Clase7-Variable_aleatoria_y_FdP

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UNIVERSIDAD RICARDO PALMA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EMPRESARIALES VARIABLE ALEATORIA Víctor Merino Escalante ESTADISTICA GENERAL

VARIABLE ALEATORIA- INTRODUCCION : 

VARIABLE ALEATORIA- INTRODUCCION Una Variable Aleatoria X es una función definida en el espacio muestral  y que toma valores reales. Mediante la variable aleatoria, se transforma los resultados wi de un experimento aleatorio, en valores numéricos X(wi). Por ejemplo, si se elige una persona al azar de una población  y se le asigne su peso X, se tendrá una variable aleatoria.

VARIABLE ALEATORIA- DEFINICION : 

VARIABLE ALEATORIA- DEFINICION Sea Ω un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio ξ. Se dice que X es una variable aleatoria, si es una función que asigna a cada resultado wi del espacio muestral Ω, un numero real X(wi ) = xi. Es decir: El conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria X, recibe el nombre de rango de X, que se denota por RX. X Wi • • Xi RX = {x1, x2, …., xn, ….} En forma gráfica:

VARIABLES ALEATORIAS - CLASIFICACION : 

VARIABLES ALEATORIAS - CLASIFICACION DISCRETA: Cuando el conjunto de valores que puede tomar el rango, es finito o infinito numerable. Ejemplo: Número de hijos de sexo masculino, que tiene una familia. CONTINUA: Cuando el conjunto de valores que puede tomar el rango, es un intervalo real. Ejemplo: Tiempo que tarda un cliente en pagar una deuda. Según los valores que pueden tomar, las variables aleatorias se clasifican en:

VARIABLES ALEATORIAS - CLASIFICACION : 

VARIABLES ALEATORIAS - CLASIFICACION Las variables aleatorias se clasifican en: Variable aleatoria discreta: Si el rango RX de la V.A. X, es un conjunto finito ó infinito numerable. Todos sus valores posibles se pueden listar o enumerar; en este caso: Variable aleatoria continua: Si el rango RX de la V.A. X, es un intervalo sobre la recta de los números reales; en este caso: RX = {x1, x2, …., xn, ….} RX = {x Ɛ ℜ / a ≤ x ≤ b} Ejemplo: Número de días que un trabajador no llega a su trabajo RX = {0, 1, 2, ….., 280} Ejemplo: Estatura de los trabajadores de una empresa RX = {x Ɛ ℜ / 0.30 ≤ x ≤ 3}

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1. Experimento: Lanzamos dos monedas y registramos la sucesión de caras y sellos que aparecen. Resultados del experimento : Ω = {(C,C),(C,S),(S,C),(S,S)} 2. Experimento: Lanzamos dos dados y registramos los números que muestran. Resultados del experimento : Ω = {(1,1),(1,2),...,(2,1),(2,2), ... ,(6,6)} Si definimos la V.A. X : Número de caras al realizar el experimento. Valores posibles de X : RX = { 0, 1, 2} Si definimos la V.A. X : Suma de los resultados. Valores posibles de X : RX = {2, 3, 4, ..., 12} VARIABLE ALEATORIA DISCRETA 3. Experimento: Se realiza el control de calidad de los artículos producidos por una máquina. Resultados del experimento :  = {DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN} Si definimos la V.A. X : Número de artículos defectuosos encontrados. Valores posibles de X : RX = { 0, 1, 2, 3}

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VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Nº de ventas realizadas mensualmente por la compañía Tori S.A. Más ejemplos: Nº de horas trabajadas por día. Nº de llamadas telefónicas que recibe una central entre las 11: 00 y las 12:00 horas. Nº de personas en una muestra cuyos ingresos son menores que $ 300.00.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD : 

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Es la función p, que hace corresponder a cada valor xi de RX, un número real p(xi)=P(X=xi), llamado probabilidad del evento asociado al valor xi de X. Para una variable aleatoria X, p(xi)=P(X=xi) satisface las siguientes propiedades: p xi • •p(xi ) En forma gráfica:

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DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Es una descripción del conjunto de valores posibles de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores; es decir, es un conjunto de pares ordenados de la forma: cuya gráfica está dada por: x1 x2 {(xi,p(xi))/xi Ɛ RX} p(x1) p(x2)

Ejemplo: Consideremos el experimento que consiste en lanzar una moneda tres veces; y sea X, la V.A. que representa el número de caras obtenidas en los tres lanzamientos. : 

Ejemplo: Consideremos el experimento que consiste en lanzar una moneda tres veces; y sea X, la V.A. que representa el número de caras obtenidas en los tres lanzamientos. Si los resultados tienen igual probabilidad de ocurrir (equiprobables), se tiene que: P(C ) = P(S) = 1/2 De modo que p(x) puede expresarse de la siguiente manera: a) b) El espacio muestral generado es:  = {SSS, CSS, SCS, SSC, CCS, CSC, SCC, CCC} y el rango o recorrido de la variable está dado por: RX = {0, 1, 2, 3}

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En este caso, teniendo en cuenta que los resultados son equiprobables e independientes, las probabilidades se asignaron de la siguiente manera: p(0)= P(X=0)= P({(S,S,S)}= P({S})* P({S})* P({S})*=(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8 P(1)= P(X=1)= P({(C,S,S), (S,C,S).((S,S,C)}= P({(C,S,S)})+P({(S,C,S)})+P({(S,S,C)}) = (1/8)+(1/8)+(1/8) = 3/8 P(2)= P(X=2)= P({(C,C,S), (C,S,C).((S,C,C)}= P({(C,C,S)})+P({(C,S,C)})+P({(S,C,C)}) = (1/8)+(1/8)+(1/8) = 3/8 p(3)= P(X=3)= P({(C,C,C)}= P({C})* P({C})* P({C})*=(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/8

Ejemplo - Continúa: : 

ii) Si los resultados no tienen igual probabilidad de ocurrir: (Por ejemplo: El número de caras aparece tres veces mas frecuente que sello) Ejemplo - Continúa: De modo que p(x) puede expresarse de la siguiente manera: a) b) Se tiene que: P(C ) = ¾, y P(S) = 1/4

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En este caso, los resultados ya no son equiprobables pero sí mantienen independencia, por lo que , las probabilidades se asignaron de la siguiente manera: p(0)= P(X=0)= P({(S,S,S)}= P({S})* P({S})* P({S})*=(1/4)*(1/4)*(1/4)=1/64 P(1)= P(X=1)= P({(C,S,S), (S,C,S).((S,S,C)}= P({(C,S,S)})+P({(S,C,S)})+P({(S,S,C)}) = (3/64)+(3/64)+(3/64) = 9/64 P(2)= P(X=2)= P({(C,C,S), (C,S,C).((S,C,C)}= P({(C,C,S)})+P({(C,S,C)})+P({(S,C,C)}) = (9/64)+(9/64)+(9/64) = 27/64 p(3)= P(X=3)= P({(C,C,C)}= P({C})* P({C})* P({C})*=(3/4)*(3/4)*(3/4)= 27/64

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Ej.2: Si X es la suma de los valores obtenidos al lanzar dos dados. Gráfica de la Distribución de Probabilidades Ejemplo: Si X es la V.A. que representa el número de caras obtenidas en tres lanzamientos de una moneda (Caso de resultados equiprobables).

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FUNCION DE DISTRIBUCION ACUMULADA F(x) así definida, satisface las propiedades siguientes: Si X es una V.A. con función de probabilidad p(x), la función de distribución acumulada F(x) es tal que:

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F(xi) = P(X ≤ xi) por definición P(X > a) = 1 - P(X≤ a) = 1 - F(a) P(X <a) = P(X≤ a) - P(X=a) = F(a) - P(X=a) P(X ≥ a) = 1 - P(X< a) = 1 - (F(a) – P(X=a) ) P( b < X ≤ a ) = P(X≤ a) - P(X≤ b) = F(a) – F(b) P( b ≤ X ≤ a ) = P(X≤ a) - P(X< b) = = F(a) - (F(b) - P(X= b)) Propiedades de la Función de Distribución Acumulativa (Caso Discreto)

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Para el ejemplo que venimos desarrollando, tendríamos lo siguiente: Situación i) - Resultados equiprobables:

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Situación ii) - Resultados no equiprobables:

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Ejemplo  = {Lanzar dos dados y observar los números que aparecen en las caras superiores} 2do dado. 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados: 1

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Suponga que definimos la variable aleatoria X= Suma de los números resultantes en cada dado RX : {2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} De modo que, el rango de la variable aleatoria estará dada por: La distribución de probabilidad y la distribución de probabilidad acumulativa, serán: Calcular e interpretar P(X = 6) Calcular e interpretar P( X ≤ 5) = F(5) Calcular e interpretar P(x > 7)

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Ejemplo Una urna contiene 2 bolillas negras, 3 bolillas blancas y 4 bolillas rojas. Se extrae al azar, una bolilla en forma sucesiva y sin reposición hasta que se obtenga una bolilla roja. Se define la Variable aleatoria X: Nº extracciones realizadas hasta obtener una bolilla de color rojo. Hallar la función de probabilidad y la función de distribución acumulada de X. Solución : {Extraer una bolilla en forma sucesiva y sin reposición hasta obtener una bolilla roja}. Sean: R = Bolilla Roja, T = Bolilla de otro color Entonces: = { R, TR, TTR, TTTR, TTTTR, TTTTTR } La variable aleatoria: X = {número de extracciones hasta que se obtenga una bolilla roja} Tiene como rango RX ={ 1, 2, 3, 4, 5. 6 }

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La función de probabilidad y la función de distribución acumulada está dada por:

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ESPERANZA DE UNA V.A.D. X Es el promedio a largo plazo de los valores de X, y se le conoce también como valor esperado de la V.A. X. Mide la tendencia central de la variable aleatoria X. Está definida por la siguiente expresión:

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Propiedades de la Esperanza Si X é Y son variables aleatorias y k, k1 y k2 constantes:

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VARIANZA DE UNA V.A.D. La varianza de una V.A. X, mide la dispersión de dicha V.A. respecto de su esperanza o valor esperado. V(X) = E[X-E(X)]2 V(X) = E(X2) - [E(X)]2 V(X) = Σx2p(x) – [Σxp(x)]2 DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA V.A.D. DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA V.A.D.

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Propiedades de la Varianza Si X é Y son variables aleatorias y k, k1 y k2 constantes: Para el caso que venimos tratando, hallar la esperanza, la varianza, la desviación estandar y el coeficiente de variación de la variable: número de caras obtenidas al lanzar una moneda tres veces (caso equiprobable)

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA : 

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor real en un determinado intervalo de valores. En este tipo de variable no es fácil tener un listado de todos sus valores posibles, porque son valores fraccionarios. Ejemplos: El tiempo que transcurre entre dos transacciones comerciales La inversión en publicidad realizada por una empresa Tiempo transcurrido hasta que un proyectil regresa a la Tierra El peso de una pieza de plástico moldeada por inyección.

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD : 

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD Una función f(x), integrable, es una función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X, si para cualquier intervalo [a,b] de números reales se cumple:

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FUNCIÓN DE DENSIDAD x

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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA Además F(x) debe satisfacer: 0  F(x)  1,  x  RX F(x) es una función creciente. Esto es, para x1  RX y x2  RX, tales que x1  x2 entonces: F(x1)  F(x2).

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El porcentaje de utilidad en una transacción económica, es una variable aleatoria cuya función de densidad esta dada por: Hallar la constante k y grafique la función de densidad f(x) Calcule la probabilidad de que el porcentaje de utilidad en una transacción sea superior al 75% Cuál será la utilidad porcentual mínima que debe aceptarse, para el 20% de las transacciones mas altas? Calcular : P(X<0.75 / X >0.50) Determine la esperanza y la varianza del porcentaje de utilidad de dicha transacción económica. Cuál es la variabilidad relativa para estas transacciones económicas? Determine y grafique la función de distribución acumulada F(x) Ejemplo.