# Natural Deduction 4

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### Natural Deduction:

Natural Deduction 7.4

### Rules of Replacement II:

Rules of Replacement II Transposition Material Implication Material Equivalence Exportation Tautology

### Transposition :

Transposition p É q ~ ~

### Material Implication:

Material Implication p É q v ~

### Material Equivalence :

Material Equivalence p = q (p É q) . (q É p) p = (p . q) v (~p . ~ q )

### Exportation :

Exportation p É (q É r) (p . q) É r

### Tautology:

Tautology p p v p p .

### An Example:

An Example (S . K) É R K /S É R Here we seem unable to use any of the rules of inference immediately. Let’s try a rule of replacement… exportation? But this leads to a problem! Exportation gives us: S É (K É R) This can’t be right because the S and R are together in the conclusion but they’re separated now.

### An Example:

An Example (S . K) É R K /S É R But, S . K is a conjunction. (commutativity)

### An Example:

An Example (S . K) É R K /S É R (K . S) É R 1 comm. Now we can perform exportation with no problem.

### An Example:

An Example (S . K) É R K /S É R (K . S) É R 1 comm. K É (S É R) 3 exp. This allows us to use a rule of inference. MP

### An Example:

An Example (S . K) É R K /S É R (K . S) É R 1 comm. K É (S É R) 3 exp. S É R 2,4 MP