Distribucion espacial de coeficientes de un polinomio elevado a la m

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Distribucion espacial de coeficientes de un polinomio elevado a la m

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DISTRIBUCION ESPACIAL DE COEFICIENTES DE UN POLINOMIO ELEVADO A LA m : RESUMEN : … − : − : Y ………… MAS

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Resumen de resultados sobre la distribución espacial de coeficientes Binomiales Trinomiales Tetranomiales Pentanomiales y Polinomiales Coeficientes Binomiales: Se corresponden con la distribución de números o coeficientes que resultan de la expansión de las potencias sucesivas de un binomio elevado a una potencia k como 1 + 2 cuando k varia de cero a n. Se despliegan en líneas paralelas que normalmente agrupamos en un plano triangular isósceles rectángulo ∆ que podemos ubicar en el plano coordenado cartesiano con un vértice en el origen de coordenadas 0 y los dos lados iguales apoyados sobre los ejes 0X+ y 0Y+respectivamente .Este agrupamiento es conocido como triángulo de Pascal. Las filas del triángulo se numeran de arriba abajo tal como sea el valor de k y los términos de la fila n son los coeficientes que corresponden al desarrollo del binomio 1 + 2 o binomio de Newton. Estos coeficientes se denominan coeficientes binomiales y se denotan usualmente como: − −1 −2… − +1 1.2.3… Como es conocido la expresión se denomina número combinatorio y representa el n⁰ de combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto tomados de m en m de tal manera que todos los grupos resultantes se diferencien entre sí al menos en un elemento combinaciones simples sin repetición y por ende el orden de los elementos en el grupo no hace diferenciación alguna.Por conveniencia en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar para nuestros fines hemos incluido el valor 1 en el vértice superior del triángulo de manera de incluir el caso trivial 1 + 2 0 1 correspondiente a k0 y al combinatorio 0 0 1. Así aparece en la fila cero 0 el coeficiente 1 como único elemento. Una identidad fundamental e inmediata de estos números es − implícita en su propia definición. La expresión analítica en términos combinatorios para una fila genérica n está dada por: … − con 012… Aquí − 0 Donde m es la potencia a la que se eleva el binomio n es la fila considerada − representa el nivel o altura sobre el eje zeta

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0 Filas 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 3 1 3 1 4 6 4 1 4 1 5 10 10 5 1 5 1 6 15 20 15 6 1 6 + + Representación de ∆ para m012345 y 6 sobre el plano 0XY+ Coeficientes Trinomiales: Si sobre cada uno de los tres semiplanos coordenados positivos construimos el triangulo de Pascal ∆ correspondiente a los coeficientes del desarrollo de potencias del binomio hasta un determinado valor de m cada uno con m+1 filas paralelas queda determinado un sólido regular interior conocido como tetraedro o pirámide de Pascal cuyo vértice coincidirá con el origen de coordenadas y cuyos caras serán los tres triángulos isósceles rectángulos correspondientes a los triángulos de Pascal previamente construidos mientras que su base está constituida por un triángulo equilátero cuyos lados iguales corresponden a las filas m+1 de los ∆ base que resulta sesgada un ángulo aproximado de 5474° arctg √2 con respecto a los planos coordenados. En dicha área triangular se ubica la distribución de coeficientes trinomiales para el mismo caso de m considerado .Ver figuras Los coeficientes trinomiales como un todo se despliegan en el área triangular que hemos denominado ∆ triángulo de coeficientes trinomiales.Estos coeficientes también se organizan por filas dentro de dicho triángulo y la expresión analítica para obtener los coeficientes de una fila genérica n está dada por: − − − Con: 012… e 012… Donde m es la potencia a la que se eleva el trinomio n es la fila considerada − representa el nivel o altura sobre el eje zeta Nótese que para mn resulta: . coeficientes Binomiales A continuación algunos ejemplos de construcción de ∆ en los planos coordenados:

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Representación de ∆ para los casos de m123 y 4 También hemos desarrollado un método gráfico directo y sencillo para la determinación de la distribución de coeficientes en ∆ para el caso m+1 a partir del caso previo m Este método lo hemos denominado “Diagramas de Colmena” por su semejanza con la habilidosa arquitectura constructiva de las abejas y avispas. A continuación se muestra la aplicación del método para los casos 123 4

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DIAGRAMAS DE COLMENAS Caso de partida Operaciones + + Caso de llegada

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Coeficientes Tetranomiales: Para el caso de un tetranomio elevado a la potencia m entero positivo hemos encontrado que los coeficientes del desarrollo de 1 + 2 + 3 + 4 se distribuyen espacialmente en las caras aristas y vértices de un tetraedro principal T.P y un tetraedro secundario T.S. y que para los casos en que m es múltiplo de 4 aparece también un tetraedro punto o singularidad adicional. Características de esta distribución tetraédrica:  El tetraedro principal T.P. tiene como base justamente el triángulo equilátero de coeficientes trinomiales ∆ para el mismo caso de m considerado y cada una de sus caras también se corresponde con dicho ∆ .  Como consecuencia los coeficientes de una fila n genérica de cualquiera de sus caras incluyendo su base responden a la expresión ya determinada para obtener los coeficientes trinomiales de una fila cualquiera de ∆ − Con: 012… e 012… Donde m es la potencia a la que se eleva el tetranomio n es la fila considerada − representa el nivel o altura sobre el plano base ∆  El tetraedro secundario T.S. y las singularidades si las hay sólo aparecen a partir de 4 y sus coeficientes que podríamos denominar como los “coeficientes verdaderamente Tetranomiales” que estén distribuidos en la fila n de una cualquiera de sus caras responden a la expresión: − + + + − + con i012…n ≥ +3 luego la expresión es válida sí − ≥3  Dichos tetraedros principal T.P. y tetraedro secundario T.S. más la singularidad cuando se presenta deben combinarse en un solo tetraedro que podemos denominar Tetraedro Suma T.Suma o prisma tetraédrico con las particularidades siguientes: 1. Los tetraedros secundarios TS deben ubicarse en el interior del tetraedro principal TP del caso correspondiente manteniendo la misma orientación y el paralelismo de sus caras para ello deberemos colocar siempre su vértice en el nivel 3 de dicho TP extendiéndose hasta ubicar su nivel de base siempre en el nivel − del tetraedro principal del caso. Al tetraedro resultante le podemos denominar como tetraedro suma T.Suma. 2. Las singularidades se dan para las m múltiplos de 4 y responden a la sucesión: 4 4 4 1 4 8 2 4 12 6 4 16 24 4 20 120 4 …

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Si denominamos los casos de singularidad para múltiplos de 4 como CS y al nivel de alojamiento de dicha singularidad en el prisma principal como NA tendremos la siguiente relación: CS: m4j NA: 3j con j123... Así para j1 y m4 la singularidad que tiene un valor igual a 24 se alojará en el nivel 3 del T.Suma Para j2 y m8 la singularidad que tiene un valor igual a 2520 se alojara en el nivel 6 del T.Suma Y así sucesivamente. Los niveles en cada caso los contabilizamos desde un valor cero 0 en el vértice hasta un valor n correspondiente al nivel de base del tetraedro principal como se muestra en la figura: Nivel Tetraedro principal 0 1 2 Nivel 0 Tetraedro secundario 3…... Singularidad ........................... . . . n-1.. n Así por ejemplo sí para los coeficientes del tetraedro secundario correspondiente al caso de m8 consideramos el valor de n para cada fila como el valor del nivel correspondiente del TS para determinar su nivel de ubicación en el tetraedro principal para conformar el tetraedro suma bastará aumentar cada valor de n en tres unidades. Ello es válido para cualquier otro caso considerado m8 Filas TS Niveles TS Nivel T.Suma 0 0 3 1 1 4 2 2 5 3 3 6 4 4 7 Para la obtención de los coeficientes Tetranomiales podemos utilizar la expresión general: con … y para cada será … que equivale a una expansión al siguiente nivel de la ya utilizada para obtener los coeficientes trinomiales. Donde m representa la potencia del tetranomio y n representa el nivel correspondiente del tetraedro suma que agrupa los coeficientes desde n cero en el vértice hasta nm en la base igual a ∆ para dicho caso de m En la gráfica siguiente se representa esquemáticamente la distribución de coeficientes Tetranomiales para el caso .

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Representación esquemática y sin escala del tetraedro suma T. Suma o prisma tetraédrico correspondiente a la distribución de coeficientes Tetranomiales para . La base de este tetraedro exterior coincide con el ∆ para 6 el cual a su vez constituye la base del tetraedro interior o pirámide de Pascal del mismo caso que tiene como vértice el origen de coordenadas y como caras los triángulos de Pascal ∆ 0 construidos c/u sobre uno de los tres semiplanos coordenados que contienen las 6 primeras filas del mismo 6. En la figura se ha abierto una ventana triangular “ad-hoc” en el tetraedro principal T.P. para poder observar la ubicación y el contenido del tetraedro secundario T.S. Como ejemplo de utilidad podemos mostrar como quedarían las secciones nivel por nivel para el caso del tetraedro suma para m8 Nivel 0 . 1 Vértice del T.Suma Nivel 1 8 Nivel 2 28 8 8 56 56 28 56 28 ∆ ∆ 0 T.S. T.P.

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Nivel 3 56 Nivel 4 70 168 168 280 280 168 336 168 420 840 420 56 168 168 56 280 840 840 280 70 280 420 280 70 Nótese como en el nivel 3 del T.Suma ya aparece el valor 336 correspondiente al vértice nivel 0 del tetraedro secundario del caso y en el nivel 4 aparecen los tres valores 840 correspondientes a la sección del nivel 1 del TS del caso. Nivel 5 56 280 280 560 1120 560 560 1680 1 680 560 280 1120 1680 1120 280 56 280 560 560 280 56 Nivel 6 28 168 168 420 840 420 560 1680 1680 560 420 1680 2520 1680 420 168 840 1680 1680 840 168 28 168 420 560 420 168 28 Notamos que en este nivel se aloja la singularidad del caso m8 correspondiente al valor 2520

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Nivel 7 8 56 56 168 336 168 280 840 840 280 280 1120 1680 1120 280 168 840 1680 1680 840 168 56 336 840 1120 840 336 56 8 56 168 280 280 168 56 8 Como podemos notar en este nivel se aloja la base del tetraedro secundario del caso m8 Nivel 8 1 8 8 28 56 28 56 168 168 56 70 280 420 280 70 56 280 560 560 280 56 28 168 420 560 420 168 28 8 56 168 280 280 168 56 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Esta sección o base del T.Suma se corresponde con el triángulo de coeficientes trinomiales ∆ para m8 Diagramas de Colmena para coeficientes Tetranomiales Hemos observado que los diagramas de colmena que ya utilizamos en el estudio “Prisma Combinatorio” como método gráfico para obtener la distribución de los coeficientes Trinomiales ∆ correspondientes a un caso m+1 partiendo de los conocidos para un caso anterior m son aplicables a la determinación de los coeficientes Tetranomiales para cada nivel n de un caso m+1partiendo de los coeficientes Tetranomiales de los niveles n-1 y n del caso anterior m. A continuación un ejemplo clarificador para obtener los coeficientes del caso m4 a partir de los del caso m3 obviando el paso de nivel 0 en m3 a nivel 0 en m4 siempre unitario sea cual sea el caso

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DIAGRAMAS DE COLMENA PARA LA OBTENCIÓN LAS SECCIONES DEL TETRAEDRO SUMA CASO m3 a m4 Casos de m3 Diagrama de colmena + Caso de m4 N:0 N:1 N:1 3 3 3 4 1 1 1 3 3 3 3 3 3 4 4 N:1 N:2 N:2 3 3 3 6 3 3 3 6 6 6 6 6 6 12 12 3 3 3 3 3 3 3 6 3 3 6 3 3 6 3 6 12 6

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Caso de m 3 Diagrama de colmena Caso de m4 N: 2 N:3 N:3 1 1 1 4 3 3 3 6 6 3 3 3 6 3 3 3 3 3 12 12 3 6 3 1 3 3 1 6 6 6 6 3 6 3 3 6 3 12 24 12 3 6 3 3 6 3 1 3 3 1 1 3 3 1 4 12 12 4 Los niveles de base se corresponden con los ∆ de ambos casos: N:4 1 N:3 Diagrama de colmena 1 1 4 4 3 3 3 3 6 12 6 3 6 3 3 6 3 4 12 12 4 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

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Coeficientes Pentanomiales: Es “evidente” que los resultados obtenidos hasta ahora en estos trabajos pueden ser extendidos para cualquier potencia entera y para cualquier polinomio de r términos. Las fórmulas y secuencias a utilizar deberían resultar muy semejantes. El único inconveniente parece ser el determinar cómo se agrupan espacialmente dichos coeficientes ya que para combinatorios pentanomiales en adelante estaríamos hablando de cuerpos de 4 o más dimensiones de los cuales solo en algunos casos podemos conocer sus proyecciones tridimensionales. Por analogía si para los coeficientes Tetranomiales la base del tetraedro que los contiene corresponde al ∆ del mismo caso de m y todas las secciones de dichos tetraedros son triángulos análogos a ∆ podríamos suponer que si la base del cuerpo 4D que contiene los coeficientes pentanomiales es el tetraedro suma correspondiente al mismo caso de m todos los niveles o secciones de dicho cuerpo 4D deberían ser también tetraedros sumas análogos a dicha base. Evidentemente sería muy interesante hacer un estudio detallado de estos coeficientes y su distribución espacial basados en la hipótesis ya expuesta en el párrafo anterior. Por el momento hemos encontrado que la expresión general ya utilizada para el cálculo de los coeficientes trinomiales y Tetranomiales puede expandirse también al caso de los coeficientes pentanomiales: donde m representa la potencia del pentanomio o fila del triángulo de coeficientes y n representa el nivel correspondiente del cuerpo 4D que los contiene desde n0 en el “vértice” hasta nm en la base o tetraedro suma de coeficientes Tetranomiales para dicho caso de m. La secuencia de los elementos de los tetranomios y de los pentanomios involucrados vendrá dada por: 012… Para i0 j0 una sola vez y k0 una sola vez Para i1 j 1vez 0 y k0 j 2 veces 1 k01 Para i2 j 1vez 0 k0 j 2veces 1 k01 j 3veces 2 k012

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Para i 3 j 1vez 0 k0 j 2veces 1 k01 j 3veces 2 k012 j 4veces 3 k0123 Así sucesivamente. Coeficientes Polinomiales: Podemos inferir que la expresión ya utilizada para el cálculo de los coeficientes trinomiales Tetranomiales y pentanomiales puede expandirse y generalizarse para coeficientes polinomiales de r elementos elevado a cualquier potencia m entera positiva mediante: ⋮ ⋮ siendo m la potencia del polinomio y n el nivel considerado. con 012… y una secuencia para cada uno de los demás términos involucrados jk...pq muy similar a la ya utilizada en el caso de los coeficientes pentanomiales. El desarrollo de estas secuencias para el caso general son relativamente fáciles de deducir a partir de los casos anteriores ya explicados. Observaciones finales:  En el caso del tetraedro tetraedro o pirámide de Pascal cuyas secciones se corresponden con los planos ∆ que contienen los coeficientes trinomiales los niveles se contabilizan en forma ascendente desde n0 en su vértice en el origen de coordenadas hasta nm en el plano considerado.  En el caso del tetraedro suma cuyas secciones se corresponden con los planos ∆ que contienen los coeficientes Tetranomiales los niveles se contabilizan de forma inversa desde su nivel más elevado situado a una altura m-n sobre el plano ∆ de base para el mismo caso de m donde se ubica su vértice n0 y descendiendo hasta dicho plano de base nm .  Cada sección del T.Suma es un ∆ y puede tratarse como tal para determinar los coeficientes que contiene por filas. Bibliografía: Prisma Combinatorio 1997-2016 Distribución Tetraédrica de coeficientes Tetranomiales 2016 Coeficientes Multinomiales y generalización del triángulo de Pascal 2016 Enrique R. Acosta R. Dic 2016

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