GAUSOVA RASPODELA: GAUSOVA RASPODELA Oznaka predmeta: MK210 Naziv predmeta: PRINCIPI PRODAJE Predavanje br. 1 Čas: 2 Trajanje: 45 min Nastavna jedinica: Gausova raspodela Nastavna tema: Matematičke osnove Pripremio: Petar Kočović Copyright © Fakultet informacionih tehnologija, Beograd. Kopiranje i umnožavanje nije dozvoljeno.


Istorijat normalne raspodele: Istorijat normalne raspodele Binomna raspodela se koristi za rešavanje problema kao što je: “Ako se novčić baci 100 puta, koja je verovatnoća da će se pojaviti 60 glava?” Verovatnoća da se pojavi tačno x glava od N bacanja se izračunava iz formule: P(x) = N!/(x!(N−x)!)


Verovatnoća pojave glave pri bacanju novčića: Verovatnoća pojave glave pri bacanju novčića πx(1−π) N−x pri čemu je x - broj glava (60) N - broj bacanja (100) π je verovatnoća da će se pojaviti glava (0.5)


Abraham de Moivre (26. 5. 1667 Vitry-le-François, Champagne, France – 27. 11. 1754, London): Abraham de Moivre (26. 5. 1667 Vitry-le-François, Champagne, France – 27. 11. 1754, London) Abraham de Moivre je statističar iz 18 veka Konsultant kockara koji su ga često zvali da im obavi dugačka izračunavanja Moivre je primetio da kada se broj događaja (bacanje novčića) poveća, izgled binomne krive je veoma gladak


Binomna raspodela za 2 bacanja: Binomna raspodela za 2 bacanja


Binomna raspodela za 4 bacanja: Binomna raspodela za 4 bacanja


Binomna raspodela za 12 bacanja: Binomna raspodela za 12 bacanja


Veza između binomne raspodela i normalne raspodele: Veza između binomne raspodela i normalne raspodele


Gausova kriva: Gausova kriva Zakonitost su prvi opisali matematičari Adrian 1808 i Gauss 1809 godine. Johann Carl Friedrich Gauss (30. 4. 1777. – 23. 2. 1855)


Centralna granična teorema: Centralna granična teorema Istu raspodelu otkrio je francuski matematičar Pierre Simon Laplace (23. 3. 1749 – 5. 3. 1827) kao deo njegove vrlo važne centralne granične teoreme.


Srednja vrednost: Srednja vrednost Srednja vrednost (aritmetička sredina)


Srednja vrednost za negrupisane podatke (populaciju): Srednja vrednost za negrupisane podatke (populaciju) ∑x , suma svih vrednosti - N je populaciona veličina, - µ je populaciona srednja vrednost,


Srednja vrednost za grupisane podatke: Srednja vrednost za grupisane podatke ∑x , suma svih vrednosti n - je veličina uzorka, x - srednja vrednost uzorka. Interval je 10, sredina intervala je 5


Medijana: Medijana Medijana je srednja vrednost u skupu podataka koji se rangira u rastućem poretku. Merenje medijane mora podeliti u 2 koraka: Rangiranje datog skupa u rastući poredak Nalaženje srednje vrednosti.


Primer izračunavanja medijane: Primer izračunavanja medijane 9,693 10,007 11,548 18,296 75,275 Medijana =11,548


Moda: Moda U statistici moda predstavlja broj koji se najviše puta javlja u skupu podataka. Primer 1: Skup predstavlja broj godina koji su pojedini radnici proveli u nekoj kompaniji. 11 9 13 6 8 9 20 3 Moda je 9 jer se ponavlja 2 puta. Primer 2: 1 2 3 3 4 4 U tom slučaju za modu bi uzeli i 3 i 4.


Veza između mode, medijane i srednje vrednosti za Gausovu raspodelu: Veza između mode, medijane i srednje vrednosti za Gausovu raspodelu


Varijansa i standardna devijacija: Varijansa i standardna devijacija Standardna devijacija je najčešće korišćena mera u disperziji. Vrednost standardne devijacije govori nam koliko su vrednosti u skupu podataka udaljene od srednje vrednosti. Standardna devijacija se dobija tako sto se uzme pozitivna vrednosti varijanse σ2. Varijansa za populacione podatke se obeležava σ2 , a za uzorke s2.


Formule za izračunavanje standardne devijacije: Formule za izračunavanje standardne devijacije Za populacione podatke Za uzorke Vrednost x -µ ili x – x se zove devijacija vrednosti x od srednje vrednosti.


Standardne devijacije: Standardne devijacije Populaciona standarna devijacija Standardna devijacija uzorka


Primer: Primer Neka su srednje ocene nekog istraživanja: 82, 95, 67 i 92 Treba naći .


Primer: Primer s=8.19


Koficijent varijacije: Koficijent varijacije Koeficijent varijacije (ubuduće CV) predstavlja standardnu devijaciju kao procenat medijane i računa se na sledeći način: - Za populacione podatke: - Za podatke uzoraka:


Primer: Primer U sledećem primeru imamo godišnje plate svih radnika čija srednja vrednost iznosi 42,350$, a standardna devijacija je 3,820$. Godine školovanja svakog radnika imaju središnu vrednost 15 godina i standardnu devijaciju 2 godine. Da li je relativna varijacija plata veća nego relativna varijacija školovanja radnika?


Rešenje: Rešenje CV za plate: CV za godine školovanja: Odavde se vidi da je koeficijent varijacije školovanja manji od koeficijenta varijacije plata.


Neprekidne slučajne promenljive i verovatnoće njihovih raspodela: Neprekidne slučajne promenljive i verovatnoće njihovih raspodela Stalna slučajna promenljiva je slučajna promenljiva čija se vrednost ne može prebrojati. Neprekidna slučajna promenljiva može da uzme bilo koju vrednost iz zadatog intervala. Pošto je broj vrednosti intervala beskonačan, tako je i broj vrednosti u intervalu za promenljivu takođe beskonačan


Primer: Primer


Verovatnoća gustine funkcije: Verovatnoća gustine funkcije


Normalna raspodela : Normalna raspodela


Standardna normalna raspodela : Standardna normalna raspodela e = 2.71828, a π = 3.14159.


Funkcija greške: Funkcija greške


Slučaj 1: z=0, z=1.95: Slučaj 1: z=0, z=1.95 P(0

Slučaj 2: z=-2.17 i z=0. : Slučaj 2: z=-2.17 i z=0. P(-2.17

Slučaj 3: Desno od vrednsoti z=2.32: Slučaj 3: Desno od vrednsoti z=2.32 P(x>2.32)=0.5-0.4898=0.0102


Slučaj 4: Levo od vrednosti z=-1.54: Slučaj 4: Levo od vrednosti z=-1.54 P(x>2.32)=0.5-0.4382=0.0618


Slučaj 5: za vrednosti između z=1.19 i z=2.12: Slučaj 5: za vrednosti između z=1.19 i z=2.12 1) za intarval od 0 do 1.19 = 0.3830 2) za interval od 0 do 2.12=0.4830. P(1.19

Slučaj 6: za vrednosti između z=-1.56 i z=2.31: Slučaj 6: za vrednosti između z=-1.56 i z=2.31 P(-1.56

Slučaj 7: desno od vrednosti z>-0.75: Slučaj 7: desno od vrednosti z>-0.75 P(z>-0.75)=P(-0.750)=0.2734+0.5=0.7734


Funkcija greške: Funkcija greške Razvijanjem u Taylorov red dobija se:


Standardizovanje normalne raspodele: Standardizovanje normalne raspodele


Zakon 6 SIGMA: Zakon 6 SIGMA