Interpretación de derivadas

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DEFINICIÓN DE DERIVADA : 

DEFINICIÓN DE DERIVADA INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA JAVIER BERENGUER MALDONADO

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Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer: Dominio Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y Continuidad Asíntotas y ramas parabólicas Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer: Intervalos de crecimiento / decrecimiento Máximos y mínimos relativos Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

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LA IMPORTANCIA DE LAS TANGENTES La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

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m=0 m=0 m<0 m>0 m<0 En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa.

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Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a y=-3/2x-24 y=-4 y=3 y=1,2x+1,5 y=-1,3x+13 La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a” f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente -3/2. f’(-2)= 0 f’(4)=0 f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

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¿CÓMO CALCULAR LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO? Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo calcular su ecuación. (1,-1) (3,2) Resolviendo el sistema: y= 3/2 x-5/2 De esta manera f’(3)=3/2

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¿CÓMO CALCULAR LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO? Lo anterior es muy largo pues lo único que me interesa saber es la “m”. Para calcularla hay una manera muy fácil: (1,-1) )=(x0,y0) (3,2)=(x1,y1) De esta manera f’(3)=3/2

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IMPORTANTE O LO QUE ES LO MISMO:

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Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Resolvamos la cuestión en varias etapas. A(a,f(a)) Recta t ¿f'(a)=m?

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Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h)) A(a,f(a)) Recta t a a+h P(a+h,f(a+h))

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Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P. h f(a+h)-f(a)

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Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma:

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P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque sí todo lo pequeño que se quiera. Y aquí interviene el concepto de límite.

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A a a+h P P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite

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Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2

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¿Qué información da lo anterior? * La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es: * Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente. y=y0+m(x-x0)

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