4 –1y= 3 x= 4y= 2.4 – 1y= 8 – 1y= 7 Função bijetora: Seja f uma função de A em B (f:A→B). Dizemos que f é uma função bijetora (ou bijetiva) se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.Neste caso, cada elemento distinto de A corresponde a um elemento distinto em B (injetora) e Im(f) = B (sobrejetora). Exemplo: Dados os conjuntos A= {0, 2, 4} e B= {–1, 3, 7}, determinar a função f:A→B definida pela lei y= 2x –1. 0 2 4 A B –1 3 f OBS: Cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A e cada elemento de A possui uma imagem distinta em B. 7

Domínio de uma função real: : 

Domínio de uma função real: Determinar o domínio de uma função em IR, é determinar o subconjunto de IR, formados por todos os valores de x possíveis, para que as expressões resultem em um número real. Exemplos: Determine o domínio, em IR, das funções: a) b)

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c) x + 2 > 0 x > 0 –2 x > –2 e) 4x + 4 > 04x > –4 Não há restrição. Qualquer n.º real é possível. D(f) = IR f) g) d) x > –1 x > –4/4

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Conforme as atividades a e b, temos O conectivo “e” indica a intersecção das soluções. h)

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Função inversa: Exemplo: Dados os conjuntos A= {1, 2, 3} e B= {6, 7, 8}, sendo f:A→B definida pela lei f(x)= x + 5. Teremos: f= {(1,6), (2, 7), (3, 8)} 1 2 3 A B 6 7 8 f e f-1= {(6, 1), (7, 2), (8, 3)} 1 2 3 A B 6 7 8 f -1 y= x + 5 y= x – 5

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Obtendo a função inversa: Exemplo 1: Seja a função: y= x + 5 na lei de correspondência f:A→B. Troca-se o x por y e vice-versa. Então teremos: x= y + 5 Isola-se o y. x – 5 = y Ou y= x – 5 Lei de correspondência da função f-1. Exemplo 2: Determinar a lei da função inversa de: A lei da inversa é igual a lei da função dada.

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Exemplo 3: Dada a função, calcule f-1(4) de: Primeiro calcula-se f-1(x). Ou seja, Portanto,

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Função composta: Observe as tabelas: f(x)= 0,1x g(x)= 12x h(x)= 1,2x Fazendo a composição das duas tabelas, podemos obter o custo do percurso sem verificar o consumo. Essa lei é obtida fazendo a composição entre as funções g(x) e f(x), ou seja: g o f(x) = g[f(x)] = 12.[f(x)] g o f(x) = 12.(0,1x) h(x) = g o f(x) = 1,2x

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Em diagramas: 10 20 30 A C 12 24 36 1 2 3 B Percurso (km) Custo (R$) Consumo (L) 4 40 48 Observe que CD(f) = D(g) h f g Então: h é g o f (função composta de g com f)

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Exemplos: Dadas as funções f e g de IR em IR determine g o f e f o g: a) f(x)= x + 3 e g(x)= x2 – 5. (g o f)(x)= g[f(x)] (g o f)(x)= [f(x)]2 – 5 (g o f)(x)= [x + 3]2 – 5 (g o f)(x)= x2 +6x + 9 – 5 (g o f)(x)= x2 +6x + 4 (f o g)(x)= f[g(x)] (f o g)(x)= [g(x)] + 3 (f o g)(x)= x2 – 5 + 3 (f o g)(x)= x2 – 2 g o f f o g

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b) f(x)= x + 5 e g(x)= x2 – 1. (g o f)(x)= g[f(x)] (g o f)(x)= [f(x)]2 – 1 (g o f)(x)= [x + 5]2 – 1 (g o f)(x)= x2 +10x + 25 – 1 (g o f)(x)= x2 +10x + 24 (f o g)(x)= f[g(x)] (f o g)(x)= [g(x)] + 5 (f o g)(x)= x2 – 1 + 5 (f o g)(x)= x2 + 4 g o f f o g Dadas as funções f e g de IR em IR determine g o f e f o g:

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Dada a função f de d(f)= IR – {1, 2}, determine f[f(x)]: c) f o f Inverso do n.º

Escola Estadual Professor Levindo Lambert : 

Escola Estadual Professor Levindo Lambert Estruturado por: Sirlene Ramos Alkmim Ano 2009/2010