Struttura a bande

Metodi numerici: Pseudopotenziale : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Metodi numerici: Pseudopotenziale I metodi di calcolo della struttura a bande operano nell’ambito dello schema ad un elettrone, modificando in maniera autoconsistente (in funzione delle soluzioni) il potenziale. In precedenza si è visto come dei potenziali a particella singola possano includere l’interazione elettrone-elettrone. “Come è possibile che un elettrone in un metallo si comporti come se fosse libero dento una scatola ?” (Elettroni Quasi Liberi) Lo pseudopotenziale fornisce la risposta ! Restringiamo l’attenzione ad una singola cella unitaria sia un’onda piana sia uno stato di core Onde Piane Ortogonalizzate (OPW): stati di core + stati di conduzione Consideriamo l’effetto di un potenziale Coulombiano per un atomo di valenza U=Z/R

Metodi numerici: Pseudopotenziale : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Metodi numerici: Pseudopotenziale Se fosse un sistema completo di autostati allora = 0. Sulla base di questo l’ipotesi è che sia piccolo. In definitiva Si è trasformata l’eq. di Schr. in una con potenziale debole e stati ad onde piane. “Costo”: lo pseudopotenziale Ups è nonlocale. Per valutare il suo effetto su un generico stato Y(r) occorre svolgere degli integrali in r, inoltre Ups dipende dagli autovalori dell’energia e, che non sono noti.

Pseudopotenziale empirico : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Pseudopotenziale empirico Es. empty-core potential : potenziale a tre parametri (U0, Rc e d) Costruire empiricamente dei potenziali deboli per “catturare” importanti caratteristuche emerse dagli esperimenti.

Pseudopotenziale da principi primi : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Pseudopotenziale da principi primi Kohn-Sham autofunzioni R  autofunzioni Rps shell esterne  U con Ups tale che soluzioni KS  Rps Usare funzioni d’onda atomica di forma “conveniente” (simm. sferica) in Kohn-Sham

Pseudopotenziale da principi primi : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Pseudopotenziale da principi primi pseudopotenziali risultanti (uno per ogni stato del momento angolare) Ups differente per ciascun stato di l

Pseudopotenziale : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Pseudopotenziale La teoria generale delle funzioni dielettriche prevede che una nuvola elettronica schermi un nucleo nudo rispettando la condizione (da cui determinare k): Dato un insieme di atomi disposti su un reticolo per cui è stato determinato lo pseudopotenziale, il compito seguente è la costruzione dell’insieme delle autofunzioni di base per la successiva risoluzione dell’eq. di Schr. Sono stati usati vari metodi: LCAO (Linear Combination of Atomic Orbitals) Onde piane LAPW (Linear Augmented Plane Waves) LMTO (Linearized Muffin Tin Orbitals) Un ulteriore miglioramento si ottiene includendo l’effetto di schermo (rammentare che H-F non ne tiene conto) Anche gli effetti relativistici diventano importanti per atomi pesanti !

Metalli, Isolanti e Semiconduttori : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Metalli, Isolanti e Semiconduttori

Gas Nobili : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Gas Nobili Krypton: fcc a=5.72Å, Eion=10.5eV, Ethgap=6.7eV, Eexpgap10.5eV, DEband2eV Grande gap banda di valenza/conduzione  localizz. Wannier OK !

Metalli con elettroni quasi liberi : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Metalli con elettroni quasi liberi Oltre che per gli alcalini questa approssimazione funziona bene per i metalli nobili (reticolo fcc) Cu, Ag, Au: shell chiuse (inerti) che non interagiscono con gli elettroni di conduzione (1 elettrone s). Le superfici di Fermi sono abbastanza distanti dal limite della BZ, quindi lontano da effetti di “scattering” del reticolo.

Metalli con elettroni quasi liberi : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Metalli con elettroni quasi liberi Alluminio fcc 4.05Å elettroni liberi

Metalli con elettroni quasi liberi : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Metalli con elettroni quasi liberi Le bande d ed s si ibridizzano nella zona di sovrapposizione. I risultati coincidono abbastanza con le misure sperimentali: sono necessari 2eV per eccitare (vedi freccia) un elettrone da stati al top della banda d a quella s. Rame fcc 3.61Å Gli elementi dalla 2a alla 12a colonna hanno la shell s piena, ma non sono isolanti perchè la sup. di Fermi invece di “contrarsi” per “includere” la BZ, la attraversa varie volte, determinando un comportamento metallico.

Semiconduttori : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Semiconduttori Silicio (diamante) 5.43Å

Metalli di transizione : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Metalli di transizione Vanadio