Sündmuste korrutis ja summa

Views:
 
Category: Education
     
 

Presentation Description

No description available.

Comments

Presentation Transcript

Sündmuste korrutis ja summa:

Sündmuste korrutis ja summa Külli Nõmmiste Jõhvi Gümnaasium

Tuletame meelde!:

Tuletame meelde! Juhuslikuks sündmuseks nimetatakse sündmust, mis antud tingimustest võib toimuda, kuid võib ka mitte toimuda Juhusliku sündmuse mõiste on üheks tõenäosusteooria põhimõisteks Kindel sündmus ja võimatu sündmus Kindlaks sündmuseks nimetatakse sündmust, mis antud tingimustes kindlasti toimub Näiteks silmade arvu x , mis on väiksem või võrdne kui 6 ( x <6), tulek täringu viskamisel on kindel sündmus Võimatuks sündmuseks nimetatakse sündmust, mis antud tingimustes kindlasti ei toimu Näiteks kaheksa silma tulek täringu viskamisel on võimatu sündmus

Sündmuste korrutis:

Sündmuste korrutis Sündmuste A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B esiletulekus tähistatakse A  B ehk A · B olukorra kujutamiseks kasutatakse sageli Vienni diagrammi Näide Olgu täringu viskamisel sündmuseks A kolmega jaguva silmade arvu tulek, sündmuseks B neljast suurema või neljaga võrdse silmade arvu tulek ja sündmuseks C kuue silma tulek. Kui täringu viskel tuleb 6 silma siis on tegemist juhuga, kus samal ajal toimub nii sündmus A kui ka sündmus B: silmade arv on suurem kui neli (sündmus B) ja silmade arv jagub kolmega ( sündmus A) Järelikult sündmus C on sündmuste A ja B korrutiseks

Sündmuste korrutis:

Sündmuste korrutis Teineteist välistavate sündmuste korrutis on võimatu sündmus A  B =  Näiteid : Raha viskamisel ei saa vapi tulekuga (sündmus A) samal ajal esile tulla kiri (sündmus B). Vapi tulek välistab kirja tuleku. Kui värvipliiatsite karbist võtta pimesi üks pliiats ja see on sinine (A 1 ), siis samal ajal ei saa tulla punane (A 2 ), roheline (A 3 ) jne. Täringu viskamisel välistab kuue silma tulek (A) ülejäänud silmade arvu (B) tuleku.

Sündmuste summa:

Sündmuste summa Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust, mis seisneb kas sündmuse A või sündmuse B esiletulekus tähistatakse A  B ehk A + B Näide Olgu täringu viskamisel sündmuseks A ühe silma tulek, sündmuseks B kahe silma tulek ja sündmus C kahest väiksema või kahega võrdse silmade arvu tulek. Sündmus C kujutab endast kas sündmuse A toimumist ühe silma tulek või sündmuse B toimumist kahe silma tulek Järelikult sündmus C on sündmuste A ja B summaks

Sündmuste summa:

Sündmuste summa Teineteist välistavate sündmuste korral tähendab sündmus A + B kas ainult sündmuse A või ainult sündmuse B toimumist Kui sündmused ei ole teineteist välistavad, tähendab sündmus A+ B kas ainult sündmuse A või ainult sündmuse B või nende mõlema (s.o. korrutise AB) toimumist

*Sündmuste vahe:

*Sündmuste vahe Sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust, mis seisneb sündmuse A toimumises ja sündmuse B mittetoimumises tähistatakse A \ B Vienni diagrammina

Tõenäosuste liitmine ja korrutamine:

Tõenäosuste liitmine ja korrutamine

Tõenäosuste liitmise lause:

Tõenäosuste liitmise lause Kahe sündmuse summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, millest on lahutatud samade sündmuste korrutise tõenäosus P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) Teineteist välistavate sündmuste summa tõenäosus võrdub liidetavate sündmuste tõenäosuste summaga P(A + B) = P(A) + P(B) AB=  ja P(AB) = 0

Tõenäosuste liitmise lause:

Tõenäosuste liitmise lause Näide 1 Olgu sündmuseks A ruutumastist kaardi tulek ja sündmuseks B piltkaardi tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel 52-kaardilisest pakist. Leiame sündmuse A + B tõenäosuse. Ilmselt on P(A) = — , P(B) = — . Sündmuseks AB on ruutumastist pildi tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel. Selleks on soodsaid võimalusi 3 ning P(AB) = — . Järelikult P(A + B) = — + — - — = —  0,423. 13 12 52 52 52 52 52 52 3 3 12 13 52 22

Tõenäosuste liitmise lause:

Tõenäosuste liitmise lause Näide 2 Urnis on 6 valget, 4 musta ja 8 sinist kuuli. Võetakse juhuslikult üks kuul. Leiame tõenäosuse, et see on must (sündmus M) või sinine (sündmus S) Sündmuse M + S jaoks on soodsaid võimalusi 4 + 8 = 12. Seega on P(M + S) = — =—. Kasutades tõenäosuste liitmise lauset saame samuti, et P(M + S) = P(M) + P(S) = — + — = — = —. 12 2 3 18 18 18 3 12 8 4 18 2

Tõenäosuste liitmise lause:

2 Tõenäosuste liitmise lause Näide 3 Ühte münti visatakse järjest kaks korda. Leiame tõenäosuse, et vapp tuleb esile kas esimesel või teisel viskel. Olgu sündmuseks A vapi tulek esimesel viskel ja sündmuseks B vapi tulek teisel viskel. Sündmused on teineteist mittevälistavad. Seetõttu P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB). Et sündmused A ja B on sõltumatud, siis P(AB) = P(A) · P(B) = — · — = — ning P(A + B)= — + — - — = — . Sama tulemuse oleksime saanud ka kõigi võimaluste ja neist soodsate võimaluste loetlemise teel: vapp-vapp, vapp-kiri, kiri-vapp, kiri-kiri; n = 4, k=3,p = 3 : 4 = 0,75. 2 2 4 4 1 1 1 3 2 4 1 1 1

Sõltumatud sündmused:

Sõltumatud sündmused Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuteks , kui neist ühe esiletulek või mitteesiletulek ei mõjusta teise sündmuse toimumise tõenäosust Näide Urnis on 12 valget ja 3 sinist kuuli. Loeme sündmuseks B valge kuuli tuleku kuuli esimesel võtmisel ja sündmuseks A valge kuuli tuleku kuuli teisel võtmisel, kui vahepeal pannakse kuul urni tagasi P(B) = — = 0,8 ja P(A) = — = 0,8. Sündmuse A tõenäosus ei sõltu sellest, kas sündmus B eelnevalt toimus või mitte. 12 12 15 15

Sõltuvad sündmused:

Sõltuvad sündmused Sündmusi A ja B nimetatakse sõltuvateks , kui neist ühe toimumine või mittetoimumine mõjustab teise esiletuleku tõenäosust Näide Urnis on 12 valget ja 3 sinist kuuli. Loeme sündmuseks B valge kuuli tuleku kuuli esimesel võtmisel ja sündmuseks A valge kuuli tuleku kuuli teisel võtmisel, kui esimesena võetud kuuli ei panda urni tagasi Kui esimesel katsel toimus sündmus B, siis teise katse jaoks on urnis 11 valget kuuli ning kogu kuulide arv on 14. Seega P(A) = —. Kui esimesel katsel ei toimunud sündmus B (toimus sündmus ), siis P(A) = —. Tõenäosused on erinevad, seega on sellistel tingimustel sündmused A ja B sõltuvad 11 14 12 14

Tinglik tõenäosus:

Tinglik tõenäosus Neid tõenäosusi nimetatakse vastavalt sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel, et toimus (toimub) sündmus B, sümbol P(A/B), ja sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel, et ei toimunud (ei toimu) sündmus , sümbol P(A/ ) Sündmuse A toimumise tõenäosust, mis on arvutatud eeldusel, et sündmus B toimus, nimetatakse sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks sündmuse B suhtes ning tähistatakse sümboliga P(A/B)

Tinglik tõenäosus:

Tinglik tõenäosus Näide Olgu sündmus B punase kaardi tulek ja sündmus A ärtu- või ruutuemanda tulek kaardi juhuslikul tõmbamisel 36-kaardisest pakist. Tõenäosus P(A/B) = — = — , sest sündmus A saab toimuda nende juhtude seast, kus sündmus B on juba toimunud (või toimub). 2 1 9 18

Tõenäosuste korrutamise lause:

Tõenäosuste korrutamise lause Tõenäosuste korrutamise lause sõltuvate sündmuste korral P(AB) = P(B) · P(A/B) Näide Urnis on 12 valget ja 3 sinist kuuli. Olgu sündmus B valge kuuli tulek kuuli esimesel võttel ning sündmus A valge kuuli tulek kuuli teisel võtmisel. Leiame valge kuuli tuleku tõenäosuse nii esimesel kui ka teisel võttel, kui esimesena võetud kuuli urni tagasi ei panda. P(AB) = P(B) · P(A/B) = — · — = —  0,63. 15 12 14 11 35 22

Tõenäosuste korrutamise lause:

Tõenäosuste korrutamise lause Tõenäosuste korrutamise lause sõltumatute sündmuste korral P(AB) = P(A) · P(B) Näide Visatakse kaks korda täringut. Olgu sündmus A kuue silma tulek esimesel viskel ja sündmus B kuue silma tulek teisel viskel. Et sündmused A ja B on sõltumatud, siis P(AB) = P(A) · P (B) = — · — = —  0,028. 6 1 6 1 36 1

Näide:

Näide Laual on 6 alust šokolaadikompvekkidega. Üks ettekandja täitis 4 alust, pannes igale 15 likööritäidisega ja 15 täidiseta kompvekki, teine aga 2 alust, pannes igale 10 likööritäidisega ja 20 täidiseta kompvekki. Leiame, kui suur on tõenäosus, et juhuslikult aluselt juhusliku kompveki võtmisel saadakse likööritäidisega kompvek.

Lahendus:

Lahendus Sellist ülesannet on otstarbekas lahendada loogilise arutelu teel kasutades tõenäosuste liitmise ja korrutamise lauseid. Sündmuse tähenduse, mille tõenäosust parajasti leiame, kirjutame selguse ja arusaadavuse huvides sulgudesse. P (likööritäidisega kompvek) = P (likööritäidisega kompvek kas esimese või teise ettekandja täidetud aluselt). Juba väljendist kas... või... selgub, et vastavad tõenäosused tuleb liita. Et tegemist on välistavate sündmustega, siis P (likööritäidisega kompvek) = P (likööritäidisega kompvek esimese ettekandja täidetud aluselt) + P (likööritäidisega kompvek teise ettekandja täidetud aluselt).

Lahendus:

Lahendus Kuna kummagi ettekandja täidetud aluseid on laual mitu, siis sulgudes märgitud sündmused tähendavad, et enne tuleb juhuslikult valida alus ja siis alles sellelt kompvek. Järelikult P (likööritäidisega kompvek) = P (esimese ettekandja täidetud alus ja sellelt likööritäidisega kompvek) + P (teise ettekandja täidetud alus ja sellelt likööritäidisega kompvek).

Lahendus:

Lahendus Kummagi liidetava korral on tegemist kahe sündmuse korrutisega, kusjuures sündmused (valitakse teatud alus ja sellelt likööritäidisega kompvek) on sõltuvad. Seega tuleb nüüd rakendada tõenäosuste korrutamise teoreemi sõltuvate sündmuste korral: P (likööritäidisega kompvek) = P (esimese ettekandja alus) • P (sellelt likööritäidisega kompvek) + P (teise ettekandja alus) • P (sellelt likööritäidisega kompvek) = = — · — + — · — = —  0,44. 6 4 30 15 6 2 30 10 9 4

authorStream Live Help