Modello ad elettrone singolo

Hamiltoniana comleta di un solido : 

1 Hamiltoniana comleta di un solido 1023 particelle ! (elettroni+nuclei)

Approssimazioni : 

2 Approssimazioni semplificazioni crescenti, ma il principio di esclusione di Pauli vale sempre elettroni non interagenti elettroni interagenti con un potenziale medio (interazione con ioni e altri elettroni)

Approssimazioni : 

3 Approssimazioni Il punto fondamentale è il principio di Pauli, che determina due conseguenze: i solidi contengono elettroni molto energetici (classicamente avrebbero energie dell’ordine di 10000 K) solo quegli elettroni che hanno energie prossime al valore max partecipano ai processi di trasporto Concetti importanti Numero di occupazione Energia di Fermi Superficie di Fermi Densità degli stati Massa efficace

Hamiltoniana ad elettrone singolo : 

4 Hamiltoniana ad elettrone singolo

Densità degli stati (1) : 

5 Densità degli stati (1) condizioni di periodicità funzione d’onda

Densità degli stati (2) : 

6 Densità degli stati (2) L’insieme degli stati k, descritti dalla relazione precedente, occupano un reticolo cubico nello spazio reciproco con separazione 2p/L e volume (2p/L)3.

Densità degli stati (3) : 

7 Densità degli stati (3) Per calcolare: numero totale di elettroni, l’energia e altre quantità termodinamiche, occorre svolgere somme tipo è utile (matematicamente) convertire le somme in integrali: si definisce densità elettronica degli stati: facciamo la posizione:

Densità degli stati energetici : 

8 Densità degli stati energetici Tra le funzioni che fanno riferimento alla densità degli stati la più importante è certamente la densità degli stati di energia: D() applicando le relazioni precedenti si ha:

Densità degli stati energetici : 

9 Densità degli stati energetici applicando le relazioni precedenti si ha:

Meccanica statistica di fermioni non-interagenti : 

10 Meccanica statistica di fermioni non-interagenti A temperature sufficientemente elevate ovvero basse densità gli elettroni si comportano classicamente, ma a RT ed alle densità riscontrate nei metalli gli effetti quanto-meccanici sono fondamentali.

Funzione di Fermi : 

11 Funzione di Fermi Nota l’energia libera si possono ricavare altre grandezze termodinamiche, p.es. il numero medio di elettroni N

Funzione di Fermi : 

12 Funzione di Fermi Nota l’energia libera si possono ricavare altre grandezze termodinamiche, p.es. l’energia totale del sistema di elettroni e

Funzione di Fermi : 

13 Funzione di Fermi Andamento della funzione di fermi al variare di kBT

Energia di Fermi : 

14 Energia di Fermi Gli elettroni avrebbero (classicamente) energie elevatissime, quindi a RT il gas di Fermi è sempre degenere (quantistico).

Espansione di Sommerfeld : 

15 Espansione di Sommerfeld Il paradosso della densità degli stati troppo piccola è risolto da

Calore specifico di elettroni non interagenti : 

16 Calore specifico di elettroni non interagenti Per calcolare il calore specifico di elettroni non interagenti occorre trovare l’energia media e, successivamente rammentando che

Calore specifico di elettroni non interagenti : 

17 Calore specifico di elettroni non interagenti al secondo ordine in T2 si ottiene parametro di Sommerfeld

Calore specifico di elettroni non interagenti : 

18 Calore specifico di elettroni non interagenti Dati sperimentali

Calore specifico di un gas di Fermi : 

19 Calore specifico di un gas di Fermi Confrontando i risultati sperimentali con il calcolo teorico (vedi tabella) si osserva un ottimo accordo per alcuni, ma anche enormi deviazioni. Poichè l’energia di Fermi è inversamente proporzionale alla massa dell’elettrone, il calore specifico è, invece, direttamente proporzionale ad essa. Quindi le deviazioni dal modello possono essere descritte come se per quei metalli vi siano particelle efficaci la cui massa differisce da quella degli elettroni (fermioni pesanti).

Calore specifico di un gas di Fermi : 

20 Calore specifico di un gas di Fermi al secondo ordine in T2 si ottiene