Probabilidad

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Presentación de los fundamentos de probabilidad.

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Unidad Probabilidad:

Unidad Probabilidad Ing. Mario Iván Salas D. 1 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Competencia.:

Competencia. Al concluir la unidad el participante Comprende los conceptos fundamentales de la Probabilidad. Comprende las reglas fundamentales de la probabilidad. Comprende el concepto de distribución de probabilidad. Cuantifica los principales modelos de distribuciones discretas de probabilidad. Cuantifica los principales modelos de distribuciones continuas de probabilidad. Comprende el concepto del límite central. 2 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Contenidos.:

Contenidos. Fundamentos de probabilidad. Distribución de probabilidad. Distribuciones continuas. Distribuciones discretas. Teorema del límite central. 3 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Introducción.:

Introducción. Una gran cantidad de sucesos presentan incertidumbre en que estos ocurran, ejemplos de estos son. Que probabilidad tengo de que salga una pieza defectuosa de este lote. Que probabilidad existe de que en un periodo de 2 horas se reciban 30 clientes en la taquilla. 4 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Probabilidad.:

Probabilidad. La probabilidad es una medida de la posibilidad relativa de que un evento ocurra en el futuro. Puede asumir valores positivos entre cero y uno inclusive. Un valor cercano a cero significa que es poco probable que el evento suceda. Un valor cercano a uno significa que es altamente probable que el evento suceda. 5 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Experimento, resultado, evento.:

Experimento, resultado, evento. E xperimento es un proceso que conduce a que ocurra una (y solamente una) de varias observaciones posibles. Resultado es un suceso particular proveniente de un experimento. Evento es un conjunto de uno o más resultados de un experimento. 6 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Experimento, resultado, evento:

Experimento, resultado, evento Se lanza un dado no cargado una vez. El experimento es lanzar el dado. Los resultados posibles son los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Un evento es la ocurrencia de un número par. Esto es, los números 2, 4 y 6. 7 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Espacio muestral.:

Espacio muestral. En probabilidad se llama espacio muestral al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio. 8 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Ejemplo espacio muestral.:

Ejemplo espacio muestral. Si el experimento se basa en el lanzamiento de una moneda, el espacio muestral tiene dos resultados , águila ( a ) y sello ( s ) Y su espacio muestral sería.{ a , s } b ) El experimento de lanzar dos monedas, tiene como espacio muestral 4 resultados : { ( a , a ) , ( a , s ) , ( s , a ) , ( s , s ) } Un evento posible a este último experimento sería que al lanzar las monedas se repita águila o sol. 9 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Tipos probabilidad.:

Tipos probabilidad. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 10

Probabilidad clásica.:

Probabilidad clásica. Se basa en la consideración de que los resultados en un experimento son igualmente posibles. Bajo el punto de vista clásico la probabilidad se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número total de resultados posibles. 11 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Probabilidad clásica.:

Probabilidad clásica. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un número para al lanzar un dado? Número de resultados favorables =3 (2,4,6) Número de resultados posibles=6 Probabilidad= 3/6=0.5. 12 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Eventos mutuamente excluyentes.:

Eventos mutuamente excluyentes. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 13 Los eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de cualquiera significa que ninguno de los otros eventos puede ocurrir al mismo tiempo. Ejemplos de eventos excluyentes. Si lanzo una moneda no puede caer águila y sol al mismo tiempo. Los eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no afecta la ocurrencia de otro.

Colectivamente exhaustivo.:

Colectivamente exhaustivo. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 14 Por lo menos uno de los eventos debe de ocurrir cuando se realiza un experimento. Ejemplos. Si lanzo una moneda debe de suceder el evento águila o sol. Si los eventos son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes la suma de las probabilidad de los eventos es 1. La probabilidad de que al lanzar una moneda salga águila es 0.5 y que salga sello es 0.5 la suma de ambos eventos es 1.

Concepto empírico.:

Concepto empírico. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 15 Se basa en las frecuencias relativas. La probabilidad de un evento se determina observando en que fracción de tiempo suceden eventos semejantes en el pasado. Ejemplo. En el departamento académico un profesor ha asignado un total de 186 calificaciones de “A” de un total de 1,200 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su sección este semestre reciba una calificación de “A”? Encuentre la probabilidad de seleccionar un estudiante con calificación “A” P ( A ) = 186/1,200 = 0.155.

Probabilidad subjetiva.:

Probabilidad subjetiva. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 16 Si no existen datos o experiencia en la que se pueda basar una probabilidad estaremos hablando de una probabilidad subjetiva. Ejemplos . Estimar la posibilidad de que el equipo de las Chivas participe en la final del torneo bicentenario. Evaluar la probabilidad de que la empresa General Motors, pierda su lugar número 1 en el total de unidades vendidas, frente a la Ford o la Chrysler, en un lapso de dos años.

Bibliografía.:

Bibliografía . Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 17 Douglas A Lind, William G. Marshall, Robert G. Mason Estadística para Administración y Economía Alfaomega 11a Edición Págs.. 151 a 157.

Introducción.:

Introducción. El cálculo de las probabilidades de determinados eventos esta definido por teoremas y axiomas. Durante el presente tema revisaremos y ejemplificaremos estos teoremas. 18 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Regla especial de adición:

Regla especial de adición Si los eventos A 1 , A 2 ,.. A n son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adición indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades. P ( A 1 , A 2 ,.. o A n ) = P ( A 1 ) + P (A 2 )+.. P( A n ) 19 Definición Diagrama de Venn Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Ejemplo regla especial de adición.:

20 Ejemplo regla especial de adición. La oficina de vuelos de Aeroméxico tiene registrada la siguiente información en su bitácora de vuelos entre Ciudad de México y Acapulco. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. Llegadas Evento Frecuencia Temprano A 100 A tiempo B 800 Tarde C 75 Cancelado D 25 Total 1000

Ejemplo regla especial de adición.:

Ejemplo regla especial de adición. ¿Cuál es la probabilidad de que un vuelo entre la ciudad de México y Acapulco llegue temprano, tarde o sea cancelado? Solución. Antes que nada debemos ver que los eventos son excluyentes, esto es un vuelo no puede llegar tarde, temprano y ser cancelado al mismo tiempo. Aplicando la propiedad de adición. Probabilidad llegar temprano P(A)= 100/1000=0.1 Probabilidad llegar tarde P(B) = 75/1000=0.075. Probabilidad ser cancelado P(C)=25/1000=0.025. 21 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Ejemplo regla especial de adición.:

Ejemplo regla especial de adición. Aplicando la regla especial de adición P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.075+0.025=0.2 La probabilidad de que un vuelo de México a Acapulco llegue tarde o temprano o sea cancelado de acuerdo a los datos proporcionados es de 0.2 o lo que es lo mismo 20 de cada 100 vuelos llegaran bajo las circunstancias antes señaladas. 22 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

La regla del complemento:

La regla del complemento Requisitos los eventos deben de ser mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. La regla del complemento es utilizada para determinar la probabilidad de que un evento ocurra, restando a 1 la probabilidad de que no ocurra dicho evento. Si P ( A ) es la probabilidad de un evento A y P (~ A ) es la probabilidad del complemento de A , P ( A ) + P (~ A ) = 1 o P ( A ) = 1 – P (~ A ) 23 Definición Diagrama de Venn . ~ A Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Ejemplo regla de complemento.:

Ejemplo regla de complemento. Tomando el mismo ejemplo de los vuelos entre México y Acapulco en la diapositiva 5.¿Cual es la probabilidad de que un vuelo NO sea cancelado? Solución. En este caso queremos todos los vuelos que no son cancelados esto es lo que llegan tarde, temprano y a tiempo en otra palabra es el complemento de los vuelos cancelados. P(~D)=1-P(D)= 1-(.025) P(~D)=. 975 24 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Regla general de la adición.:

Regla general de la adición. Probabilidad conjunta. Es la probabilidad que evalúa la posibilidad de que dos o más eventos ocurran en forma simultanea. Ejemplos. Se quiere hacer un estudio en los turistas que visitan las playas de Can Cun , Isla Mujeres y Cozumel durante un determinado año . En este caso el que un turista visite Can Cun no elimina que el mismo turista pueda visitar Cozumel e Islas Mujeres. Estos eventos no son excluyentes y se estudiarían bajo un esquema de probabilidad conjunta. 25 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Regla general de la adición.:

Regla general de la adición. La regla general de la adición se aplica cuando los eventos NO SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Y se expresa como lo indica la fórmula en donde: P(A o B) es la probabilidad de que ocurra el evento A o bien el evento B, pero no ambos. P(A y B) es la probabilidad de que ocurran ambos eventos en forma simultanea. P(A o B)=P(A)+P(B)-P(A y B). 26 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Ejemplo regla general de la adición.:

Ejemplo regla general de la adición. En una muestra de 500 estudiantes, 225 afirmaron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV, y 100 afirmaron tener ambos. 27 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Ejemplo regla general de la adición.:

Ejemplo regla general de la adición. P ( Stereo ) = 225/500 = 0.45 P ( TV ) = 175/500 = 0.35 P ( Stero y TV ) = 100/500 = 0.20 28 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Ejemplo regla general de la adición.:

Ejemplo regla general de la adición. Si un estudiante es seleccionado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su cuarto? P ( S o T ) = P ( S ) + P ( T ) - P ( S y T ) = 0.45 + 0.35 - 0.20 = 0.60 29 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D.

Regla especial de la multiplicación.:

Regla especial de la multiplicación. Para la aplicación de esta regla se requiere que los eventos sean independientes. Un evento independiente es cuando la ocurrencia de un evento no afecta a la ocurrencia del otro. Un ejemplo es lanzar dos monedas, que salga águila o sol en una no tiene nada que ver con que salga águila o sol en la otra. P(A y B)= P(A) * P(B) 30 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. Regla especial de la multiplicación Fórmula

Ejemplo regla espacial de multiplicación.:

Ejemplo regla espacial de multiplicación. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 31 Con el objeto de proteger un equipo eléctrico se colocarán tres fusibles en serie de un mismo proveedor. La probabilidad de falla de un de ellos es de 0.15 ¿Cuál es la probabilidad de que fallen los tres fusibles al mismo tiempo si no se afectan entre si ? P(A y B y C)=P(A)* P(B)*P(C). P(A y B y C )= 0.15*0.15*0.15=.0034

Regla general de multiplicación.:

Regla general de multiplicación. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 32 Probabilidad condicional. Es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que otro evento ya haya ocurrido. La probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ha ocurrido se escribe P ( A l B ).

Regla general de multiplicación.:

Regla general de multiplicación. La regla general de la multiplicación es utilizada para encontrar la probabilidad conjunta de que dos o mas eventos ocurran y estos eventos son dependientes y condicionales. La regla establece que dados dos eventos A y B, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que suceda A , por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B . P(A y B)=P(A)*P( BlA ) 33 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. Definición Fórmula

Regla general de la multiplicación.:

Regla general de la multiplicación. Ejemplo de probabilidad condicional. Si tenemos 10 rollos de película de polietileno y se sabe que tres son defectuosos . La probabilidad de sacar un rollo defectuoso es de 3/10. 34

Regla general de la multiplicación.:

Regla general de la multiplicación. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 35 Ejemplo de probabilidad condicional. Ahora si al sacar un rollo resulta que este es defectuoso e intento sacar otro rollo sin reponer la probabilidad de que el segundo rollo sea defectuoso es de 2/9 Por el contrario si el primer rollo que saque no es defectuoso y no se repone el rollo la probabilidad que el segundo rollo sea defectuosos es de 3/9 porque aun están los tres rollos malos pero hay un rollo menos.

Regla general de la multiplicación.:

Regla general de la multiplicación. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 36 Ejemplo de probabilidad condicional. Como nos dimos cuenta las probabilidades cambian dependiendo de lo que suceda en el primer evento de 2/9 a 3/9. A esta probabilidad se le llama probabilidad condicional.

Ejercicio regla general de la multiplicación.:

Ejercicio regla general de la multiplicación. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 37 Se tiene un lote de 10 rollos en donde 3 de ellos están defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de sacar 3 rollos defectuosos? (considerar que no hay remplazo) Ampliando la fórmula de la regla general de multiplicación. P(A y B y C)= P(A)P(B l A)P(C l AyB ) Sustituyendo valores. (3/10)(2/9)(1/8)= 6/720= 0.00833

Conclusión.:

Conclusión. Elaboró: Ing. Mario Iván Salas D. 38 El uso de las reglas de multiplicación y adición de la probabilidad nos permiten establecer la probabilidad para diferentes situaciones de eventos.

Objetivo.:

Objetivo. Al concluir este tema el participante comprenderá los fundamentos de las distribuciones de probabilidad e identificará las principales distribuciones de probabilidad. 39

Introducción.:

Introducción. En muchas ocasiones nos enfrentaremos a situaciones en donde es necesario predecir eventos futuros como por ejemplo la posibilidad de que un cliente detecte partes defectuosos. Las distribuciones de probabilidad son una herramienta que nos facilita dar la respuesta en forma gráfica y cuantitativa de cómo se comportara el proceso ante ciertas situaciones. 40

Fundamentos:

Fundamentos 41 Variable aleatoria Una variable aleatoria es un valor numérico determinado por el resultado de un experimento. Las variables aleatorias pueden ser continuas o discretas.

Tipos de variables.:

Tipos de variables. 42 Una variable discreta puede asumir sólo valores claramente separados . Estos valores surgen de un proceso de conteo. Una variable continua puede asumir un número infinito de valores dentro de un rango determinado . Estos valores surgen de un proceso de medición.

Tipos de variables.:

Tipos de variables. 43 Ejemplos de una distribución discreta son: El número de autos entrando en un auto lavado por hora. El número de clientes que llegan a un banco cada hora . El numero de partes defectuosas en una fábrica. El número de defectos en una envase. El numero de poros de una pieza pintada.

Tipos de variables.:

Tipos de variables. Ejemplos de una distribución de probabilidad continua: La densidad de la leche. La resistencia eléctrica de un arnés. El tiempo invertido en una llamada telefónica. La resistencia de una pieza metálica. 44

Distribución de probabilidad.:

Distribución de probabilidad. Una distribución de probabilidad es la lista de todos los resultados posibles de un experimento (variable) y la correspondiente probabilidad. Las distribuciones de probabilidad se grafican en un plano cartesiano x-y. En el eje y se representa la probabilidad y en el eje los posibles resultados. Las distribuciones al igual que las variables se clasifican en continuas y discretas. 45

Tipos de distribuciones.:

Tipos de distribuciones. 46

Creación de una distribución de probabilidad.:

Creación de una distribución de probabilidad. 47 Considere un experimento aleatorio en el cual una misma moneda es lanzada tres veces. Sea x el número de soles. Sea S la que representa el resultado sol y A el resultado águila.

Creación de una distribución de probabilidad.:

Creación de una distribución de probabilidad. Los posibles resultados para este experimento serán: SSS , SSA , SAS , SAA , ASS , SAS , AAS , AAA . Entonces los valores posibles para x (número de caras) son 0, 1, 2, 3. 48

Distribución de probabilidad.:

Distribución de probabilidad. El resultado cero caras ocurre una vez . (1/8) El resultado una cara ocurre tres veces . (3/8) El resultado dos caras ocurre tres veces . (3/8) El resultado tres caras ocurre una vez . (1/8) De la definición de variable aleatoria, x está definida en este experimento como la variable aleatoria . 49

Distribución de probabilidad.:

Distribución de probabilidad. Número de soles Probabilidd P(X) 0 0.125 1 0.375 2 0.375 3 0.125 50 Elaboró: Ing. Mario Iván Salas.

Características de una distribución discreta:

Características de una distribución discreta 51 Las principales características de una distribución de probabilidad son: La suma de las probabilidades es 1.00 La probabilidad de un resultado particular es un número mayor o igual a cero y menor o igual a uno. Los resultados son mutuamente excluyentes .

Conclusión.:

Conclusión. 52 Una distribución de probabilidad es una representación gráfica de la probabilidad de los resultados esperados en un experimento. Las variables pueden ser continuas o discretas.

Distribución Normal:

Distribución Normal

Características distribución normal:

Características distribución normal

Características distribución normal:

Características distribución normal

Distribuciones normales.:

Distribuciones normales.

Distribución normal estándar.:

Distribución normal estándar.

Distribución normal estandar.:

Distribución normal estandar .

Distribución Normal:

Distribución Normal

Ejercicio Distribución normal:

Ejercicio Distribución normal

Ejercicio Distribución normal.:

Ejercicio Distribución normal.

Distribución normal y excel.:

Distribución normal y excel .

Distribución normal y excel.:

Distribución normal y excel .

Distribución normal y excel.:

Distribución normal y excel .

Distribución normal y excel.:

Distribución normal y excel .

Distribución normal y excel.:

Distribución normal y excel .

Distribución normal y Excel.:

Distribución normal y E xcel. ..\ DistProb \DistProb.xlsx

Bibliografía:

Bibliografía Douglas A. Lind , William G. Marchal , Robert D. Mason Estadística para Administración y Economía Alfaomega 11a edición Pags . 192 a 195. 68

Objetivos.:

Objetivos.

Distribución binomial.:

Distribución binomial.

Distribución binomial.:

Distribución binomial.

Distribución binomial.:

Distribución binomial.

Fórmula Distribución binomial.:

Fórmula Distribución binomial.

Ejercicio.:

Ejercicio.

Ejercicio.:

Ejercicio.

Distribución binomial excel.:

Distribución binomial excel .

Ejercicio.:

Ejercicio.

Promedio y varianza.:

Promedio y varianza.

Promedio y varianza.:

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