Funções Geral

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Plano cartesiano:

Plano cartesiano

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x y O (0, 0) 1º quadrante 2º quadrante 3º quadrante 4º quadrante eixo das abscissas eixo das ordenadas Origem

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P x y O 4 3 P(3, 4) abscissa do ponto P ordenado do ponto P No caso, 3 e 4 são as coordenadas de P.

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x O y A B C D E F G H A (4, 0) B (1, 5) C (0, 3) D (–2, 2) E (–1, 0) F (–3, –3) G (0, –3) H (–1, 3)

Relações binárias:

Relações binárias

Produto Cartesiano:

Produto Cartesiano Dados os conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano de A por B (A X B) o conjuntos de todos os pares ordenados (x, y) que podem ser formados com primeiro elemento de A e segundo elemento de B. A X B = { (x, y) / x ∈ A e y ∈ B} Onde x é a abscissa do par e y é a ordenada . Os elementos x e y são as coordenadas do par.

Exemplo:

(1, 4), Exemplo Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, determine: A X B, B X A e B 2 . A X B = { (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5) } B X A = { (4, 1), (4, 3), (4, 2), (5, 1), (5, 2), (5, 3) } B 2 = B X B = { (4, 4), (5, 4), (4, 5), (5, 5) }

Representação do produto cartesiano:

Representação do produto cartesiano

Diagrama de “árvore”:

Diagrama de “árvore” 1 2 3 4 5 4 5 4 5 (1, 4) (2, 4) (1, 5) (2, 5) (3, 4) (3, 5)

Diagrama de “flexas”:

1 2 3 4 5 Diagrama de “flexas” A B

Representação geométrica:

x y O Representação geométrica 1 2 3 4 5

Exemplo:

Exemplo Dados os conjuntos A = { x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 3 } e B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 2 }, determine A X B. x 0 1 3 1 2

Exemplo:

Exemplo Calcular m e n para que seja (m + 2, n – 1) = (5, m). Devemos ter: m + 2 = 5 n – 1 = m ⇒ m = 3 n = 4

Relações:

Relações

Relação:

Relação Chama-se relação R de A em B a qualquer subconjunto de A X B. R é uma relação de A em B ⇔ R ⊂ (A X B).

Exemplo:

Exemplo Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, construir o conjunto R dos pares ordenados de A X B, tais que o primeiro e o segundo termos sejam ímpares. 1 2 3 4 5 A B R R = { (1, 5), (x, y) ∈ A X B / x e y são impares (3, 5) } = { }

Veja o gráfico da relação R: A → B:

x y O Veja o gráfico da relação R: A → B 1 2 3 4 5

Funções Conceito e elementos:

Funções Conceito e elementos

Conceito de função:

Conceito de função Analisar um fenômeno natural, econômico ou social, por exemplo, significa relacionar as variáveis envolvidas nele. A ciência ocupa-se da representação e da análise dessas relações de dependência, às quais damos o nome de funções .

Exemplo:

Exemplo Um corpo se move sobre um eixo com velocidade inicial de 6 m/s, mantendo uma aceleração constante de 3 m/s 2 . Sua velocidade v (em metros) está relacionada com o tempo t (em segundos). Obter a fórmula da velocidade e construir o gráfico v x t. 12 2 9 1 6 0 v(m/s) t(s) t (s) v (m/s) 0 12 6 1 2 v = 6 + 3.t 9

Conceito de função:

Conceito de função O conceito de função sofreu muitas mudanças ao longo do tempo. Alguns historiadores creditam ao babilônios (2000 a.C., aproximadamente) as primeiras idéias sobre funções. Mas foi René Descartes (Século XVII) quem primeiro usou a palavra função. Para ele função era qualquer potência de uma variável (x 2 , x 3 , x 4 , etc.).

Conceito de função:

Conceito de função De maneira geral, se a variável x assume valores em um conjunto A e a variável y assume valores em um conjunto B, podemos definir: Função de A em B é toda relação f de A em B que, a cada elemento x de A, associa um único elemento y de B.

Conceito de função:

Conceito de função Suponha que 5 alunos fizeram uma prova de múltipla escolha. Ela tinha 8 questões. Cada uma valia um ponto. Vamos considerar os conjuntos dos alunos A = {1, 2, 3, 4, 5}; dos pontos B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};

Conceito de função:

Conceito de função Vamos representar o resultado da prova de três formas diferentes A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; Por uma tabela Aluno 1 2 3 4 5 nota 6 3 7 8 7 Por um conjunto de pares ordenados {(1, 6), (2, 3), (3, 7), (4, 8), (5, 7)};

Conceito de função:

Conceito de função Vamos representar o resultado da prova de três formas diferentes A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; Por um diagrama de conjuntos 1 2 3 2 A B 0 1 3 4 5 4 5 6 7 8 (x) (y) f

Conceito de função:

Conceito de função O diagrama ilustra uma função f de A em B. f: A→B x y A B f O conjunto A é o domínio da função; O conjunto B é o contradomínio da função; x é a variável independente ; y é a variável dependente ; y é a imagem de x, pela função. y = f(x)

Conceito de função:

Conceito de função No exemplo anterior temos: 1 2 3 2 A B 0 1 3 4 5 4 5 6 7 8 (x) (y) f a imagem de 1 é 6:  f(1) = 6 a imagem de 2 é 3:  f(2) = 3 a imagem de 3 é 7:  f(3) = 7 a imagem de 4 é 8:  f(4) = 8 a imagem de 5 é 7:  f(5) = 7 Im(f) ou f(A) = {3, 6, 7, 8} Im(f)  B (contradomínio)

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Mostrar que o diagrama a seguir representa uma função f de A em B. Em seguida, determinar 1. seu domínio e contradomínio; 2. f(1), f(2) e f(3); 3. Seu conjunto imagem; 4. O conjunto-solução da equação f(x) = 7. 1 2 3 8 A B 5 7 9 f(1) = 5; f(2) = 7 e f(3) = 7 D(f) = A = {1, 2, 3} CD(f) = B = {5, 7, 8, 9} Im(f) = {5, 7} Exemplo S = {2, 3}

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Exemplo Mostrar que o diagrama abaixo não representa uma função de A em B. 3 4 5 6 A B 8 7 9 um único elemento de A (o 4) está associado a dois elementos em B. Além disso, um elemento de A (o 5) não está associado a nenhum elemento de B.

Funções reais:

Funções reais

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Vamos dar ênfase a funções que tem como domínio e contradomínio, subconjuntos de R . Elas se chamam funções numéricas ou funções reais . Em geral, a lei que define uma função real é expressa por uma fórmula , ou seja, a variável dependente y é obtida por meio de um conjunto de operações sobre a variável dependente x. Funções reais

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y = f(x) = x 2 + x – 3. x = –2 ⇒ y = f( –2 ) = ( –2 ) 2 + ( –2 ) – 3 x = 0 ⇒ y = f( 0 ) = ( 0 ) 2 + ( 0 ) – 3 x = 1 ⇒ y = f( 1 ) = ( 1 ) 2 + ( 1 ) – 3 x = 2 ⇒ y = f( 2 ) = ( 2 ) 2 + ( 2 ) – 3 Im(f) = {–3, –1, 3 } f = {(–2, –1), (0, –3), (1, –1), (2, 3)} Exemplo É dada a função real f: {–2, 0, 1, 2} → R definida pela lei y = f(x) = x 2 + x – 3. Determinar suas imagens, conjunto imagem e gráfico cartesiano. = –1 = –3 = –1 = 3

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x 0 1 2 1 3 y –2 –1 –1 –3 f = {(–2, –1), (0, –3), (1, –1), (2, 3)} Veja o gráfico da função

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y = g(x) = 2x – 1. x = 0 ⇒ y = g( 0 ) = 2. 0 – 1 x = 1 ⇒ y = g( 1 ) = 2. 1 – 1 x = 3 ⇒ y = g( 3 ) = 2. 3 – 1 Obtivemos os pontos A(0, –1), B(1, 1) e C(3, 5). Construir o gráfico cartesiano da função real g: R + → R , dada por y = g(x) = 2x – 1. A partir do gráfico determinar o seu conjunto imagem. Exemplo = –1 = 1 = 5

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Veja o gráfico da função x y –1 1 1 3 5 A(0, –1), B(1, 1) e C(3, 5). A B C Im(f) = [–1, +∞[ g: R + → R

Reconhecendo gráfico de funções reais:

Reconhecendo gráfico de funções reais

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x y 0 Analise se o gráfico abaixo representa uma função real, de domínio [1, 4]. 1 2 3 4 Exemplo

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x y 0 1 2 3 4 Analise se o gráfico abaixo representa uma função real, de domínio [1, 4]. Exemplo

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x y 0 1 2 3 4 1 2 3 –1 Vamos analisar agora se o gráfico a seguir representa uma função real, de domínio [–1, 4]. Exemplo

Os gráficos analisados sugerem uma regra geral. Como identificar se um dado gráfico é uma função y = f(x), de domínio D?:

Os gráficos analisados sugerem uma regra geral. Como identificar se um dado gráfico é uma função y = f(x), de domínio D ? Imaginamos todas as retas paralelas ao eixo y, por um ponto x do domínio D . Temos uma função só se todas elas interceptam o gráfico num único ponto.

Domínio e conjunto imagem a partir do gráfico cartesiano:

Domínio e conjunto imagem a partir do gráfico cartesiano

Domínio e conjunto imagem:

Domínio e conjunto imagem O domínio é obtido projetando todos os pontos do gráfico da função no eixo das abscissas ; O conjunto imagem é obtido projetando os pontos do gráfico da função no eixo das ordenadas .

Analise o gráfico da função abaixo e determine o seu domínio e o seu conjunto imagem.:

x y 0 1 2 5 4 Analise o gráfico da função abaixo e determine o seu domínio e o seu conjunto imagem. D = [2, 5[ Im = [1, 4[

Analise o gráfico da função abaixo e determine o seu domínio e o seu conjunto imagem.:

x y 0 –1 2 D = [–1,  [ Im = ]– , 2 ] Analise o gráfico da função abaixo e determine o seu domínio e o seu conjunto imagem.

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y = g(x) = Calcular g(0), g(√2) e g(4). x – 1, se x ≤ 1 x = 0 ⇒ y = g( 0 ) = 0 – 1 = –1 x = √2 ⇒ y = g( √2 ) = 3 Na função real g: R → R definida por. Exemplos (1) 3, se 1 < x ≤ 2 (2) (3) x 3 + 1, se x > 2 x = 4 ⇒ y = g( 4 ) = 4 3 + 1 = 65

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Qual é a imagem de 1. 1 é imagem de qual número? Determine x tal que g(x) = –3. Existe algum valor do domínio cuja imagem é 0. x = 1  g( 1 ) = 2. 1 + 5 = Dada a função g: ℤ  ℝ definida por g(x) = 2x + 5. Pergunta-se: Exemplos 7 g(x) = 1  2 x + 5 = 1  2 x = –4  x = –2 g(x) = –3  2 x + 5 = –3  2 x = –8  x = –4 g(x) = 0  2 x + 5 = 0  2 x = –5  x = – 5/2

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f: ℝ  ℝ sendo f(x) = x + 3. g:A  B sendo f(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B = {0, 2, 3, 5, 7}. h: ℕ  ℝ sendo h(x) = x 2 – 4. Determine as raízes das funções abaixo, se existirem. Exemplos f(x) = 0  x + 3 = 0  x = –3 –3 é a raiz da função f. Logo f(–3) = 0 .

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f: ℝ  ℝ sendo f(x) = x + 3. g:A  B sendo f(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B = {0, 2, 3, 5, 7}. h: ℕ  ℝ sendo h(x) = x 2 – 4. Determine as raízes das funções abaixo, se existirem. Exemplos g(x) = 0  –x + 3 = 0  x = 3 3 é a raiz da função g. Logo g(3 ) = 0 .

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f: ℝ  ℝ sendo f(x) = x + 3. g:A  B sendo f(x) = –x + 3, com A = {–2, 1, 3} e B = {0, 2, 3, 5, 7}. h: ℕ  ℝ sendo h(x) = x 2 – 4. Determine as raízes das funções abaixo, se existirem. Exemplos h(x) = 0  x 2 – 4 = 0  x 2 = 4 –2 não pertence ao domínio ( ℕ) da função h, assim, somente 2 é raiz da função .  x =  2

Raízes e sinais de uma função – Análise gráfica:

Raízes e sinais de uma função – Análise gráfica

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O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em ºC) de uma substância em função do tempo t(em s). Raízes e sinais de uma função A tempera é zero nos instantes de tempo: t = 15 s, t = 40 s e t = 50 s. Dizemos que 15 , 40 e 50 são as raízes ou zeros da função. t(s) T(ºC) A B C D E 10 20 –10 –20 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

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O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em ºC) de uma substância em função do tempo t(em s). Raízes e sinais de uma função A tempera é positiva (T > 0) nos trechos AB e CD. São as partes do gráfico cujos pontos estão acima do eixo das abscissas . t(s) T(ºC) A B C D E 10 20 –10 –20 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

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O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em ºC) de uma substância em função do tempo t(em s). Raízes e sinais de uma função A tempera é negativa (T < 0) nos trechos BC e DE. São as partes do gráfico cujos pontos estão abaixo do eixo das abscissas . t(s) T(ºC) A B C D E 10 20 –10 –20 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

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O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura T(em ºC) de uma substância em função do tempo t(em s). Raízes e sinais de uma função Em símbolos, T > 0  0 ≤ t < 15 ou 40 < t < 50 T < 0  15 < t < 40 ou 50 < t ≤ 60 t(s) T(ºC) A B C D E 10 20 –10 –20 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 + + + – – – –

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Analisar as raízes e os sinais da função cujo gráfico é a linha vermelha da figura. Exemplos y x –2 4 + + + + – – Raízes: x = –2 ou x = 4 Sinais: y > 0  –2 < x < 4 ou x > 4 y < 0  x < –2

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Analisar as raízes e os sinais da função cujo gráfico é a linha vermelha da figura. Exemplos y x 0 + + + + + + + + A função não tem raízes reais, porque o gráfico não corta o eixo x. O gráfico está todo situado acima do eixo x. Por isso, y > 0 para todo x real.

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O gráfico abaixo representa a função y = f(x). Determine: Exemplos y x 0 –2 –1 1 3 4 5 6 7 –1 1 3 As raízes de f. Os valores de x/ f(x) > 0. Os valores de x/ f(x) <0. x = 4 ou x = 6 –2 ≤ x < 4 ou 6 < x ≤ 7 4 < x < 6

Raízes, crescimento, decrescimento, máximo e mínimo de uma função:

Raízes, crescimento, decrescimento, máximo e mínimo de uma função

Veja o gráfico abaixo:

Veja o gráfico abaixo A partir do gráfico de y = f(x) vamos determinar o máximo, o mínimo, as raízes, os sinais de f e os intervalos em que a função é crescente, decrescente ou constante. x y 0 1 2 3 –3 –2 –1 4 –2 2 D = [–3, 4[ Im = [–2, 2] o mínimo é –2. o máximo é 2.

Veja o gráfico abaixo:

Veja o gráfico abaixo A partir do gráfico de y = f(x) vamos determinar o máximo, o mínimo, as raízes, os sinais de f e os intervalos em que a função é crescente, decrescente ou constante. x y 0 1 2 3 –3 –2 –1 4 –2 2 x =–2 ou x = 0 ou x = 3. f(x) > 0 para: –2 < x < 0 ou 3 < x < 4. f(x) < 0 para: –3 < x < –2 ou 0 < x < 3. f(x) = 0 para:

Veja o gráfico abaixo:

Veja o gráfico abaixo A partir do gráfico de y = f(x) vamos determinar o máximo, o mínimo, as raízes, os sinais de f e os intervalos em que a função é crescente, decrescente ou constante. x y 0 1 2 3 –3 –2 –1 4 –2 2 f(x) é crescente para: –3 ≤ x ≤ –1 ou 2 ≤ x < 4 f(x) é decrescente para: –1 ≤ x ≤ 1 f(x) é constante para: 1 ≤ x ≤ 2

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