Slide1: FACULTAD DE INGENIERIA PROFESOR: PABLO LINO O. plino@mail.urp.edu.pe UNIDAD TEMATICA Nº 2: MAGNITUDES, ANALISIS DIMENSIONAL Y SISTEMA DE UNIDADES 16-08-2008


Slide2: LA CIENCIA ES MEDICION Y NO HAY CONOCIMIENTO HUMANO QUE, SI NO ES POSIBLE SU MEDICION PUEDE CONSIDERARSE COMPLETAMENTE CIENTIFICO William Thomson


MAGNITUDES FISICAS: MAGNITUDES FISICAS En la técnica y en la investigación científica existe una diversidad de fenómenos u objetos cuyas características son sujetas a medición. La tensión en una red eléctrica, la viscosidad del aceite lubricante, la elasticidad del acero, el índice de refracción del vidrio, la potencia del motor, la intensidad luminosa, la longitud de la onda electromagnética de la estación de radio, son solamente, algunas magnitudes que se somete a medición en la ciencia y en la técnica


Slide5: Definición de la cantidad (magnitud) física Es una característica de un fenómeno o de un objeto susceptible de ser medido, al cual se le puede asociar un número. Este número se obtiene por medio de la operación que llamamos MEDICION.


Slide6: ESFERA CUBO CILINDRO DESPLAZANDOSE SOBRE UN PLANO INCLINADO


MEDICION: MEDICION Independientemente de los métodos de medición, toda medición de cualquier cantidad física se reduce a la determinación experimental de la relación entre la magnitud a medir y otra semejante, admitida como unidad.


MEDICIONES DIRECTAS E INDIRECTAS: MEDICIONES DIRECTAS E INDIRECTAS En la mayoría de los casos no es la propia magnitud que nos interesa, la que se mide. Frecuentemente, para la medición de una magnitud dada, nos vemos obligados a medir previamente varias otras, con cuyos valores se determina, por calculo, el valor de la cantidad que buscamos. Por ejemplo: Para determinar el volumen de un cilindro, se miden su altura y su diámetro, para medir la velocidad se miden el desplazamiento y el tiempo.


Slide10: BIBIOGRAFIA Beatriz Alvarenga - Antonio Máximo. Física General. 3ra Edición. Harla 1993 Sears. Zemansky. Young. Freedman. Física Universitaria. Undécima edición. Volumen 1. PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004 Separata del profesor RESUMEN N° 1 La Física es una ciencia experimental y como tal tenemos que realizar experimentos que requieren de mediciones cuyos resultados se describen mediante el proceso de medición. Al medir una cantidad, siempre se le comparara con otra cantidad de la misma especie, denominada unidad patrón, dando como resultado un número. Toda cantidad medida es útil, lo que no se mide no tiene utilidad. Toda medición tiene que ser bien hecha, utilizando los instrumentos apropiados.


Slide11: a) Magnitudes fundamentales: se eligen con el objeto de construir un sistema que sea lo mas universal posibles y deben reflejar las propiedades mas generales de la materia. No se definen en termino de otras, esto es, son independientes entre si. b) Magnitudes derivadas: se construyen de varias cantidades fundamentales expresándose mediante relaciones matemáticas. CLASIFICACION DE LAS MAGNITUDES FISICAS Por su origen:


CANTIDADES FUNDAMENTALES SIMBOLO: CANTIDADES FUNDAMENTALES SIMBOLO longitud L masa M tiempo T intensidad de corriente eléctrica I temperatura termodinámica  intensidad luminosa J cantidad de sustancia 


CANTIDADES DERIVADAS: CANTIDADES DERIVADAS Siempre pueden expresarse como el producto de cantidades fundamentales elevadas a una determinada potencia [X] = k La M b T c I d  e J f  g En donde a, b, c, d, e, f, y g son números reales y k es una constante numérica


SLUMP: SLUMP SISTEMA LEGAL DE UNIDADES DE MEDIDA DEL PERU El Sistema Legal de Unidades de Medida del Perú ( SLUMP ), establecido mediante ley 23560 el 31 de diciembre de 1982, adoptó el Sistema Internacional de Unidades ( SI ) como un dispositivo legal que norma todas las actividades de medición y control de acuerdo a las necesidades y posibilidades técnicas del país. Esta ley derogó la ley que establecía el Sistema Métrico Decimal para toda clase de pesas y medidas.


LA ESTRUCTURA DEL SI: LA ESTRUCTURA DEL SI Las unidades del SI se clasifican en las siguientes clases: Unidades de base Unidades suplementarias Unidades derivadas Además se pueden formar múltiplos y submúltiplos


UNIDADES DE BASE DEL SI: UNIDADES DE BASE DEL SI MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s intensidad de corriente eléctrica ampere A temperatura termodinámica kelvin K intensidad luminosa candela cd cantidad de sustancia mol mol


UNIDADES SUPLEMENTARIAS SI: UNIDADES SUPLEMENTARIAS SI ángulo plano radian rad ángulo sólido estereorradián sr


ALGUNAS UNIDADES DERIVADAS (SI) APROBADAS: ALGUNAS UNIDADES DERIVADAS (SI) APROBADAS MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO fuerza newton N presión y tensión pascal Pa trabajo, energía, cantidad de calor joule J potencia watt W frecuencia hetz Hz


Slide19: BIBLIOGRAFIA Beatriz Alvarenga - Antonio Máximo. Física General. 3ra Edición. Harla 1993 Sears. Zemansky. Young. Freedman. Física Universitaria. Undécima edición. Volumen 1. PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004 Separata del profesor RESUMEN N°2 Las mediciones confiables exigen unidades inmutables que los científicos e ingenieros estuvieran de acuerdo y que fuera lógico, reproducible y fácil de usar. Para tal efecto a partir de 1960 se utiliza el Sistema Internacional de unidades, o Sistema Internacional (SI).


DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA: La expresión de una cantidad en términos de las cantidades fundamentales se denomina DIMENSION de la cantidad. Así: [velocidad] = [v] = L/T = LT-1 [aceleración] = [a] = L/T2 = LT-2 [fuerza] = [F] = MLT-2 [densidad] = [D] = M/L3 = ML-3 [energía] = [E] = ML2T-2 DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA


ECUACIONES DIMENSIONALES: ECUACIONES DIMENSIONALES La representación de una ley física en términos de las dimensiones de las cantidades involucradas en la ley, constituye una ECUACION DIMENSIONAL. Por ejemplo: Ley física: x = x0 + v0t + at2/2 Ecuación dimensional: L = L+ (L/T)T + L/T2)T2


PRINCIPIO DE LA HOMOGENEIDAD DE LAS ECUACIONES FISICAS: PRINCIPIO DE LA HOMOGENEIDAD DE LAS ECUACIONES FISICAS Si las dimensiones en ambos lados de una ecuación física son las mismas, se dice que la ecuación física es dimensionalmente homogénea. Si una ecuación física consiste de una suma algebraica de varios términos, la dimensión de todos y cada uno de los términos debe ser la misma.


CANTIDADES ADIMENSIONALES: CANTIDADES ADIMENSIONALES Todos los números reales en sus diferentes formas son cantidades adimensionales () Por ejemplo: [4] =() []=() [sen θ]=() [θ]=() [lna]=() [a]=() [e]=() []=()


Slide24: Cuando en una ecuación física un numero aparece como coeficiente de una cantidad, sin importar cual sea su valor, se le considera como no existente en la ecuación dimensional. Por ejemplo: [½at2] = [at2]=[a][t2]=[a][t]2 Pero cuando el numero aparece como exponente de una cantidad física, entonces debe tenerse en cuenta el valor de este. Así: [t sen30° ] = [t] sen30° =[t]½


CONVERSION DE UNIDADES: CONVERSION DE UNIDADES Muchas veces nos encontramos con el problema de convertir unidades de un mismo sistema o de sistemas diferentes. Como estamos obligados a utilizar el sistema SLUMP o su equivalente el SI, debemos utilizar los factores de conversión entre el SI y cualquier otro sistema.


FACTORES DE CONVERSION: FACTORES DE CONVERSION a) Para la longitud: 1 pie = 30,48 cm 1pulg =2,54 cm 1 milla= 1609 m 1 m = 39,37 pulg b) Para el tiempo: 1 min = 60s 1h = 3600s c) Para la energía: 1 cal = 4,186J 1kWh = 3,6x106J d) Para la presión: 1 Pa = 1N/m2 1 atm = 105 Pa


CIFRAS SIGNIFICATIVAS: CIFRAS SIGNIFICATIVAS En el campo de la Física constantemente estamos realizando mediciones de cantidades físicas, asociándoles un número, el cual se conoce sólo hasta los limites de la incertidumbre. Esta incertidumbre se indica con el número de dígitos que se usa para expresar la cantidad. Mostremos el grado de incertidumbre de una medida con un ejemplo.


Slide28: Midamos la longitud de una barra, utilizando una regla, en donde la menor división de la regla es 1 mm. Observemos que la medida esta comprendida entre 11,4 cm y 11,5 cm


Slide29: La fracción en milímetro que debera aumentarse a 11,4 tendrá que ser aproximado. De la figura apreciamos que la fracción de milímetro estimada es de 5 decimos de milímetro, dando como medida la longitud de la regla de 11,45cm. En esta medidas tengamos en cuenta que: a) Los números 1, 1 y 4 son exactos b) El número 5 es aproximado, no estamos seguros de su valor ( podría ser 4 o 6 ) c) Si escribiéramos como la medida el número 11,456cm podemos afirmar que el numero 6 no tiene significado, por lo tanto no debe aparecer en la medida.


CIFRAS SIGNIFICATIVAS: CIFRAS SIGNIFICATIVAS Las cifras significativas de una medida esta constituido por los números exactos y el primer número dudoso (aproximado). Para nuestro ejemplo el número 11,45 tiene cuatro cifras significativas. El número de cifras significativas de una medida depende del instrumento empleado para su medición.


Slide31: Cuando contamos cifras significativas el numero cero sólo es significativo si está colocado a la derecha de una cifra significativa. Por ejemplo: 0,0024 solo tiene ( ) cifras significativas 500210 tiene ( ) cifras significativas. 2304,0 tiene ( ) cifras significativas 0,000204 tiene ( ) cifras significativas Cuando efectuamos un cambio de unidades debemos tomar en cuenta de no escribir ceros que no sean significativos. Por ejemplo: escribir 2,3kg en gramos. Rpta. 2,3kg=2,3x103g (dos cifras significativas)


Slide32: Ejercicio: Para el dibujo mostrado: ¿Como expresaría la longitud de la barra? ¿cuál es el número correcto en esta medición? ¿Y cual el número aproximado? ¿cuántas cifras significativas tiene su medida?


REGLA DEL REDONDEO: REGLA DEL REDONDEO Si en una expresión numérica se quiere eliminar algunos dígitos, el último número conservado deberá aumentarse en una unidad si el número eliminado contiguo es 5 o superior a 5. Ejemplo: En la expresión 34,256 eliminar los números 5 y 6 Rpta. 34,3


OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS: OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS 1) Adición y Sustracción Supongamos que deseamos sumar las siguientes cantidades. 3504,5 0,0824 45,378 489,25


Slide35: Procedemos de la siguiente forma: a) Determinar cual de las cantidades mostradas tiene el menor número de cifras decimales. b) Las demás se tendrán que modificar de modo que queden con el mismo número de cifras decimales que la primera que se eligió, aplicando la regla del redondeo.


Slide36: Por la regla del redondeo, los números quedan como sigue. 3504,5 0,1 45,4 489,3 Resul. correcto: 4039,3 Ejercicio: Sumar: 213,12+23,2+0,025+450,03 En la sustracción de cantidades se seguirá el mismo procedimiento.


Slide37: 2) Multiplicación y División Regla: El resultado final debe tener el mismo número de cifras significativas que el factor con el menor número de cifras significativas utilizadas en el calculo.


Slide38: Siguiendo la regla, el factor que tiene el menor número de cifras significativas es 3,2 (2cifras), por lo tanto el resultado final sólo debe tener 2 cifras significativas (eliminar los números 8 y 4). Finalmente: 2,62x3,2 = 8,4 ( 8,384 se ha redondeado a 8,4 ) Por ejemplo: multiplicar: 2,62x3,2 2,62x3.2 = 8,384


Slide39: Si tenemos que determinar el area de un triangulo: A = bxh/2 , el número 2 no es el resultado de una medición, por lo tanto no tiene sentido hablar de sus cifras significativas. Ejemplo: si b= 4,5m y h=2,35m Se ha redondeado 5,2875m2 a 5,3m2


SISTEMAS DE COORDENADAS: SISTEMAS DE COORDENADAS 1.- En una dimensión: Sobre una recta orientada de X’ a X, se toma un punto 0 como origen con una graduacion que sera positiva a la derecha de 0 y negativa a la izquierda. X X’ 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 P Q Un punto P o Q se definirá por un sola cifra (positiva o negativa),denominada ABSCISA.


Slide41: 2.- En dos dimensiones: Sobre un plano se dibujan dos rectas orientadas X’X y Y’Y X’ X Y’ Y 0 I II III IV X e Y se denominan ejes coordenados. b) 0 es el origen de coordenadas. c) Por convención, la línea horizontal se denomina eje de las X (ABSCISAS) y la vertical eje de las Y (ORDENADAS) d) Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones, denominados CUADRANTES, marcados como I, II, III y IV


FUNCION: FUNCION Entendemos a la función como una ecuación algebraica entre cantidades físicas, que permite determinar el valor de una de ellas conociendo el valor de las otras. Por ejemplo y = 2 +3x, Y se denota: y = f(x) En donde: x = variable independiente y = variable dependiente


Slide43: La gráfica de una función se utiliza como una manera conveniente de: a) Representar la relación funcional entre dos cantidades físicas b) Obtener la relación funcional (algebraica) a partir del conocimiento de pares ordenados que representen los datos de un experimento.


1.- Función lineal: LA RECTA: 1.- Función lineal: LA RECTA X Y 0  1 x1 y1 (x1,y1)  x2 y2 2 (x2,y2) Consideremos la recta que pasa por los puntos 1(x1,y1) y 2(x2,y2). La ecuación de la recta es del tipo: y = b + mx b = intersección de la recta con el eje Y m = pendiente de la recta  (0,b)


Slide45: m = pendiente de la recta = En donde: X Y m>0 m<0 m=0 b y = b m( no definida) a x = a


2.- Función cuadrática: LA PARABOLA: 2.- Función cuadrática: LA PARABOLA y = ax2 + bx +c En donde: a,b,c  Re y a  0 X Y h k V(h,k) 0 a>0 Nota: el eje de la parábola es paralelo al eje Y V = vértice de la parábola a<0


CLASIFICACION DE LAS CANTIDADES FISICAS SEGÚN SU NATURALEZA: CLASIFICACION DE LAS CANTIDADES FISICAS SEGÚN SU NATURALEZA Cantidades Escalares. Son aquellas cantidades que quedan perfectamente definidas, si se conoce su magnitud, un signo y la unidad de medida. Por ejemplo: La temperatura (-20°C) La energía (100J) La masa (50kg) El volumen (10m3)


Slide48: Cantidades Vectoriales: Son aquellas cantidades que requieren para su completa determinación, conocer su valor numérico (módulo), su dirección y sentido. Por ejemplo: La posición La velocidad La fuerza La aceleración desplazamiento


REPRESENTACION DE UN VECTOR: REPRESENTACION DE UN VECTOR a) Gráficamente: Mediante una flecha. A P Q módulo dirección sentido Módulo: longitud de la flecha Dirección: definida por la recta a lo largo de la cual se encuentra flecha. Sentido: definido por la orientación de la flecha


Slide50: b) Literalmente: Mediante un símbolo sobre el cual se dibuja una flecha: ó en negrita A La magnitud (módulo), se designa por: ó A Y es un escalar siempre positivo


ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS VECTORES: ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS VECTORES 1.- IGUALDAD DE VECTORES: Dos vectores A Y B son iguales si tienen el mismo modulo, la misma dirección y el mismo sentido. θA = θB A = B


Slide52: A B C A B C S=A+B+C A B  A B S=A+B  2.- SUMA DE VECTORES


3.-NEGATIVO DE UN VECTOR: 3.-NEGATIVO DE UN VECTOR El negativo de un vector A se define como aquel vector (-A) que sumado al vector A da el vector nulo: A+(-A) = 0 Los vectores A y -A tienen el mismo modulo, la misma dirección pero son de sentido contrarios.


5.-PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: 5.-PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Sea “m” el escalar y A el vector, el producto se expresa como: m A a) si m>0 A 2A 0,5A A -2A -0,5A mA es en vector que tiene la misma dirección y sentido que A. mA es un vector que tiene la misma dirección pero de sentido contrario que el vector A. b) Si m<0


VECTORES UNITARIOS: VECTORES UNITARIOS De la definición de un escalar por un vector, podemos afirmar que cualquier vector A se puede expresar en la forma: A = AμA A A


Slide56: En donde: A es el modulo del vector A. A es un vector de módulo igual a la unidad con la misma dirección y sentido que el vector A. También: A = A /A ( vector unitario) X Y i j i = vector unitario en la dirección +X j = vector unitario en la dirección +Y


COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR: COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR x y A Ax Ay x y A Ax Ay De la grafica se observa que: Utilizando el concepto de Vector unitario, tenemos: Por lo tanto:  1.- EN EL PLANO


Slide58: 2.- EN EL ESPACIO x y z A Ax Ay Az x y z A Ax Ay Az De la grafica se observa que: A = Ax + Ay + Az En función de la vectores unitarios: A = Axi + Ayj + Azk


PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES El producto escalar de dos vectores A y B se representa por AB y se define por la magnitud escalar: AB=AB cos, Siendo  el menor angulo formado entre ellos. Si A =Axi + Ayj+Azk y B =Bxi + Byj + Bzk Se demuestra que: AB=ABcos= AxBx + AyBy +AzBz


PROPIEDADES DE PRODUCTO ESCALAR: PROPIEDADES DE PRODUCTO ESCALAR 1.- Es conmutativo: AB=BA 2.- Es distributivo: A(B+C)=AB+AC 3 ii = jj = kk = 1 ij = jk = ki = 0 Observe que si: AB = 0  AB También :AB = Ax(proyección de B sobre A)


PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES: PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectorial de dos vectores A y B se representa por: AxB y se define como el vector cuyo módulo es:  AxB=AB sen. En donde  es el menor ángulo formado por A y B. La dirección de AxB es perpendicular al plano formado por A y B.


Slide62: Su sentido está dado por la regla de la mano derecha: Regla de la mano derecha: Coloque los dedos de la mano derecha en el primer vector manteniendo el pulgar levantado, haga girar los dedos hacia el segundo vector a través del menor angulo entre ellos. El pulgar extendido indica el sentido del producto vectorial.


Slide63: A B Φ C=AxB C=AxB C’ =BxA PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1.- No es conmutativo: AxB = -BxA 2.- Es distributivo: Ax(B+C) = AxB + AxC 3.- ixi = jxj = kxk = 0 ixj = k jxk = i kxi = j h


Slide64: PRODUCTO VECTORIAL