2 2 TRIANGULOS CUADRILATEROS Y POLIGONOS SEGUNDO

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TRIÁNGULOS CUADRILÁTEROS POLÍGONOS Triángulos y cuadriláteros

Triángulos y cuadriláteros: 

Triángulos y cuadriláteros Triángulos: Se llama triángulo al polígono de tres lados Clasificación Clasificación según sus lados Triángulo equilátero : los tres lados iguales Triángulo isósceles : dos lados iguales Triángulo escaleno : los tres lados diferentes Clasificación según sus ángulos Triángulo rectángulo : Un ángulo recto Triángulo acutángulo : Tres ángulos agudos Triángulo obtusángulo : Un ángulo obtuso Oblicuángulos

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Triángulos y cuadriláteros A B C a c b c´ A B C Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia. a - b < c < a + b Propiedades

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Triángulos y cuadriláteros Triángulos: rectas y puntos notables (I) Alturas Son las perpendiculares trazada a los lados desde el vértice opuesto Ortocentro Oc Punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. Medianas Son las rectas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto Baricentro Bc Punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo hb ha hc *Obtener el Oc en un triángulo rectángulo y en otro obtusángulo mb ma mc Oc Bc

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Triángulos y cuadriláteros Triángulos: rectas y puntos notables (II) Mediatrices Son las perpendiculares trazadas a los lados por su punto medio Circuncentro Cc Punto donde se cortan las tres mediatrices de un triángulo. Centro de la Circunferencia circunscrita al triángulo. Bisectrices Son las rectas que dividen cada ángulo en dos partes iguales Incentro Ic Punto donde se cortan las tres bisectrices de un triángulo. Centro de la Circunferencia Inscrita en el triángulo. mdc mdb mda Cc Ic wc wb wa

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El Circuncentro, Cc, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Equidista de los vértices. El Ortocentro, Oc, es el incentro del triángulo ortico. El Incentro, Ic, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Equidista de los lados. El Baricentro, Bc, es el centro de gravedad del triángulo. Divide a las medianas en dos partes, una el doble que la otra. Triángulos y cuadriláteros

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A B C c a b d e f Ia Ib Ic Triángulos y cuadriláteros Las tres bisectrices exteriores de un triángulo se cortan en tres puntos, que son los centros de las tres circunferencias EXINSCRITAS CIRCUNFERENCIAS EXINSCRITAS Los puntos Ia, Ib, Ic se llaman EXINCENTROS

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A B C c a b hc hb ha S T R Si unimos los pies de las tres alturas de un triángulo, obtenemos el TRIÁNGULO ÓRTICO del triángulo dado Triángulos y cuadriláteros Si el triángulo es acutángulo, las bisectrices del órtico coinciden con las alturas del triángulo ABC. El Ortocentro del triángulo, coincide con el Incentro de su órtico.

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Si unimos los puntos medios de los lados de un triángulo , obtenemos el TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO Los lados del complementario de un triángulo son paralelos a los del primero, y de valor la mitad. Se denomina triángulo suplementario de otro dado, al que se obtiene dibujando paralelas a los lados por los vértices opuestos respectivos. Triángulos y cuadriláteros En la figura, DEF es complementario del ABC, y este es suplementario del anterior. Si un triángulo es complementario de otro, este es suplementario del anterior.

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Triángulos y cuadriláteros Si unimos los pies de las tres perpendiculares trazadas desde un punto interior P a los lados, obtenemos el TRIÁNGULO PODAR

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Triángulos y cuadriláteros RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS (I) Tb Ta Tc Relación de los segmentos determinados por los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados del triángulo

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Triángulos y cuadriláteros RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS (II) Relación de los segmentos determinados por los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas con los lados del triángulo B´ A´ C´ La distancia desde un vértice hasta los puntos de tangencia de la circunferencia exinscrita al lado opuesto, en la prolongación de los otros dos es igual al semiperímetro p

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Triángulos y cuadriláteros RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS (III) Segmentos determinados por los puntos de tangencia de las circunferencias inscrita y exinscritas en los lados del triángulo

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Triángulos y cuadriláteros wb M Wb RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS (IV) Relación entre las bisectrices y los lados Aplicando el Teorema de Thales a los triángulos ABWb y CWbN, que son semejantes: La bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados concurrentes con ella

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Triángulos y cuadriláteros RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS (IV) Relación entre las bisectrices y las mediatrices. mc P wc M La bisectriz de un ángulo de un triángulo y la mediatriz del lado opuesto se cortan en el mismo punto de la circunferencia circunscrita al triángulo. Dicho punto es el punto medio del arco que abarca el lado opuesto.

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Circunferencia de los 9 puntos (o de Feuerbach) Triángulos y cuadriláteros La Circunferencia de los nueve puntos, o de Feuerbach, de un triángulo pasa por los tres puntos medios de los lados Ma, Mb, Mc, los tres pies de las alturas Ha, Hb, Hc y los tres puntos medios entre el ortocentro y los vértices P, Q, R Su centro está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentro y del circuncentro. Para ver la demostración y ampliar conocimientos http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Circunferencia9P.html

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Triángulos y cuadriláteros Construcción de triángulos ( 1 ) Para construir un triángulo se necesitan 3 datos. Si el triángulo tiene una condición particular (isósceles o rectángulo), un dato es implícito, y si tiene dos condiciones particulares (equilátero o rectángulo isósceles), son dos los datos implícitos. Como en todo ejercicio de geometría, a la hora de resolver un triángulo, es conveniente hacer una figura de análisis en la que se suponga el problema resuelto, identificar los datos y deducir el procedimiento geométrico que lleve a la solución.

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Triángulos y cuadriláteros Construcción de triángulos ( 2 ) A continuación se realizan algunos de los casos más sencillos

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Triángulos y cuadriláteros Resolución de triángulos ( 1 ) Construir un triángulo conociendo sus tres lados 1. Sobre una recta se toma uno de los lados 2. Con centro en A y radio igual al segundo lado,b, se traza un arco 3. Con centro en B y radio igual al tercer lado,a, se traza otro arco Construir un triángulo equilátero conociendo la altura 1. Se divide la altura en tres partes iguales 2. Con centro en C y radio CB se traza una circunferencia 3. Por el punto A se traza la perpendicular a la altura AB a b c h c a b

Triángulos y Cuadriláteros: 

Triángulos y Cuadriláteros 1. Sobre una recta r se toma uno de los lados, en este caso a 2. Trazamos una recta perpendicular a r, y sobre ella llevamos el valor de la altura ha. 3. Dibujamos una recta s, paralela a r. Construir un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa a y la suma de los catetos b + c 1. Llevamos sobre una recta, el valor de la suma de los catetos b+c. 2. En el punto P,extremo de b+c, construimos un ángulo de 45º , obteniendo la recta s. 3. Desde el otro extremo C, llevamos con el compás el valor de la hipotenusa a, obteniendo el vértice B. Resolución de triángulos ( 2 ) B C a ha s r M A ma b + c C B A a b c P 45º 4. Dibujamos la mediatriz del lado a, obteniendo el punto medio M. 5. Llevando desde M, el valor de la mediana ma, obtenemos el vértice restante A s 4. Desde el punto B hallado, trazamos la perpendicular a b+c, obteniendo el vértice A. Construir un triángulo conociendo un lado a, la altura sobre ese lado ha y la mediana del lado a ma.

Triángulos y Cuadriláteros: 

Triángulos y Cuadriláteros Resolución de triángulos ( 3 ) perímetro a+b+c M N h A a b c L C B Construir un triángulo isósceles conociendo el perímetro a+b+c, y la altura ha que parte del vértice desigual. 1. Sobre una recta r, llevamos la medida del perímetro dado MN. 2. En el punto medio de MN, levantamos la altura h dada, obteniendo el vértice desigual A. 3. Unimos el vértice A obtenido con los extremos del perímetro M y N. 4. Dibujamos las mediatrices de AM y AN, obteniendo los vértices iguales C y B respectivamente.

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Triángulos y cuadriláteros Cuadriláteros: clasificación Paralelogramos Cuadrado Rectángulo Rombo Trapecios Isósceles Rectángulo Escaleno Romboide Trapezoide Se llama Cuadrilátero al Polígono de cuatro lados

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Triángulos y cuadriláteros Elementos de un cuadrilátero

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PROPIEDADES DE LOS CUADRILÁTEROS Triángulos y Cuadriláteros Q

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Triángulos y Cuadriláteros Construcción de cuadriláteros ( 1 ) Para la construcción de un cuadrilátero se necesitan 5 datos. No obstante, por las características particulares de algunos, los datos van implícitos. Por ejemplo, un romboide se resuelve con tres datos o un cuadrado con uno. Los procedimientos de construcción más habituales son : Casos directos : en los que nos dan los lados, diagonales, ángulos o alturas, de manera que para su construcción sólo se precisa transportar los datos. Por lugares geométricos: Se resuelven por lugares geométricos sencillos (Mediatrices, bisectrices, etc.) Por aplicación de alguna propiedad o transformación geométrica (Traslación, simetría, giro, homotecia).

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Triángulos y Cuadriláteros Como en todo ejercicio de geometría, a la hora de resolver un cuadrilátero, es conveniente hacer una figura de análisis en la que se suponga el problema resuelto, identificar los datos y deducir el procedimiento geométrico que lleve a la solución.

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Triángulos y Cuadriláteros T. Isósceles - Datos: B (Base mayor), l( lado igual), h (altura) T. isósceles - Datos: B +b (Suma de bases), l (lado igual), d (diagonal) T. Isósceles-Datos: B (Base mayor), l (lado igual), Angulo A T. isósceles -Datos: R (radio de la circunferencia circunscrita), l (lado igual), h (altura) T. escaleno – Datos : B (Base mayor), b (Base menor), h (altura), l (lado)

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Triángulos y Cuadriláteros T. escaleno- Datos: B (Base mayor), b ( base menor), l1 (un lado ), d1 (diagonal) T. escaleno – Datos : B (Base mayor), b (base menor), Â y (Angulos A y B) T. escaleno – Datos : B+b (Suma de las bases), d1, d2 (diagonales), Â (Angulo A) Datos: a, b (lados), , , (Ángulos). A continuación se realizan algunos de los casos más sencillos

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Triángulos y cuadriláteros Construcción de cuadrados Construir un cuadrado conociendo el lado Construir un cuadrado conociendo la diagonal 1. Sobre una recta se dibuja el lado 2. Por A se dibuja la perpendicular 3. Con centro en A y radio AB se dibuja un arco 4. El cuarto vértice se halla trazando arcos de radio AB 1. Se dibuja la diagonal 2. Se traza la mediatriz de AC 3. Se dibuja la circunferencia de diámetro AC

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Triángulos y cuadriláteros Construcción de rectángulos Construir un rectángulo conociendo un lado y la diagonal Construir un rectángulo conociendo la suma de los lados y la diagonal 1. Se dibuja la diagonal AC 2. Se dibuja la circunferencia de diámetro AC 3. Con centros en A y C y radio el lado se trazan dos arcos 1. Se dibuja el segmento AE igual a la suma 2. Por un extremo se traza una recta a 45º 3. Con centro en A y radio la diagonal, se traza un arco 4. Por C se traza la perpendicular a AE 5. El cuarto vértice se halla trazando arcos

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Triángulos y cuadriláteros Construcción de rombos Construir un rombo conociendo el lado y una diagonal Construir un rombo conociendo un ángulo y su diagonal 1. Se dibuja la diagonal AC 2. Con centro en A y radio el lado se dibuja un arco 3. Con centro en C y radio el lado se dibuja otro arco 1. Se construye el ángulo dado 2. Se traza la bisectriz del ángulo 3. Sobre la bisectriz se traslada la diagonal 4. Por C se trazan paralelas a los lados del ángulo

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Triángulos y cuadriláteros Construcción de romboides Construir un romboide conociendo sus lados y un ángulo Construir un romboide conociendo sus lados y la altura 1. Se dibuja el ángulo dado 2. Sobre los lados del ángulo se transportan las dimensiones de los lados 3. El cuarto vértice se halla trazando dos arcos de radio igual a los lados 1. Se dibuja el lado AB 2. Se traza la perpendicular al lado AB 3. Sobre la perpendicular se traslada la altura 4. Por E se traza la paralela a AB 5. Con centros en A y B y radio el otro lado se trazan dos arcos

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Triángulos y cuadriláteros Construcción de trapecios Construir un trapecio escaleno conociendo los cuatro lados Construir un trapecio escaleno conociendo sus bases y sus diagonales 1. Se dibuja el primero de los lados AB 2. Sobre AB se traslada el lado opuesto CD 3. Con centro en E y radio igual al lado AD se dibuja un arco 4. Con centro en B y radio igual al lado BC se dibuja un arco 5. Con centro en A y C y radios EC y AE respectivamente se dibujan dos arcos 1. Se dibuja una de las bases AB 2. Al lado AB se le suma el lado opuesto 3. Con centro en A y radio la diagonal AC, y centro en E y radio la otra diagonal BD se dibujan dos arcos 4. Por C se traza una paralela a la base AB 5. Con centro en B y radio BD se dibuja un arco, obteniendo D. CD CD

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Polígonos regulares POLÍGONOS REGULARES

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Polígonos regulares POLÍGONOS : Porción de plano limitada por rectas que se cortan

Polígonos regulares: 

Polígonos regulares Definición y clasificación Definición Es la porción de plano limitada por líneas rectas que se cortan. Si sus lados y sus ángulos son iguales se llama REGULAR, en caso contrario se llama IRREGULAR. Clasificación Triángulo equilátero: 3 lados Cuadrado: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono: 9 lados Decágono: 10 lados Undecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono: 15 lados Líneas notables AB: Lado R: Radio a: Apotema h: Altura d’: Diagonal p: Perímetro Si tiene sus vértices sobre una circunferencia se llama INSCRITO, si tiene sus lados tangentes a una circunferencia, se llama CIRCUNSCRITO. INSCRITO CIRCUNSCRITO

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Polígonos regulares PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS P. REGULARES CONVEXOS El ángulo interior de un polígono regular convexo vale an = 180 (n-2) / n El número de diagonales es N = n( n-3) / 2 En un polígono de n lados podemos formar (n-2) triángulos. El ángulo central de un polígono regular convexo vale 360º / n El ángulo exterior de un polígono regular convexo vale 360º / n

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Polígonos regulares Polígono de 3, 6 ó 12 lados, conociendo el radio Hexágono Triángulo equilátero Dodecágono Dibujamos en primer lugar la circunferencia en que estará inscrito el polígono. Otros polígonos: Con centro en A y G se trazan dos arcos del mismo radio

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Polígonos regulares Polígono de 4 y 8 lados, conociendo el radio Cuadrado Otros polígonos Se traza la mediatriz del diámetro AE Octógono

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Polígonos regulares Polígono de 5 ó 10 lados, conociendo el radio Pentágono Otros polígonos 2. Con centro en M y radio MA se traza un arco. AN es el lado del pentágono 3. Con centro en A y radio AN se traza otro arco 1. Se traza la mediatriz del radio OL Decágono

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Polígonos regulares Polígono de 7 ó 14 lados, conociendo el radio Heptágono Otros polígonos Se traza la mediatriz del radio OA Polígono de catorce lados

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Polígonos regulares Polígono de 9 lados, conociendo el radio Eneágono 2. Con centro en J y radio JL se traza otro arco 1. Con centro en K y radio KO se traza un arco 3. Con centro en M y radio MK se traza otro arco 4. AN es el lado del eneágono

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Polígonos regulares Polígono de n lados, conociendo el radio (Método aproximado) 1. Se divide el diámetro en n partes ( en el ejemplo 11 partes) 2. Con centro en A y radio AL se traza un arco 3. Con centro en L y radio AL se traza un arco 4. Se une M con el punto número 2 (SIEMPRE) 5. AB es el lado del polígono

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Polígonos regulares O Polígono de 15 lados, a partir del hexágono y decágono inscritos.

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Polígonos regulares Polígono de 5 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Por B se traza la perpendicular a AB 3. Con centro en B y radio AB se traza un arco hasta G 4. Con centro en F y radio FG se traza otro arco hasta H 5. Con centro en A y radio AH se traza un tercer arco HD. 6. El vértice E se halla trazando dos arcos de radio AB desde A y D . 7. El vértice C se halla trazando dos arcos de radio AB desde B y D.

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Polígonos regulares Polígono de 7 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Por B se traza la perpendicular a AB 3. Con vértice en A se construye un ángulo de 30º 4. Con centro en A y radio AH se traza un arco 5. Con centro en O y radio OA se dibuja una circunferencia

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Polígonos regulares Polígono de 8 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Con centro en I y diámetro AB se traza una circunferencia 3. Con centro en J y radio JB se traza otra circunferencia 4. Con centro en O y radio OA se traza una tercera circunferencia 5. Los vértices se hallan trazando arcos de radio AB

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Polígonos regulares Polígono de 9 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Con centro en A y radio AB se traza un arco 3. Con centro en J y radio JB se traza otro arco 4. Con centro en K y radio KJ se traza un tercer arco 5. Se traza la mediatriz de AF 6. Con centro en O y radio OA se traza una circunferencia 7. Los vértices se hallan trazando arcos de radio AB

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Polígonos regulares ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE 3, 6 Y 12 LADOS

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Polígonos regulares A B ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE 4, 8 Y 16 LADOS

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Polígonos regulares ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE 5, 10 Y 20 LADOS

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Polígonos regulares ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE 7 Y 14 LADOS

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Polígonos regulares ESTUDIO DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE 9 Y 18 LADOS

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Polígonos regulares Polígono de n lados, conociendo el lado 1. Se construye un polígono de n lados de radio arbitrario 2. Sobre la recta LQ se lleva el valor del lado 3. Por R se traza la paralela a OL 4. Se traza la circunferencia de centro O y radio OB 5. Los vértices se hallan trazando arcos de radio AB

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Polígonos regulares Polígonos estrellados (I) 1. Se divide la circunferencia en un número de partes iguales 2. Se unen los vértices de manera no consecutiva El número de polígonos estrellados que hay de un determinado número de vértices es el siguiente: Siendo: v: Número de vértices p: Número de polígonos estrellados n: Forma de unir los vértices El trazado debe comenzar en un vértice y, recorriendo todos, debe cerrar en el que se comenzó

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Polígonos regulares Polígonos estrellados (II) Eneágono regular estrellado Existen dos polígonos regulares estrellados de nueve vértices: 1. Uniendo los vértices de dos en dos 2. Uniendo los vértices de cuatro en cuatro