Η ιστορία των μαθηματικών

Views:
 
Category: Education
     
 

Presentation Description

Ερευνητική εργασία Α λυκείου

Comments

Presentation Transcript

«Η ιστορία των Μαθηματικών σαν ένα συναρπαστικό μυθιστόρημα» :

«Η ιστορία των Μαθηματικών σαν ένα συναρπαστικό μυθιστόρημα» Ερευνητική εργασία στην Α’ λυκείου 2ο Λύκειο Βριλησσίων

PowerPoint Presentation:

Στο 1ο τετράμηνο το κύριο ερώτημα που μας απασχόλησε ήταν το: «Γιατί και πως τα σύγχρονα Μαθηματικά γεννήθηκαν στην Αρχαία Ελλάδα;»  

PowerPoint Presentation:

Στο 2ο τετράμηνο το κύριο ερώτημα που μας απασχόλησε ήταν το: « Ποιά ήταν η εξέλιξη της Άλγεβρας από τον Διόφαντο και τους Άραβες μέχρι τους Ιταλούς της Αναγέννησης και τον Γκαλουά;»  

ΘΑΛΗΣ :

ΘΑΛΗΣ

Πυθαγόρας ο Σάμιος:

Πυθαγόρας ο Σάμιος Γεννήθηκε μεταξύ 580 – 572 π.Χ. Ο Πυθαγόρας πέθανε στο Μεταπόντιο περίπου 500-490 π.Χ. Ίδρυση της ‘Σχολής των Πυθαγορείων’

Η Σχολή των Πυθαγορείων:

Η Σχολή των Πυθαγορείων 1ο ‘Πανεπιστήμιο’ του κόσμου Αριθμητική, Μουσική, Γεωμετρία, Αστρονομία Μεγάλη μυστικότητα

Το Πυθαγόρειο Πεντάγραμμο:

Το Πυθαγόρειο Πεντάγραμμο Κατασκευή

Η Χρυσή Τομή:

Η Χρυσή Τομή Εισαγωγή από τον Πυθαγόρα Πηλίκο 1,618 Ζωγραφική, Αρχιτεκτονική Φειδίας

PowerPoint Presentation:

ΑΓ/ΑΒ = ΑΒ/ΒΓ ≈ 8/5 ≈ 1,618…

Το Χρυσό Ορθογώνιο:

Το Χρυσό Ορθογώνιο Κατασκευή

Εφαρμογές Χρυσής Τομής:

Εφαρμογές Χρυσής Τομής

Ευκλείδης (325 – 265 π. Χ) :

Ευκλείδης (325 – 265 π. Χ) Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια , ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας. Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας μεγάλος καινοτόμος αλλά κυρίως οργανωτής που συστηματοποίησε και έθεσε σε στέρεες θεωρητικές βάσεις τα συμπεράσματα στα οποία έφτασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες προσωπικότητες της εποχής. Ο Ευκλείδης είχε την ικανότητα να ανασυντάξει τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη :

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία. Εκεί, οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και των ακεραίων αριθμών προκύπτουν από ένα σύνολο αξιωμάτων, εμπνέοντας την αξιωματική μέθοδο των μοντέρνων μαθηματικών. Παρ' ότι πολλά από τα θεωρήματα που περιέχονταν στα Στοιχεία ήταν ήδη γνωστά, ένα από τα επιτεύγματα του Ευκλείδη ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα ενιαίο, λογικά συμπαγές πλαίσιο.

PowerPoint Presentation:

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι μια μαθηματική και γεωμετρική διατριβή που αποτελείται από 13 βιβλία γραμμένα από τον Ευκλείδη στην Αλεξάνδρεια περίπου το 300 π.Χ. Περιλαμβάνει μια συλλογή ορισμών, αξιωμάτων και θεωρημάτων που ορίζουν τη μαθηματική σκέψη από τότε. Τα περιεχόμενα καλύπτουν την γεωμετρία, αλλά και την αρχαιοελληνική θεωρία των αριθμών, όπως και ένα αλγεβρικό σύστημα που έγινε γνωστό ως «γεωμετρική άλγεβρα» και το οποίο είναι αρκετά ισχυρό ώστε να επιλύει πολλά αλγεβρικά προβλήματα, όπως αυτό της εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας. Το έργο του Ευκλείδη ήταν τόσο σημαντικό ώστε η γεωμετρία που περιέγραψε στα Στοιχεία του ονομάστηκε Ευκλείδεια, ενώ τα Στοιχεία σήμερα θεωρούνται ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά έργα όλων των εποχών. Το έργο αυτό βοήθησε πολύ στο να τυποποιήσει τα ελληνικά μαθηματικά.

PowerPoint Presentation:

Τα «Στοιχεία» έχουν χρησιμοποιηθεί σαν βάση για την γεωμετρική εκπαίδευση όλης της Δύσης για τα τελευταία 2000 χρόνια. Ο Ευκλείδης είναι ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που προσπάθησαν να τυποποιήσουν τα μαθηματικά και τα καθορίσουν επάνω σε ένα ίδρυμα των αποδείξεων. Η εργασία του ενέργησε ως αφετηρία για τις μελλοντικές γενεές . Ανδρέας Καλαμίδας Βασίλης Καρλής Γιώργος Γιαννακούλιας Λάμπρος Θωμάς

ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ :

ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ Ο Διόφαντος ήταν Έλληνας μαθηματικός του τρίτου αιώνα ο οποίος έζησε στην Αλεξάνδρεια της ρωμαϊκής Αιγύπτου. Έχει αποκληθεί «πατέρας της άλγεβρας» εξαιτίας του εμβληματικού έργου του «Αριθμητικά», όπου περιέχονται αλγεβρικά προβλήματα τα οποία λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού. Τα συγγράμματα του τον ανέδειξαν μεταξύ των μεγάλων μαθηματικών της Αλεξανδρινής Σχολής.Ο Διόφαντος συνεισέφερε πολύ στην ανάπτυξη της αριθμητικής, καθιέρωσε και τυποποίησε έναν τύπο σύντομου μαθηματικού συμβολισμού για τη γραφή προβλημάτων, για πρώτη φορά σε ευρεία κλίμακα άρχισε να χρησιμοποιεί τα κλάσματα ως πραγματικούς αριθμούς και ασχολήθηκε με την επίλυση εξισώσεων με πολλαπλούς αγνώστους όρους.

Αριθμητικά :

Αριθμητικά Το σύγγραμμά του Αριθμητικά, είναι το αρχαιότερο ελληνικό σύγγραμμα άλγεβρας και είναι μια εργασία πάνω στη θεωρία των αριθμών. Από αυτό το έργο, μόνο έξι από τα δεκατρία βιβλία έχουν διασωθεί. Αυτά σώθηκαν σε ελληνικές και αραβικές μεταφράσεις. Τα τελευταία ανακαλύφθηκαν τη δεκαετία του 1970 στο Ιράν. Τα Αριθμητικά αποτελούν μια συλλογή από εκατόν τριάντα προβλήματα στα οποία δίνονται αριθμητικές λύσεις τόσο σε αριθμητικές παραστάσεις όσο και σε αόριστες εξισώσεις ή συστήματα. Πολλά από αυτά είναι απροσδιόριστη λύση πρώτου ή μεγαλύτερου βαθμού.

PowerPoint Presentation:

Για τη λύση τους ο Διόφαντος εισήγαγε τον βοηθητικό άγνωστο που παριστάνεται με σύμβολο παρόμοιο με το σίγμα τελικό (ς) και ανέπτυξε μια μεθοδολογία στην οποία χρησιμοποιεί συχνά την αλλαγή μεταβλητής ή τον βοηθητικό άγνωστο. Επίσης ορίζει τον «άλογο» αριθμό ως αυτόν που περιέχει αριθμό μονάδων άγνωστων ακόμη, δηλαδή προσωρινά απροσδιόριστο. Στην αραβική μετάφραση αντίστοιχα χρησιμοποιείται η λέξη «πράγμα» με την αφηρημένη σημασία του ακαθόριστου. Πρέπει να τονιστεί ότι η λέξη άλογος δεν χρησιμοποιείται από τον Διόφαντο στην εκφώνηση των προβλημάτων αλλά μόνο στην επίλυση τους, σαν μέσο για να λυθεί το πρόβλημα. Ο Διόφαντος ασχολήθηκε και ανέπτυξε ιδιαίτερα τις απροσδιόριστες (ή Διοφαντικές ) εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις με πολλαπλές λύσεις. Ένα συνηθισμένο πρόβλημα τέτοιου τύπου είναι το πώς μπορούμε να μετατρέψουμε ένα κατοστάρικο σε νομίσματα χρησιμοποιώντας διαφορετικά από αυτά, πενηντάρικα, εικοσάρικα κ. α.

Αλ Χουαρίζμι (780 – 850) Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi :

Αλ Χουαρίζμι (780 – 850) Abu Abdullah Muhammad bin Musa al - Khwarizmi

Άλγεβρα:

Άλγεβρα Συνοπτικό Βιβλίο για τον Υπολογισμό με Μεταφορά και Απλοποίηση ( Liber algebrae et almucabala στα λατινικά) Ο γνωστός σε όλους μας όρος «Άλγεβρα» προέρχεται από μια μαθηματικά πράξη από το παραπάνω βιβλίο. Στο βιβλίο παρουσιάζονται δύο όροι : “ al - jabr ” και “ al - muqabala ”

Al-jabr:

Al - jabr Είναι η πρόσθεση ισοδύναμων όρων και στα δύο μέλη μιας εξίσωσης με σκοπό να μειώσει τους αρνητικούς όρους. Παράδειγμα με σύγχρονο συμβολισμό: x 2=40 x −4 x 2 ή x 2+4 x 2=40 x −4 x 2+4 x 2 ή 5 x 2=40 x ή x 2=8 x ή x =8

Al-muqabala:

Al - muqabala Είναι η μείωση θετικών όρων αφαιρώντας ίσες ποσότητες και στα δύο μέλη μιας εξίσωσης. Παράδειγμα με σύγχρονο συμβολισμό: 50+ x 2=29+10 x ή 50+ x 2 -29=29+10 x -29 ή 2 1+ x 2 =10 x

Αλγόριθμος:

Αλγόριθμος Τότε Η λέξη αλγόριθμος προέρχεται από μία μελέτη του Πέρση μαθηματικού του 8ου αιώνα μ.Χ . Αλ Χουαρίζμι η οποία περιείχε συστηματικά τυποποιημένες λύσεις αλγεβρικών προβλημάτων και αποτελεί ίσως την πρώτη πλήρη πραγματεία άλγεβρας. Πέντε αιώνες αργότερα η μελέτη μεταφράστηκε στα Λατινικά και άρχιζε με τη φράση " Algorithmus dixit ...." (ο Αλγόριθμος είπε...). Έτσι η λέξη αλγόριθμος καθιερώθηκε σιγά σιγά τα επόμενα χίλια χρόνια με την έννοια «συστηματική διαδικασία αριθμητικών χειρισμών». Τώρα Ως αλγόριθμος ορίζεται μια πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρόνο, που στοχεύουν στην επίλυση ενός προβλήματος. Στη γλώσσα των υπολογιστών αλγόριθμο ονομάζουμε μία σειρά από εντολές που έχουν αρχή και τέλος, είναι σαφείς και εκτελέσιμες που σκοπό έχουν την επίλυση κάποιου προβλήματος.

Περιουσία και 10 ρίζες είναι ίσα με 39: x2+10x=39 :

Περιουσία και 10 ρίζες είναι ίσα με 39: x2 +10 x=39 Αρχικά διαιρούμε 10/2=5 Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε το 5 με τον εαυτό του (δηλ. 5 x 5=25) Η λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης από τους Άραβες

x2+10x=39:

x2 +10 x=39 Έπειτα προσθέτουμε το 25 με το 39. Μετά παίρνουμε την ρίζα του 64 Αφαιρούμε από το 8 το μισό των ριζών.

PowerPoint Presentation:

A B Δ Γ Ε Ζ Η Κ Θ 8 8 5 5 3 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Χ2 + 10Χ = 39 Το τετράγωνο ΘΒΚΖ ικανοποιεί τη σχέση ΘΒΚΖ + ΑΘΖΕ + ΖΚΓΗ = 64 – 25 = 39 ΘΒΚΖ + 2 * ΑΘΖΕ = 39 ΘΒ * ΘΖ + 2 * (5 * ΘΖ ) = 39 ΘΒ * ΘΒ + 10 * ΘΒ = 39 ΘΒ = ΑΒ – ΑΘ = 8 – 5 = 3 η ρίζα Από το σχήμα έχουμε ότι: Στην αρχή κατασκευάζεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με εμβαδόν 64. Μετά σχηματίζεται το τετράγωνο ΕΖΗΔ εμβαδού 25 και πλευράς 5 μέσα στο ΑΒΓΔ, οπότε δημιουργείται το διπλανό σχήμα.

Leonardo Fibonacci:

Leonardo Fibonacci 1.170 μ.Χ ., Πίζα Πέθανε το 1.240 μ.Χ . Εισαγωγή ινδο -αραβικού συστήματος αρίθμησης στην Ευρώπη

To Πρόβλημα με τα Κουνέλια:

To Πρόβλημα με τα Κουνέλια Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι τον μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο μετά από δύο μήνες κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό ζεύγος;

PowerPoint Presentation:

Το αποτέλεσμα είναι η ακολουθία 1, 1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89, 144, 233, 377, 610 ,987, 1597, 2584,4181, 6765, 10946 ... Εδώ λοιπόν κάθε νέος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων όρων. αν=αν-1+αν-2

PowerPoint Presentation:

Επίσης το πηλίκο δύο διαδοχικών αριθμών Φιμπονάτσι τείνει στην χρυσή τομή.

Η περιπέτεια μίας εξίσωσης:

Η περιπέτεια μίας εξίσωσης Πέτρος Ραχμανίδης Γεράσιμος Ορλανδάτος

Τριτοβάθμιες εξισώσεις:

Τριτοβάθμιες εξισώσεις Ένα πολύ σημαντικό βήμα στην εξέλιξη της άλγεβρας ήταν η επίλυση των εξισώσεων τρίτου βαθμού, στις αρχές του 16ου αιώνα, στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια. Το γεγονός αυτό προκάλεσε μεγάλο μαθηματικό ενδιαφέρον αλλά και πολλές διαμάχες για το ποιος ήταν ο πρώτος που ανακάλυψε τον τρόπου επίλυσής τους.

PowerPoint Presentation:

Όλα ξεκίνησαν από τον Scipione dal Ferro ( 1465 – 1526 ) , καθηγητή μαθηματικών στο πανεπιστήμιο της Μπολόνια, ο οποίος ανακάλυψε τη μέθοδο επίλυσης των εξισώσεων του τύπου κύβος και πράγματα ίσα με αριθμό. Ο ίδιος ποτέ δεν δημοσίευσε τις ανακαλύψεις του παρά μόνο πριν από τον θάνατό του σε δύο μαθητές του, στον Antonio Maria Fior και στον γαμπρό του και διάδοχό του στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια, τον Aniballe Della Nave ο οποίος είχε στην κατοχή του και τετράδιο με τις σημειώσεις του δασκάλου του. Scipione dal Ferro

PowerPoint Presentation:

Ο Fior , αν και μέτριος μαθηματικός, έχοντας στην κατοχή του τους τύπους του δασκάλου του del Ferro αποφάσισε να προσκαλέσει σε μονομαχία στις αρχές του 1535 έναν ήδη γνωστό μαθηματικό τον Nicollo Fontana (1500-1557) γνωστός κυρίως με το ψευδώνυμό Tartalia που σημαίνει τραυλός. Ο Tartalia προέρχονταν από φτωχή οικογένεια και κέρδιζε τα προς το ζην ταξιδεύοντας σε διάφορες πόλεις και παραδίδοντας μαθήματα. Ο Fior πρότεινε στον Tartalia 30 προβλήματα, τα οποία ανάγονταν όλα στην επίλυση της εξίσωσης x 3 + px = q . Μετά από μεγάλη προσπάθεια μόλις οκτώ μέρες πριν την διορία που του είχε θέσει ο Fior , ο Tartalia κατάφερε να βρει τη λύση όχι μόνο x 3 + px = q αλλά και της x 3 = px + q την οποία ο Fior αγνοούσε. Έτσι με την σειρά του ο Tartalia αντιπρότεινε στον Fior μια σειρά από προβλήματα που ανάγονταν στην επίλυση της εξίσωσης της τελευταίας μορφής. Ως αποτέλεσμα η σταδιοδρομία του Fior στα μαθηματικά έληξε οριστικά ενώ αυτή του Tartalia εξαπλώθηκε ευρύτατα, όμως μαζί με αυτήν ήρθε και ο φθόνος…

PowerPoint Presentation:

Από εκείνη τη στιγμή παρουσιάστηκαν σημαντικά προβλήματα για τον Tartalia , κύρια πηγή των οποίων ήταν ο Cardano ( 1501 – 1576) , διάσημος μαθηματικός και γιατρός. Ο Cardano σχεδίαζε να γράψει ένα πλήρες έργο για την άλγεβρα εκείνης της εποχής, το Ars Magna όταν έμαθε για την συντριπτική ήττα του Fior από τον Tartalia . Έτσι αποφάσισε να έρθει σε επαφή με τον Tartalia για να μάθει το πολυπόθητο μυστικό του. Αν και η πρώτη του απόπειρα ήταν αποτυχημένη αποφάσισε να στείλει μια επιστολή στον Tartalia λέγοντάς του ότι ο Μαρκήσιος del Vasto , άνθρωπος με μεγάλα μέσα στο χώρο των επιστημών ήθελε να τον γνωρίσει. Τον Μαρκήσιο δεν τον συνάντησε ποτέ μιας και, όπως του είπαν ήταν απών λόγω αυξημένων υποχρεώσεων. Έτσι αναγκάστηκε να μείνει στο σπίτι του Cardano και για να ξεπληρώσει την φιλοξενία έπρεπε να του αποκαλύψει τον τρόπο επίλυσης των τριτοβάθμιων εξισώσεων, πράγμα που έκανε αφού έβαλε τον Cardano να ορκιστεί στο Ευαγγέλιο να μην αποκαλύψει πουθενά την ανακάλυψή του.

O Tartaglia αποκάλυψε στον Cardano την επίλυση της εξίσωσης x3 + px = q με την μορφή ενός ποιήματος: :

O Tartaglia αποκάλυψε στον Cardano την επίλυση της εξίσωσης x 3 + px = q με την μορφή ενός ποιήματος: Όταν κύβος και πράγματα μαζί είναι ίσα με έναν σταθερό αριθμό, [Για να λύσεις την εξίσωση x 3 + px = q ] βρες μου δυο άλλους αριθμούς με διαφορά όσο αυτός. Τότε να θυμάσαι τούτο σαν κανόνα: Το γινόμενό τους πρέπει να είναι πάντα ίσο ακριβώς με τον κύβο του ενός τρίτου των πραγμάτων. [Να βρεις u και v , έτσι ώστε u – v = q και uv = ( p /3)3] Τότε, ως γενικός κανόνας, αυτό που υπολείπεται αν αφαιρέσεις τις κυβικές ρίζες τους θα είναι ίσο με το πράγμα που ψάχνεις.

Αλγεβρική επίλυση της x3 + px = q (1):

Αλγεβρική επίλυση της x 3 + px = q (1) Αν θέσουμε χ = u – v τότε η (1) γίνεται: + p (u – v) = q Αλλά, από γνωστή ταυτότητα, ισχύει ότι: + 3uv(u – v) = Άρα προκύπτει ότι: 3 uv = p και u 3 – v 3 = q . Από την πρώτη εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε v = p /3u και αντικαθιστώντας στην άλλη εξίσωση αυτή θα γίνει 0 H τελευταία εξίσωση μπορεί να θεωρηθεί ως δευτεροβάθμια εξίσωση, αλλά με μεταβλητή το u 3:  

Η λύση αυτής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι: :

Η λύση αυτής της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι: Οπότε: Και : Τέλος αν θέσουμε τις εκφράσεις των u και v που βρήκαμε στην x = u – v , παίρνουμε τον τύπο για το χ, δηλαδή τον «τύπο του Cardano » για την λύση της εξίσωσης x 3 + px = q :

Ο Μπλέζ Πασκαλ και «το τρίγωνο του Πασκάλ»:

Ο Μπλέζ Πασκαλ και « το τρίγωνο του Πασκάλ »

Ο Μπλέζ Πασκαλ:

Ο Μπλέζ Πασκαλ Ο Μπλεζ Πασκάλ (1623- 1662) ήταν γάλλος μαθηματικός, φυσικός, συγγραφέας και φιλόσοφος. Η μητέρα του πέθανε όταν αυτός ήταν 3 χρονών και ο πατέρας του, καθώς είχε κάποιες περίεργες αντιλήψεις, δεν ήθελε να μάθει ο Μπλεζ μαθηματικά, μέχρι τα 15 του χρόνια. Ωστόσο, ο Μπλεζ, μελετούσε κρυφά γεωμετρία από 12 χρονών. Κατάφερε να αποδείξει μοναχός του ( σε αυτή την ηλικία ) o τι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες. Όταν ο πατέρας του, βρήκε τις ανακαλύψεις του γιού του, ενθουσιάστηκε, και άρχισε να πηγαίνει τον Πασκάλ σε συναντήσεις μαθηματικών επιστημόνων στο Παρίσι. 

Ο Μπλέζ Πασκαλ και η ανακάλυψη της Πασκαλίνα:

Ο Μπλέζ Πασκαλ και η ανακάλυψη της Πασκαλίνα Μέχρι τα 20 χρόνια του, κατάφερε να κάνει πολλές ανακαλύψεις, ανάμεσά τους και την «Πασκαλίνα», την πρώτη αριθμομηχανή στην ιστορία, η οποία μπορούσε να κάνει προσθέσεις και αφαιρέσεις. Παρόλα αυτά, στα 20 του χρόνια, αρρώστησε και δεν ανέκτησε ποτέ τις δυνάμεις του. Έτσι μειώθηκε το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά και άρχισε να γράφει θρησκευτικά κείμενα.

PowerPoint Presentation:

Κάθε αριθμός του τριγώνου, εκτός από την κορυφή και τα πλάγια , είναι το άθροισμα των δύο παραπάνω αριθμών. Προκειμένου να φτιάξουμε το τρίγωνο του Πασκάλ βάζουμε τον αριθμό ΕΝΑ (1) στην κορυφή και στα πλάγια. ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Ιδιότητες:

Ιδιότητες 1. Η δεύτερη διαγώνιος του τριγώνου, είναι η κανονική σειρά των αριθμών 2 . Η τρίτη σειρά είναι η ακολουθία των τριγωνικών αριθμών. Π.χ. 1+2 = 3, 3+3 = 6, 6+4 =10 κ.λ.π. 3. Όλα τα αθροίσματα των αριθμών στις οριζόντιες στήλες, είναι δυνάμεις του 2.

PowerPoint Presentation:

4. Οι αριθμοί στις οριζόντιες στήλες, παριστάνουν τους συντελεστές των μεταβλητών στην ταυτότητα . π.χ : (   5. Οι αριθμοί στις οριζόντιες στήλες, είναι οι δυνάμεις του 11. π.χ . = 1, =11, =121… Αυτό συμβαίνει μέχρι την 4η δύναμη του 11. διότι = 161051 Άρα…   Η 5η σειρ ά , είναι έτσι : 1 5 10 10 5 1 Ενώ η 5η δύναμη του 11 είναι αυτή : 161051 Άρα, η 5 η σειρά φτιάχνεται με αυτό τον τρόπο : 1 5+1 0+1 0 5 1 1 6 1 0 5 1

PowerPoint Presentation:

6. Το άθροισμα των << διαγώνιων >> αριθμών , μας δίνει την ακολουθία Fibonacci . Δηλαδή τους αριθμούς 1,1,2,3,5,8,13 … 7. Εάν << μαρκάρουμε >> όλους τους ζυγούς αριθμούς του τριγώνου, τότε το τρίγωνο θα γίνει κάπως έτσι : Δηλαδή , θα σχηματιστούν μέσα του άλλα τρίγωνα.

ΕΒΑΡΙΣΤ ΓΚΑΛΟΥΑ:

ΕΒΑΡΙΣΤ ΓΚΑΛΟΥΑ Η ζωή ενός μεγάλου μυαλού που έφυγε νωρίς

Η ΕΠΟΧΗ ΠΟΥ ΕΖΗΣΕ:

Η ΕΠΟΧΗ ΠΟΥ ΕΖΗΣΕ Ο Γκαλουά γεννήθηκε στις 25 Οκτωβρίου 1811 και έζησε σε μια εποχή που υπήρξε σημείο αναφοράς για ολόκληρη την Ευρώπη.Μιλάμε βέβαια για την Γαλλική Επανάσταση,την έποχη του Διαφωτισμού, της εδραίωσης της δημοκρατίας και της αντίδρασης του καταπιεσμένου λαού στην εξουσία.

Η ΕΠΟΧΗ ΠΟΥ ΕΖΗΣΕ:

Η ΕΠΟΧΗ ΠΟΥ ΕΖΗΣΕ Στο προσκήνιο αυτών των πολυάριθμων κοινωνικών και πολιτικών ανακατατάξεων, μέσα σε μια νέα γενία σκεπτώμενων και φιλόδοξων ανθρώπων και σε μια κοινώνια ολοκληρωτικής σύγχησης που διέπεται από ιδανικά και πρωτοποριακές απόψεις μεγάλωσε και πέθανε ο ΕΒΑΡΙΣΤ ΓΚΑΛΟΥΑ.

ΓΕΝΙΚΑ:

ΓΕΝΙΚΑ Ο σπουδαστής Γκαλουά : η διάνοια της άλγεβρας , που απορρίφθηκε από το σχολείο , την Ακαδημία και τις γυναίκες . Ε δώ έχουμε να κάνουμε με έναν ανόρεχτο , απείθαρχο και άστατο σπουδαστή , που ήρθε για πρώτη φορά σε επαφή με τα μαθηματικά σε ηλικία δεκαεπτά ετών και πέθανε σε μονομαχία τρία χρόνια μετά , αφήνοντας πίσω του εξήντα σελίδες με σημειώσεις που έμελλε να φέρουν επανάσταση στην άλγεβρα . Η ζωή του υπήρξε συντομότατη , ταραγμένη και φωτεινή .

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ:

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Ο Εβαρίστ Γκαλουά γεννήθηκε ΑΤΕ στο Μπουρζ-λα-Ρεν , ένα χωριό κοντά στο Παρίσι . Στο σπίτι του στην Grande Rue οι γονεις του κατείχαν φοιτητική εστία . Ο Εβαρίστ ήταν ένα μικροκαμωμένο , καχεκτικό , ντροπαλό αγόρι , στον ψυχισμό του οποίου πρέπει να άσκησ αν αξιοσημείωτη επιρροή ο ι δεσποτικ οί χαρακτήρ ε ς περισσότερο της μητέρας του και λιγότερο του πατέρα του.

Η ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ:

Η ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΗΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ( Νικολά-Γκαμπριέλ Γκαλουά ) ΜΗΤΕΡΑ ( Αντελαΐντ-Μαρί Ντεμάντ ) Υποστηρικτής του Ναπολέοντα με έντονη πολιτική δραστηριότητα. Τα πράγματα εξελίχθηκαν ραγδαίωςτο 1829 οταν ομάδα βασιλοφρόνων προσπάθησε να κλονίσει την σταδιοδρομία και ηθική του με την χρήση δόλιων μέσων. Ο Νικολά , που είχε μάλλον ευάλωτο χαρακτήρα , δεν μπόρεσε ν α αντέξει το σκάνδαλοκαι , μόλο που οι συμπολίτες του εξακολουθούσαν να τον υποστηρίζουν, αυτοκτόνησε. Hταν μια πολύ καλλιεργημένη και ευφυής γυναίκα με θαυμάσια κλασική κατάρτιση . Ο Εβαρίστ δεν φοίτησε σε κανένα δημόσιο σχολείο και, κάτω από τις υπερβολικές φροντίδες της απέκτησε παιδεία βασισμένη στα κλασσικά ελληνικά και λατινικά κείμενα , στα φιλελεύθερα ιδεώδη που προωθούσε η Επανάσταση και σε έναν κάποιο σκεπτικισμό απέναντι στην επίσημη θρησκεία .

ΠΡΩΤΗ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ:

ΠΡΩΤΗ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο κλασικολογοτεχνικός προσανατολισμός της πρώιμης εκπαίδευσής του καθυστέρησε την αποκάλυψη του ταλέντου του, που αναδύθηκε μόνο το 1826, όταν ο Εβαρίστ μπόρεσε να παρακολουθήσει μαθηματικά στο λύκειο Λουί-λε-Γκραν . Τότε ήρθε για πρώυη φορά σε επαφή με τα μαθηματικά, μόλις σε ηλικία 16 χρονών.

ΦΟΙΤΗΣΗ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ:

ΦΟΙΤΗΣΗ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Ο Εβαρίστ ανακάλυψε τα δυο μοναδικά πάθη της σύντομης ζωής του: την πολιτική και τα μαθηματικά . Παραδόθηκε σ ε αυτά με μια προσκόλληση υπερβολική , ακόμα και για ένα δεκαεξάχρονο παιδί , κι ο χαρακτήρας του υπέστη μια βαθιά αλλαγή που τον οδήγησε σε σύγκρουση με το κυρίαρχο πολιτικό ρεύμα , με τους καθηγητές του και με την Ακαδημία των Επιστημών , τον πιο έγκυρο θεσμό της γαλλικής επιστήμης . Μόνον οι καθηγητές μαθηματικών Σαρλ Καμί , Ζαν-Ιππολίτ Βερνιέ και Λουί Ρισάρ ήταν απολύτως ικανοποιημένοι από τις επιδόσεις του, και μάλιστα επαναλάμβαναν στους δύσπιστους συναδέλφους τους ότι πρόκειται για έναν σπουδαστή εξαιρετικής ευφυΐας . Κι αυτή ακριβώς ήταν η αλήθεια . Εκείνη την εποχή , σε ηλικία μόλις δεκαεπτά ετών , ο Γκαλουά είχε ήδη αφομοιώσει ό,τι μπορούσε να μάθει από τα σχολικά βιβλία και αναμετριόταν στα ίσα με τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της εποχής του.

Πρώτη απόρριψη:

Πρώτη απόρριψη Ο Γκαλουά απορροφήθηκε από τον κόσμο των μαθηματικών.Σκοπός του ήταν δικαίως να ενταχθεί στη Γαλλική Πολυτεχνική Σχολή. Π ροετοιμάστηκε μόνος του και χωρίς να παρακολουθήσει τα απαραίτητα μαθήματα Στοιχειωδών Μαθηματικών και Ανώτερων Μαθηματικών .Τ ο 1828 έδωσε εξετάσεις όπου και απέτυχε

Δεύτερη απόρριψη:

Δεύτερη απόρριψη Παρά το πείσμα του ο Γκαλουά δεν έγινε δεκτός ούτε την δεύτερη φορά που προσπάθησε.Αξίζει να σημειωθεί ότι η εξέταση συνέπεσε με την αυτοκτονία του πατέρα του.Κυριότερος παράγοντας όμως της απόρριψης του αυτής ήταν ότι η πολύ εξελιγμένη μαθηματική σκέψη του Γκαλουά σε συνδιασμό με το γεγονός ότι του έλειπαν κάποιες βασικές γνώσεις,οι οποίες αποτελούσαν το θέμα εξέτασης για την εισαγωγή στην σχολή, και καθιστούσαν τη φοίτηση του εκεί αδύνατη.

Λεπτομέρεις περί της Δεύτερης απόρριψης :

Λεπτομέρεις περί της Δεύτερης απόρριψης Για τις δεύτερες εξετάσεις διαθέτουμε αρκετές πληροφορίες. Εξεταστές ήταν ο Λουί-Ετιέν Λεφεμπίρ ντε Φουρσί και ο Ζακ Μπινέ . Ούτε ο Φουρσί ούτε ο Μπινέ συγκαταλέγονταν στους κορυφαίους επιστήμονες και είχαν και οι δυο τη φήμη « βασανιστών » .Αρέσκονταν στο να « αδείαζουν » τους μαθητές με ερωτήσεις που παραήταν απλές. Όταν παρουσιάστηκε μπροστά τους ο Εβερίστ , του ζήτησαν να εκθέσει τη θεωρία των λογαρίθμων . Στην απάντησή του δεν ακολούθησε την παραδοσιακή γραμμή που εκθέτουν τα σχολικά εγχειρίδια , και ο ένας εξεταστής , συγκεκριμένα ο Μπινέ , άρχισε να του κάνει μια σειρά επισημάνσεων τις οποίες ο ιστορικός των μαθηματικών Έρικ Τ . Μπελ έκρινε εσφαλμένες και εκτός τόπου . Ακολούθησε έντονη λογομαχία και ο Εβαρίστ , αγανακτισμένος - κυρίως επειδή ήταν σίγουρος πως έχει δίκιο - άρπαξε το σφουγγάρι από τον πίνακα και το πέταξε στο κεφάλι του Μπινέ , ουρλιάζοντας : « Ορίστε η απάντησή μου στην ερώτησή σας !»

ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ:

ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΡΙΣΑΡ ΒΕΡΝΙΕ Ο μόνος καθηγητής που κατάλαβε τα εξαιρετικά χαρίσματα του Γκαλουά ήταν ο Ρισάρ , ο οποίος , αν και παραπονιόταν ότι αυτός ο παράξενος μαθητής ασχολείται μόνο με προβλήματα στο μέτωπο της έρευνας των μαθηματικών , τον παρουσίαζε σαφώς ανώτερο των συμμαθητών του. Ο Ρισάρ φρόντισε να δημοσιευτεί το 1829 το πρώτο άρθρο του Γκαλουά , Απόδειξη ενός θεωρήματος για τα συνεχή περιοδικά κλάσματα , ενώ τον παροτρυνε συνεχώς να εγγραφεί στην Πολυτεχνική Σχολή . Ο Γκαλουα δέθηκε πολύ με τον Ρισάρ που, αν και γνώριζε τα κενά στην κατάρτιση του μαθητή του, αντί να προσπαθήσει να συμπληρώσει την κατάρτιση του Γκαλουά , ενθάρρυνε τη φιλοδοξία του, τροφοδοτούσε την υπερηφάνεια και την πεποίθηση του, γιατί ήταν θαμπωμένος από την ιδιοφυΐα του. Ο Ρισάρ έφτασε στο σημείο να στείλει επιστολή στην Πολυτεχνική Σχολή , με την οποία ζητούσε να γίνει δεκτός ο Γκαλουά χωρίς να δώσει εξετάσεις μετα την δεύτερη απόρριψη του . Πρόκειται για έναν πολυ καλο μαθηματικό που ναι μεν αναγνώριζε τα ιδιαίτερα χαρισματα του Γκαλούα,παρόλα αυτά παρατηρώντας την ιδιοτροπη συμπεριφορά προσπαθούσε να τον οργανώσει. Ο Γκαλουα μ ελετούσε με ανοργάνωτο τρόπο και του έλειπαν ορισμένες βασικές γνώσεις . Αυτό το γνώριζε καλά ο δάσκαλός του, ο Βερνιέ , που τον συμβούλευε προκειμένου να προετοιμαστεί για τις εξετάσεις να δουλέψει πιο συστηματικά . Ο Γκαλουά δεν ακολούθησε τη συμβουλή του - εξάλλου , πάντα έδειχνε μια αντιπάθεια απέναντι στον Βερνιέ .

ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΓΙΑ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ:

ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΓΙΑ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ Ανάμεσα στην άνοιξη και το καλοκαίρι του 1829 ο Γκαλουά είχε φτάσει σε μια πρώτη , ατελή ακόμα , λύση του προβλήματος των γενικών συνθηκών για την επίλυση των εξισώσεων .Την λύση αυτή εξέλιξε μέσα στα μέσα στα επόμενα χρόνια μέχρι και τον θάνατο του . Αυτός ήταν ο τομέας με τον οποίο ασχολήθηκε και άφησε το σημαντικότερο έργο του. Ο καθηγητής του, ο Ρισάρ , ενθουσιασμένος , θεώρησε , όχι αδίκως , πως το έργο του έπρεπε να δημοσιευθεί στην επιστημονική κοινότητα. Προσπάθησε μέσω γνωστών και μέσω διαγωνισμών να εκθέσει το έργο του αλλά μάταια καθώς πολλοί δεν αφιέρωναν την πρέπουσα σημασία.

ΘΕΩΡΙΑ ΓΚΑΛΟΥΑ (GALOIS) :

ΘΕΩΡΙΑ ΓΚΑΛΟΥΑ (GALOIS) Το έργο του σχετίζεται κυρίως με τις ομάδες.Ο Γκαλουά καθιέρωσε την θεωρία ομάδων στα μαθηματικά που μελετά τις αλγεβρικές δομές γνωστές ως ομάδες.Οι ομάδες έχουν γίνει κεντρικό αντικείμενο στη μελέτη της αφηρημένης άλγεβρας, και αποτελούν βασικά συστατικά πιο περίπλοκων αλγεβρικών δομών . Η θεωρία ομάδων έχει πολλές εφαρμογές στη Φυσική και τη Χημεία, και μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιαδήποτε κατάσταση που χαρακτηρίζεται από συμμετρία.H συμμετρία είχε άμεση σχέση με το έργο του Γκαλουά.Σήμερα οι ομάδες Γκαλουά στα μαθηματικά φέρουν το όνομα του.

Χειρόγραφα:

Χειρόγραφα

ΤΟ ΤΡΑΓΙΚΟ ΦΙΝΑΛΕ:

ΤΟ ΤΡΑΓΙΚΟ ΦΙΝΑΛΕ Μέτα από όλες αύτες τις αλλεπάλληλες αναποδίες της ζωής του έμελλε και το τραγικό τέλος. Αφού φυλακίστηκε για τις πολιτικές του ακρότητες και ερωτεύθηκε παράφορα με μια νεαρή ονόματι Stephanie- Felicie ,η οποία τελικά τον απέρριψε (όπως γινόταν συχνά),ο Γκαλουά ήρθε αντιμέτωπως σε μια μονομαχία με αφορμή αυτόν τον έρωτα.Ο άμυαλος αλλά ατρόμητος Γκαλούα δεν δίστασε και δέχτηκε την πρόταση αυτή. Την τελευταία ημέρα πριν την μονομαχία άφησε ένα έργο περίπου 60 σελίδων που αποδείχτηκε θεμελειώδες για την άλγεβρα και μια επιστολή που αποτελεί τρανό παράδειγμα της ψυχοσύνθεσης του. Στις 30 Μαΐου του 1832 έπεσε νεκρός σε ηλικία μόλις 20 χρονών αφήνοντας πίσω του μία τρομερή ιστορία.

ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΙΣΤΟΛΗ:

ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΙΣΤΟΛΗ « Πρώτα απ όλα , η προμετωπίδα αυτού του πονήματος δεν βαρύνεται με ονόματα , ιδιότητες , τίτλους και ελεγείες , με σκοπό να ευαρεστηθεί κάποιος άθλιος πρίγκιπας    να ανοίξει το πορτοφόλι του-με την συνεχή απειλή να το ξανακλείσει μόλις   σταματήσει ο λιβανωτός . Δεν θα δείτε γραμμένη με χαρακτήρες τρεις φορές μεγαλύτερους απ το κείμενο την ταπεινή εκδήλωση σεβασμού προς κάποιο πρόσωπο υψηλά ιστάμενο στην επιστημονική ιεραρχία , κάποιο σοφό προστάτη-κάτι απαραίτητο ( αναπόφευκτο θα έλεγα )  για έναν εικοσάχρονο νεαρό που επιθυμεί να γράψει . Δεν λέω σε κανέναν ότι οφείλω στις συμβουλές και στις παροτρύνσεις του όλα τα καλά που περιέχει η εργασία μου . Δεν το  λέω , γιατί θα ήταν ψέμα . Αν θα ήθελα να απευθύνω το λόγο στους   μεγάλους του κόσμου ή στους   μεγάλους της επιστήμης ( στην εποχή μας  η διαφορά μεταξύ   αυτών των δυο τάξεων ανθρώπων είναι μάλλον ανεπαίσθητη ), ασφαλώς δεν θα ήταν για να τους ευχαριστήσω .

ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΙΣΤΟΛΗ:

ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΙΣΤΟΛΗ Στους μεν οφείλεται το ότι δημοσίευσα την πρώτη  από αυτές τις εργασίες  τόσο καθυστερημένα, στους δε ότι την έγραψα στην φυλακή, ένα μέρος εντελώς ακατάλληλο για διανοητική εργασία, και θαυμάζω τον εαυτό μου για την αυτοσυγκράτηση που έδειξε  κρατώντας το στόμα του κλειστό μπροστά στην κακεντρέχεια των  ηλίθιων και αδαών, ελπίζω η λέξη «αδαείς» να μην θεωρηθεί ιδιαίτερα απρεπής , δεδομένου ότι οι αντίπαλοι μου είναι κατ εμέ τόσο αναξιοπρεπείς . Δεν είναι του παρόντος να αναφερθώ στους λόγους, για τους οποίους βρέθηκα στην φυλακή, αλλά πρέπει οπωσδήποτε να  πω ότι  τα χειρόγραφα μου χάθηκαν επανειλημμένως απ τα συρτάρια των αξιότιμων μελών του ινστιτούτου, αν και ειλικρινά δεν  μπορεί να χωρέσει στο μυαλό μου μα τέτοια επίδειξη απερισκεψίας εκ μέρους εκείνων που έχουν στην  συνείδηση τους το θάνατο του Αμπελ. Όσο για μένα, που είμαι εντελώς ασήμαντος σε σύγκριση με εκείνον τον έξοχο μαθηματικό, αρκεί να πω ότι η θεωρία μου για τις εξισώσεις κατατέθηκε σε χειρόγραφο στην Ακαδημία Επιστημών τον Φεβρουάριο του 1830, ότι αποσπάσματα της είχαν ήδη σταλεί το 1829, ότι δεν έγινε καμιά αναφορά σε αυτήν  και ότι κατέστην αδύνατο να βρεθεί το χειρόγραφο.»

ΧΕΙΡΟΓΡΑΦΑ (ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΙΣΤΟΛΗ):

ΧΕΙΡΟΓΡΑΦΑ (ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΙΣΤΟΛΗ)

authorStream Live Help