matematica vacchiano

Matematica e Futuro (1998) : 

19/02/2011 1 di Salvatore Vacchiano Dipartimento Matematico Napoli Matematica e Futuro (1998)

Perché questa presentazione : 

19/02/2011 2 Perché questa presentazione 1 - Sillogismo 1 : Le “cose” ci appaiono soggette a regole La matematica è lo studio delle regole Se vogliamo capire e modificare le “cose” dobbiamo usare la matematica 2 - Sillogismo 2 : La nostra civiltà si basa sulla tecnologia La tecnologia si basa sulla scienza La scienza si basa sulla matematica La nostra civiltà si basa sulla matematica 3 - Siamo immersi nella matematica come i pesci nell’acqua, ma spesso non ce ne accorgiamo !!! 4 - Questa presentazione vuole stimolare una sorta di presa di coscienza del ruolo centrale che la matematica sta assumendo sempre più e magari spingere qualcuno a scegliere la matematica come ragione di vita

La sfida : 

19/02/2011 3 La sfida la galassia M101 un tifone una chiocciola la spirale logaritmica 1 - Cosa hanno in comune queste immagini ? 2 - Capire questo è una delle sfide del futuro della scienza

Le basi genetiche : 

19/02/2011 4 Le basi genetiche 1 - Il cervello di molti animali possiede capacità aritmetiche e geometriche su base genetica (contare fino a 3 o 4, riconoscere figure) 2 - Sulla base di queste capacità innate l’uomo ha costruito la matematica 3 - La matematica, nella sua costruzione, utilizza le basi logiche comuni al linguaggio (fare matematica o usare il linguaggio parlato attiva le stesse aree cerebrali)

Le origini : 

19/02/2011 5 Le origini 1 - La matematica probabilmente nasce con il passaggio dell’uomo dalla fase di cacciatore/raccoglitore alla fase di coltivatore/allevatore 2 - Nasce la città e di conseguenza la necessità di regolare l’organizzazione delle nuove attività umane 3 - Nasce la scrittura

La rivoluzione : Galileo, Cartesio, Newton : 

19/02/2011 6 La rivoluzione : Galileo, Cartesio, Newton 1 - Nasce la scienza moderna basata sull’esperimento e la matematica diventa il linguaggio della fisica 2 - Nasce la civiltà delle macchine

L’oggi e il domani : 

19/02/2011 7 L’oggi e il domani 1 - La matematica è sempre più lo strumento principale per la costruzione del futuro

Il metodo matematico : 

19/02/2011 8 Il metodo matematico 1 - Una teoria matematica nasce di solito dallo studio di un certo insieme che appare intuitivamente interessante Es. l’insieme dei numeri naturali N = {1,2,3,…} 2 - Dallo studio si deducono i concetti, le regole a cui l’insieme ed i suoi elementi obbediscono Es. si definiscono per N le operazioni di addizione e moltiplicazione e se ne studiano le proprietà 3 - L’insieme di quei concetti, di quelle regole costituiscono la base della teoria matematica Es. così nasce l’aritmetica 4 - Una teoria matematica nasce sempre da considerazioni molto pratiche ed intuitive !!!

L’astrazione : 

19/02/2011 9 L’astrazione 1 - Una teoria matematica è astratta (cioè si distacca dal tipo di oggetti da cui essa storicamente è nata) e per questo si può applicare ad oggetti diversi dagli originali che però soggiacciano alle stesse regole Es. le proprietà dell’addizione definita per i numeri naturali si possono applicare all’addizione definita per i vettori 2 - La potenza della matematica sta proprio nella possibilità di descrivere insiemi diversi con stesse regole e concetti Es : in fisica, un campo gravitazionale è descrivibile da uno spazio quadridimensionale, in economia, lo scambio fra due persone è rappresentabile da un punto che si muove in uno spazio bidimensionale immerso in uno spazio quadridimensionale

Teorie matematiche : 

19/02/2011 10 Teorie matematiche Logica Insiemi Numeri Algebra Analisi Geometria Complessità

Logica : le regole del gioco : 

19/02/2011 11 Logica : le regole del gioco 1 - Aristotele (384 –324 a.C.) : analizza per primo le regole del linguaggio parlato Es. Se sono vivo allora non sono morto (A => NOT NOT A) Es. Se un triangolo è rettangolo allora vale il teorema di Pitagora per cui, se non vale il teorema di Pitagora, allora il triangolo non è rettangolo ((A => B) => (NOT B => NOT A)) 2 - George Boole (1815 - 1864) : introduce gli operatori logici AND, OR, NOT Es. Non sono un uomo vivo (NOT (A AND B)) 3 - Kurt Gödel (1906 - 1978) : comprende i limiti della logica e della matematica stessa “l’aritmetica o è incompleta o è contraddittoria” (tutta la matematica si basa sull’aritmetica !!!) - se completo l’aritmetica con tutti i teoremi deducibili dagli assiomi raggiungo una contraddizione - se i teoremi dell’aritmetica derivati dagli assiomi non sono contradditori, allora esiste un teorema indecidibile

Insiemi : i mattoni fondamentali : 

19/02/2011 12 Insiemi : i mattoni fondamentali 1 - Il padre della moderna teoria assiomatica degli insiemi fu il grande Georg Cantor (1845 - 1918). Prima di lui gli insiemi erano considerati come oggetti vaghi ed intuitivi 2 - Ogni oggetto matematico o è un insieme o è un elemento di un insieme 3 - Mostriamo questo nel caso di uno dei concetti più importanti dell’intera matematica : la relazione 4 - Siano gli insiemi A = {1,2,3} , B ={a,b} 5 - Definiamo il prodotto cartesiano A x B = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b} dove (1,a) ecc. sono le coppie ordinate che hanno primo elemento in A e secondo elemento in B 6 - Una coppia ordinata (x,y) è definita come l’insieme (x,y) = {{x},{x,y}} 7 - Una relazione R fra A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano, quindi 8 - Es. R = {(1,a),(2,a),(2b)} 9 - Una funzione (altro concetto fondamentale) è poi un particolare tipo di relazione, quindi una funzione è essa stessa un insieme !

Numeri : i quanti : 

19/02/2011 13 Numeri : i quanti 1 - I numeri naturali N = {1,2,3,…}, con le operazioni di addizione e moltiplicazione, sono definiti Assiomaticamente (Giuseppe Peano 1858- 1932). 2 - I numeri interi I sono stati introdotti per eseguire la sottrazione. Es. 2 - 5 = - 3 3 - I numeri razionali Q sono stati introdotti per eseguire la divisione. Es. 2 : 3 = 2/3 4 - I numeri reali R sono stati introdotti per eseguire la radice quadrata e molto altro. Es. 5 - I numeri complessi C sono stati introdotti per eseguire la radice quadrata dei numeri negativi. Es. 6 - Ci sono altri numeri che estendono quelli qui presentati ? La risposta è sì !

Algebra : le strutture : 

19/02/2011 14 Algebra : le strutture 1 - L’algebra del biennio delle superiori è “solo” lo studio delle proprietà dei polinomi. L’algebra è molto di più !!! 2 - L’algebra è lo studio delle proprietà di un insieme qualunque in relazione alle operazioni definite su di esso 3 - Un’operazione O definita sull’insieme A è una funzione : 4 - Un insieme e le operazioni definite su di esse (si prendono in considerazione anche relazioni d’ordine quali il < ecc.) appartengono a varie tipologie dette strutture algebriche (Es. gruppi, anelli, campi ecc.) 5 - Come esempio di struttura algebrica di capitale importanza (anche in fisica) consideriamo il gruppo 6 - Un gruppo (A ; O) è un insieme A dotato dell’operazione O per cui valgono le seguenti proprietà : - O è una operazione che gode della proprietà associativa - esiste l’elemento neutro - esiste l’inverso di ogni elemento 7 - Esempi : - (R ; +) l’insieme dei numeri reali con l’operazione di somma (l’elemento neutro è 0 e l’inverso di x è –x) - (R – {0} ; *) l’insieme dei numeri reali senza 0 con l’operazione di moltiplicazione (l’elemento neutro è 1 e l’inverso di x è 1/x) - (rotazioni sul piano di un angolo α)

Analisi : funzioni, limiti, derivate, integrali : 

19/02/2011 15 Analisi : funzioni, limiti, derivate, integrali 1 - Il valore di una funzione y = f(x) in un punto del suo dominio è paradossalmente poco importante. Esso viene calcolato da una formula Es. 2 - Ciò che è fondamentale è conoscere il comportamento di una funzione quando la x si avvicina, tende, ad un certo valore. Questo comportamento si chiama limite. Es. 3 - Un limite di fondamentale importanza è la derivata (Newton, Leibnitz, 1670-1710). La pendenza della secante ad una curva tende alla pendenza della tangente nel punto P (che è la derivata della curva in quel punto). Es. 4 - Un altro limite di fondamentale importanza è l’integrale (Archimede 287-212 a.C, Newton, Leibnitz). Un’area è calcolabile dividendola in rettangoli sempre più stretti. Es.

Geometria : gli spazi : 

19/02/2011 16 Geometria : gli spazi 1 - La geometria elementare studia le proprietà delle figure (punti, linee ecc.) dello spazio ordinario tridimensionale, lo spazio della nostra esperienza quotidiana 2 - Estraendo le proprietà dello spazio ordinario ed astraendole si possono “creare” diversi tipi di spazi : spazi vettoriali, spazi metrici, spazi topologici, spazi euclidei, spazi non euclicei ecc. ecc. 3 - Due esempi di spazi vettoriali isomorfi (equivalenti) : - i vettori del piano : - i polinomi di primo grado : 4 - Lo spazio euclideo bidimensionale : 5 – Uno spazio non euclideo :

Complessità : le regole del caos : 

19/02/2011 17 Complessità : le regole del caos 1 - Un uragano, un crollo in borsa, un’epidemia, un ingorgo automobilistico, un blackout elettrico ecc. ecc., tutti fenomeni apparentemente privi di regole (caotici), sembrano invece obbedire a regole matematiche comuni 2 - La teoria dei sistemi complessi (e del caos) stanno gettando sempre più luce in fenomeni fino a ieri considerati governati dal cieco caso 3 - Anche il caso, quindi, ha le sue regole e lo sa bene chi gestisce un casinò ! 4 - Un sistema complesso è molto sensibile alle variazioni delle condizioni iniziali (Henri Poincaré 1854-1912, Edward Lorenz 1917-2008). - esempio di tre corpi in interazione gravitazionale : 5 - Effetto farfalla : può il batter d'ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas ? (Lorenz 1979) 6 - La teoria del caos giocherà un ruolo sempre più importante nella costruzione del futuro

La matematica per la fisica : 

19/02/2011 18 La matematica per la fisica 1 - Matematica e fisica sono indissolubilmente legate : la matematica nasce dall’osservazione della realtà 2 - I fisici spesso “inventano” la matematica che serve per le loro teorie (Es. Newton inventò il calcolo infinitesimale per esprimere le sue tre leggi della meccanica e la legge di gravitazione universale) 3 – E’ evidente perciò che la prima e più importante applicazione della matematica avviene in campo fisico : fisica significa natura e la matematica ne è il linguaggio (Galileo)

La matematica per la tecnologia : 

19/02/2011 19 La matematica per la tecnologia

Conclusione : 

19/02/2011 20 Conclusione 1 - Abbiamo fin qui visto solo alcuni dei principali concetti di base e campi di applicazione della matematica 2 - Questo ci è servito per renderci conto dell’importanza sempre crescente della matematica : il futuro dell’umanità sarà sempre più basato sulla matematica 3 - Non è questo motivo sufficiente per scegliere la matematica come nostra passione, professione, ragione di vita ?