RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD

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RELACIONES DE PROPORCIONALIDADYPROPORCIONALIDAD MULTIPLE : 

RELACIONES DE PROPORCIONALIDADYPROPORCIONALIDAD MULTIPLE

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Un factor de proporcionalidad importante es el cambio de unidades. Iniciaremos con la explicación de cómo cambiar a otras unidades utilizando el ejemplo clásico de pasar de km/h a m/s. ¿Cuántos m/s serán 50 km/h? Aplicando la igualdad de razones o proporcionalidad, tenemos que aplicar una proporcionalidad múltiple, lo que es lo mismo dos reglas de 3.

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1 km ----- 1000 m y 1 h ----- 3600 s 50 km x 1000 m x 1 h h 1 km 3600 s 50,000 m = 500 m = 13.89 m/s 3600 s 36 s Lo anterior lo podemos simplificar si observamos que siempre se dará la razón de cambio entre kilómetros a metros y horas a segundos, por lo cual podemos simplificar esto:

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1000 m x 1 h = 1000 metros = 10 m 1 km 3600 s 3600 segundos 36 s = 10 m = 0.278 m/s ---- factor de conversión 36 s ó K Por lo tanto podemos simplemente multiplicar (50 km/h)(0.278 m/s) = 13.9 m/s Nota que el resultado se escribe con las nuevas unidades m/s

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Veamos un problema del libro. Arturo y Brisa investigaron acerca de la rapidez máxima que pueden alcanzar dos automóviles. El automóvil rojo tiene una rapidez máxima de 250 km/h y El automóvil azul de 70 km/h. ¿Cuál automóvil tiene la mayor rapidez máxima?

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Si cambiamos los 250 km/h a m/s podremos comparar los valores en m/s, por lo tanto: (250 km/h)(0.278 m/s) = 69.5 m/s De esta forma podemos observar que: Rapidez máxima del automóvil rojo = 69.5 m/s Rapidez máxima del automóvil azul = 70.0 m/s Por lo tanto el azul tiene la mayor rapidez máxima.

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El factor inverso de proporcionalidad es otro de los temas interesantes de este bimestre. Se refiere simple y sencillamente al valor de k, o constante de proporcionalidad, pero a la inversa, es decir: k y 1/k Si un valor “x” lo multiplico por la constante de proporcionalidad se obtiene un incremento del valor “x”, es decir: (x)k = a Si este valor lo multiplico, (o sea lo divido), por 1/k vuelvo al valor original, es decir: a/k = x.

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(x)k = x Esto es debido a que se elimina la k k quedando el valor original es decir “x”. EJEMPLO: El cambio del dólar esta en 11 pesos por dólar; si tengo 255 dólares, ¿Cuántos pesos serán? En este caso la k = 11 (255 dólares)(11 pesos) = 2,805 pesos ¿Cómo se pueden transformar 2,805 pesos en dólares? (2,805 pesos) = 255 dólares 11 pesos ¡Fácil!

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Dibuja un triángulo ABC con una escala de 4/3; es decir, con un factor de proporcionalidad de k = 4/3. Para resolver el problema se miden los lados del triángulo original y se multiplican por 4/3, lo cual nos dará el valor del nuevo triángulo: Lado AB = 15 cm (4/3) = 20 cm Lado BC = 5 cm (4/3) = 6.67 cm Lado CA = 10 cm (4/3) = 13.33 cm

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En el ejercicio anterior si obtenemos la k inversa (1/k); es decir ¾ y la multiplicamos por los valores obtenidos de la ampliación, volveremos al valor original de cada lado: Lado AB = 15 cm (4/3) = 20 cm 20 cm (¾) = 15 cm Lado BC = 5 cm (4/3) = 6.67 cm 6.67 cm (¾) = 5 cm Lado CA = 10 cm (4/3) = 13.33 cm 13.33 cm (¾) = 10 cm

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En los problemas de proporcionalidad múltiple se refieren al hecho de que en un problema tendremos varios factores cambiantes en la misma proporción o con diferente proporción. Por ejemplo en el área de un triángulo se tienen 2 factores que pueden cambiar es decir, base y altura. Ambas pueden cambiar en la misma proporción por ejemplo k = 2, por lo tanto el nuevo valor es: (altura)(2) y (base)(2)

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También pueden cambiar en diferente proporción, es decir k = 2 y k’ = 3. Por lo tanto tendremos (altura)(2) y (base)(3) EJEMPLO: Se tiene un triángulo con base 5 cm y de altura 10 cm, tanto la base como la altura cambian en la misma proporción, k = 2. ¿Cuáles serán las medidas del nuevo triángulo ya ampliado? 5 cm (2) = 10 cm de base. 10 cm (2) = 20 cm de altura.

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Si utilizamos los valores de los 2 triángulos para sacar sus áreas tenemos: A = (base)(altura) 2 A = (5 cm)(10 cm) = 25 cm2 2 Para la ampliación tenemos: A = (10 cm)(20 cm) = 100 cm2 2 Es decir el área aumentó (2)(2) = 4 veces 25 cm2 (4) = 100 cm2

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Ahora veamos el caso de proporcionalidades diferentes: EJEMPLO: Se tiene un triángulo con base 5 cm y de altura 10 cm, la base aumentará 2 veces y la altura 3 veces, por lo tanto las proporciones son, k = 2 y k’ = 3. ¿Cuáles serán las medidas del nuevo triángulo ya ampliado? 5 cm (2) = 10 cm de base. 10 cm (3) = 30 cm de altura.

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Si utilizamos los valores de los 2 triángulos para sacar sus áreas tenemos: A = (base)(altura) 2 A = (5 cm)(10 cm) = 25 cm2 2 Para la ampliación tenemos: A = (10 cm)(30 cm) = 150 cm2 2 Es decir el área aumentó (2)(3) = 6 veces 25 cm2 (6) = 150 cm2

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Lo anterior se puede aplicar en los cuadriláteros como los cuadrados, y rectángulos ya que se tienen 2 factores que pueden cambiar es decir, lado x lado en el cuadrado y base x altura en el rectángulo. PERO….. ¿Qué pasa cuando son 3 factores los que pueden cambiar, por ejemplo en el rombo, trapecio, o en el caso de el volumen de una figura?

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Lo mismo, se aplica el mismo concepto, es decir se multiplican los factores proporcionales y ese es el factor proporcional para cambiar el volumen original. EJEMPLO: ¿Qué sucede con el volumen de un paralelepípedo cuando sus tres dimensiones se triplican? Base = 11 cm (3) = 33 cm Ancho = 7 cm (3) = 21 cm Altura = 2 cm (3) = 6 cm

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Si utilizamos los valores de los paralelepípedos para sacar sus volúmenes tenemos: V = (base)(ancho)(altura) V = (11 cm)(7 cm)(2 cm) = 154 cm3 Para la ampliación tenemos: V = (33 cm)(21 cm)(6 cm) = 4,158 cm3 Es decir el volumen aumentó (3)(3)(3) = 27 veces 154 cm3 (27) = 4158 cm3

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Se puede concluir que: La proporcionalidad es cuando algo aumenta ó disminuye un cierto número de veces, lo cual está determinado por la constante de proporcionalidad (k). La proporcionalidad puede aumentar ó disminuir en 2 ó 3 dimensiones que al multiplicar estas se obtiene el aumento total el cual puede aplicarse al área ó volumen ó en su caso a lo que se busca al final.

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No te deseo suerte en el examen Pues el resultado del mismo No es cosa de azar. Mejor te deseo que tengas el tiempo ó lo hayas tenido Para realizar un repaso adecuado.