Modello elettroni quasi liberi e tight binding

Elettroni quasi liberi : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Elettroni quasi liberi Benchè l’approssimazione di ignorare l’interazione elettrone-elettrone e considerare il potenziale dei nuclei trascurabile sembri poco realistica, (approssimazione ad elettroni quasi liberi, Peierls 1930) le superfici di Fermi determinate sperimentalmente (1956) coincidevano molto bene con le previsioni del modello. Consideriamo un elettrone in un potenziale debole, come un’onda che “viaggia” nel reticolo. Come già visto sarà soggetta a scattering quando Questo risultato presenta due aspetti (che saranno derivati nel seguito): deriva direttamente dalla teoria delle perturbazioni definisce una serie di piani che dividono lo spazio reciproco in una sequenza di zone di Brillouin, eguali in volume ma di forma complessa

Teoria delle perturbazioni : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Teoria delle perturbazioni Applichiamo la teoria delle perturbazioni all’eq. di Schroedinger

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Fisica dei Solidi 2005/6 Teoria delle perturbazioni

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Fisica dei Solidi 2005/6 Teoria delle perturbazioni: livelli degeneri

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Fisica dei Solidi 2005/6 Caso unidimensionale

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Fisica dei Solidi 2005/6 Vista “Geometrica”

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Fisica dei Solidi 2005/6 Esempio: reticolo quadrato bidimensionale Reticolo quadrato 2-D con due elettroni per sito. Reticolo reciproco quadrato di lato 2p/a. no. k in BZ = no. punti reticolo, quindi si possono sistemare esattamente due elettroni: il volume (area) della sfera di Fermi eguaglia quello della BZ. kF > p/a quindi gli elettroni parzialmente fuoriescono dalla I zona.

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Fisica dei Solidi 2005/6 Superfici di Fermi e zone di Brillouin(caso bidimensionale) Costruzione delle BZ occupate (A), (B) e (C). Costruzione di Harrison (D).

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Fisica dei Solidi 2005/6 Casi tridimensionali Superficie di Fermi nel caso di tre elettroni per sito in un cristallo fcc. La sup. non interseca la prima zona ed è ripartita tra la seconda e la terza. Notare la differenza tra schema esteso e quello ridotto.

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Fisica dei Solidi 2005/6 Casi tridimensionali: reticolo FCC

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Fisica dei Solidi 2005/6 Casi tridimensionali: reticolo BCC

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Fisica dei Solidi 2005/6 Casi tridimensionali: reticolo Esagonale

Elettroni fortemente legati : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Elettroni fortemente legati Consideriamo gli elettroni del solido come come appartenenti ai singoli atomi, quindi descritti da funzioni d’onda atomiche: metodo tight-binding Funzioni di Wannier: set di funzioni ortonormali costruite da funzioni di Bloch e localizzate sui siti atomici. Supponiamo di avere trovato le autofunzioni dell’Hamiltoniana che soddisfano il teorema di Bloch:

Modello Tight Binding : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Modello Tight Binding Scriviamo l’eq. di Schroedinger per le funzioni di Wannier L’Hamiltoniana si può limitare alla n-esima banda, come verrà dimostrato nel seguito. L’espressione precedente è utile se la funzione di Wannier in R presenta un’ampiezza trascurabile a distanze maggiori di quella a primi vicini, cioè si possono trascurare elementi di matrice del tipo (a meno che R e R’ siano primi vicini):

Modello Tight Binding : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Modello Tight Binding In definitiva

Modello Tight Binding : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Modello Tight Binding “hopping term ” energia d’interazione tra elettroni su siti differenti “on-site term ” energia necessaria per “piazzare” un elettrone su un sito d insieme di vettori che “puntano” ai primi vicini di R

Modello Tight Binding (semplice soluzione) : 

Fisica dei Solidi 2005/6 Modello Tight Binding (semplice soluzione) La semplicità della soluzione precedente potrebbe suggerire un metodo molto facile per determinare, approssimativamente, la struttura a bande di solidi reali: basta inserire sufficienti termini in R nella HTB. Tuttavia in presenza di bande degeneri lo sviluppo di Wannier non è esponenzialmente localizzato e non si può troncare lo sviluppo.