Mathe Projekt 07

Matheprojekt: 

Matheprojekt Gruppenmitglieder: Celina, Liuyi, Johanna & Franziska

Teil 1: 

Teil 1 Unsere Wahl: Eine Milchtüte Inhalt der Tüte: 1 l

Errechnung der optimalen Maße: 

Errechnung der optimalen Maße Skizze

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2) Zielfunktion (Materialverbrauch) Oberfläche = 2(ha+ha+a²) 3) Nebenbedingung (in die Tüte muss 1l passen) V = 1l = 1 dm³ = 1000 cm³ 1000 cm³ = a² * h | : a² 1000 cm³/a² = h

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4) Verbesserte Zielfunktion [Oberfläche = O] O(a) = 2(1000*a/a² + 1000*a/a² + a²) O(a) = 2000/a + 2000/a + 2a² O(a) = 4000/a + 2a² O(a) = 2a² + 4000/a O‘(a) = 4a – 4000/a² (4a-4000a-²) O‘‘(a) = 4 + 8000a-³

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5) Berechnung des Minimums Bedingung: O´=0 und O´´=0 O‘(a) = 0 0 = 4a-4000a-² | *a² 0 = 4a³-4000 | :4 0 = a³-1000 | +1000 1000 = a³ | 10 = a Überprüfung O‘‘(10) = 12 > 0 => T !

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6) Weitere Werte h = 1000 cm³/a² h = 1000 cm/a h = 1000 cm/10 h = 10 cm

Antwort auf die Frage nach den optimalen Werten: 

Antwort auf die Frage nach den optimalen Werten Die Verpackung wäre ideal, wenn sowohl Länge, als auch Breite und Höhe 10 cm betragen würden. Die wirklichen Maße von 19,6 cm Höhe und 7 cm Breite, bzw. Länge stimmen also nicht mit den optimalen überein.

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Um alle Dinge zu berücksichtigen ,die für die Herstellung einer Milchpackung verwendet wurden, müssen Ränder für die Klebestreifen berechnet werden. Wir haben den neuen Materialverbrauch unter Berücksichtigung eines konstanten Wertes (0,7cm) für die Klebestreifen benutzt.

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Wenn man sich eine Milchtüte genau anschaut, fällt auf dass nicht nur Klebestreifen zu berücksichtigen sind sondern auch seitlich weckgeknickte Seiten, die auch mit in den Materialverbrauch hineinzählen. Diesen „Überschuss“ an Material ist in der folgenden Zeichnung farbig markiert.

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Annahmen: c= a/2 f=h+a+2d e=4a +d d= 0,7 cm 1) Zielfunktion: O= 2*(ha + ha + a²) + 8ad + (h + a+ 2d)*d O= 4ha + 2a² + 8ad +hd +ad +2d² 2) Nebenbedingung: V = 1 dm³ V = a² * h 1000cm³ = a² * h 1000cm³/a² = h

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3) Verbesserte Zielfunktion: O= 4*1000cm³*a + 2a² + 8ad + 1000cm³*d +ad + 2d² a² a² O= 4000cm³ + 2a² + 8ad + 1000cm³*d +ad + 2d² a a² O= 4000cm³ + 2a² + 5,6a + 700cm³ + 0,7a + 0,98 a a² O= 2a² + 6,3a + 0,98 + 4000cm³ + 700cm³ a a²

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4) Extrempunkte: Bedingung: O´=0 und O´´= 0 O´= 4a + 6,3 – 4000cm³ - 1400cm³ a² a³ O´´= 4+ 8000cm³ + 4200cm³ a³ a hoch 4 Notwendige Bedingung 4a + 6,3 – 4000cm³ - 1400cm³ = 0 |* a³ a² a³ 4a hoch4 + 6,3 a³ - 4000a – 1400 = 0 a= 9,62 cm 5) Überprüfung: O´´(9,62cm) = 13,48 > 0 lokale Minipunktstelle

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6) Weitere Werte: 1000cm³ = h a² 1000cm³ = h (9,6cm)² 10,81cm = h O= 4ha + 2a² + 8ad + hd + ad +2d² O= 670,21 cm²

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Ergebnis: Die optimale Verpackung, mit der Einbeziehung von Klebestreifen und den seitlich weckgeknickten Kanten, müsste eine Höhe von 10,8cm haben und eine Breite von 9,62 cm. Der geringste Materialverbrauch würde nachdem 670,21 cm² betragen.