Diffrazione

Diffrazione nei cristalli : 

1 Diffrazione nei cristalli La diffrazione di raggi X da parte dei cristalli ha fornito l possibilità di determinare la posizione degli atomi nei solidi, cioè la struttura reticolare. Nel 1912 M. von Laue ebbe questa intuizione, tuttavia vi era un forte scetticismo circa l’efficacia dell’esperimento. Perchè ? Consideriamo il cristallo di NaCl. All’epoca si conoscevano: il valore del modulo Young (5·1011 ergscm-3) le masse di Na e Cl : 23 e 35 g/mole, rispettivamente la densità di NaCl: 4.29 g·cm-3

Diffrazione nei cristalli : 

2 Diffrazione nei cristalli La costante elastica K del legame (analogia molla) vale Usando il teorema di equipartizione dell’energia Questa distanza è inferiore a quella interatomica, ma confrontabile con la l dei raggi X (~10-9 cm). Gli esperimenti furono condotti da Friedrich su cristalli di solfato di rame, utilizzando lastre fotografiche come rivelatori di raggi X. Dopo qualche tentativo si osservarono una distribuzione regolare di punti luminosi, e Laue mise subito a punto la teoria della diffrazione per i cristalli.

Teoria dello scattering elastico : 

3 Teoria dello scattering elastico Forma dell’onda diffusa per un diffusore posto nell’origine e indipendentemente dal tipo di sonda f = fattore di forma, tiene conto dell’interazione tra il potenziale di scattering e l’onda diffusa ed è legato alla intensità dell’onda diffusa: L’intensità dell’onda diffusa sotto un angolo dW a distanza r è

Scattering da un diffusore in : 

4 Scattering da un diffusore in Quando si hanno un gran numero di diffusori l’ampiezza dell’onda diffusa è il prodotto di due termini: contributo di ciascun diffusore (descritto da f) per r sufficientemente grande sovrapposizione delle intensità diffuse da ciascun diffusore che dipende dalla loro correlazione spaziale (modulazione). posto e si ha con

Scattering da molti diffusori : 

5 Scattering da molti diffusori Questo risultato vale per qualunque distribuzione di diffusori, anche diversi tra loro.

Somme reticolari : 

6 Somme reticolari Nel caso unidimensionale si osservano massimi per

Somma reticolare unidimensionale (dettagli) : 

7 Somma reticolare unidimensionale (dettagli)

Somme reticolari : 

8 Somme reticolari Si può esprimere il risultato in termini di funzioni d Generalizzando il risultato al caso 3-D, per la soluzione dell’eq. di Laue deve essere Dobbiamo, quindi, trovare quell’insieme di vettori K definiti da Dobbiamo, quindi, trovare quell’insieme di vettori K che soddisfano la relazione In definitiva, i vettori R definiscono il reticolo di Bravais, quelli K il reticolo reciproco.

Piani di Bragg : 

9 Piani di Bragg Vediamo se i vettori K formano un reticolo. Basta trovarne due per definire tutti gli altri attraverso combinazioni lineari. Supponiamo di averne trovato uno per cui Fissata la direzione di K, i vettori R che soddisfano la condizione giacciono in un piano passante per l’origine. Deve essere nel piano e nel piano adiacente. Quindi generalizzando deve essere

Reticolo con base : 

10 Reticolo con base Fattore di struttura F di una cella unitaria. Se F si annulla “scompare” una riflessione di Bragg (spiegazione assenza spot in esperimento Friedrich).

Esempio: diamante : 

11 Esempio: diamante Il reticolo del diamante è un fcc + base. Fattore di struttura

Metodi sperimentali : 

12 Metodi sperimentali Costruzione di Ewald Illuminando questo cristallo con generici raggi X monocromatici non determina spot di diffrazione !

Metodi sperimentali : 

13 Metodi sperimentali Metodo di Laue La radiazione incidente “copre” un intervallo di vettori d’onda, quindi la probabilità che le condizioni di diffrazione siano soddisfatte aumenta considerevolmente. Il metodo è utilizzato per orientare i cristalli.

Metodi sperimentali : 

14 Metodi sperimentali Costruzione di Ewald: calcolo k0 e q:

Metodi sperimentali : 

15 Metodi sperimentali Geometria di Ewald

Bragg Scattering : 

16 Bragg Scattering Esempio Scattering di Bragg ad un angolo q=26.6º dai piani (2 1) di un reticolo quadrato. I vettori k, k0 e K sono determinati da

Metodi sperimentali : 

17 Metodi sperimentali Metodo delle polveri (di Debye-Scherrer) In presenza di numerosi microcristalli orientati in tutte le direzioni è equivalente a ruotare il cristallo in tutte le direzioni. Si osservano “anelli” di diffrazione sotto l’angolo q: Il raggio r dell’anello di scattering dovuto al vettore di reticolo reciproco K, essendo D la distanza campione-lastra fotografica (rivelatore) è dato dalla relazione:

Esperimenti di scattering : 

18 Esperimenti di scattering Si possono usare vari tipi di “sonde”: Raggi X – in approssimazione “classica” sono gli elettroni dell’atomo che re-irradiano l’onda e.m. incidente (i nuclei sono troppo “pesanti”): Gli elettroni sono descritti da una distribuzione n(r) :

Sorgenti di radiazione e.m. : 

19 Sorgenti di radiazione e.m.

Esperimenti di scattering : 

20 Esperimenti di scattering Si possono usare vari tipi di “sonde”: Neutroni – scattering isotropo Gli elettroni sono descritti da una distribuzione n(r) :