Producto Cartesiano Relaciones Binarias

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PRODUCTO CARTESIANORELACIONES BINARIAS : 

PRODUCTO CARTESIANORELACIONES BINARIAS

Producto Cartesiano : 

Producto Cartesiano El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. A × B = { (x,y) / x ? A ^ y ? B }

Producto Cartesiano : 

Producto Cartesiano Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 } AxB = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) } Note que A tiene 3 elementos B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.

Producto Cartesiano : 

Producto Cartesiano Ejemplo: A = { corazón, trébol, coco, espada } B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } A x B = { (corazón, 1), (corazón,2),…,(corazón,12), (trébol,1), (trébol,2), …,(trébol,12), …,(espada,12) } Note que A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)

Producto CartesianoRepresentación en forma de Tabla : 

Producto CartesianoRepresentación en forma de Tabla Ejemplo: A = { , } B = { , , }

Producto CartesianoRepresentación en forma de Diagrama : 

Producto CartesianoRepresentación en forma de Diagrama Ejemplo: A = { , } B = { , , }

Producto Cartesiano : 

Producto Cartesiano Ejemplo: A = { , } B = { , , }

Gráfico cartesiano : 

Gráfico cartesiano Dados los conjuntos A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 } el gráfico cartesiano de A x B es: La primera componente de cada elemento del producto cartesiano es la abscisa La segunda componente de cada elemento del producto cartesiano es la ordenada

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x ? R ? –1? x ? 1 } B = R : 

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x ? R ? –1? x ? 1 } B = R

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x ? R ? 2 ? x < 5 }B = { x / x ? R ? 1 < x ? 3} : 

Ejercicio : indicar el gráfico cartesiano de A x B donde A = { x / x ? R ? 2 ? x < 5 }B = { x / x ? R ? 1 < x ? 3}

Relación entre elementos de conjuntos : 

Relación entre elementos de conjuntos Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.

Relación entre elementos de conjuntos : 

Relación entre elementos de conjuntos Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.

Relaciones : 

Relaciones Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B b está relacionado con 1 3 es el correspondiente de d

Conjuntos de salida y de llegada de un relación : 

Conjuntos de salida y de llegada de un relación A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada

Dominio de una relación : 

Dominio de una relación Dom(R) = ? x / x?A ? (x,y) ? R ? Dom(R) = {b, c, d}

Imagen de una relación : 

Imagen de una relación Im(R) = ? y / y?B ? (x,y) ?R ? Im(R) = {1, 3, 4}

Notación : 

Notación Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y significa que (x,y) ? R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R. Ej: b R 1 porque (b,1) ? R

Relación definida en un conjunto : 

Relación definida en un conjunto Cuando los conjuntos de partida y de llegada de una relación R son el mismo conjunto A, decimos que R es una relación definida en A, o, simplemente, una relación en A. Una relación R en A es entonces un subconjunto de A2 = A x A

Relación definida en un conjunto : 

Relación definida en un conjunto Ejemplo: Sea H = { x / x es un ser humano} y R la relación “es madre de” R es una relación en H. Por qué? Como Ana es la madre de Luis, decimos que el par (Ana,Luis) ? R. Note que los pares que verifiquen R son un subconjunto de H x H.

Representación de una relación : 

Representación de una relación Sea A = { a , b , c , d} y R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) } Para poder construir el grafo dirigido A debe contener un número finito de elementos Los vértices del grafo son los elementos A y las aristas dirigidas representan los elementos de R

Representación de una relación : 

Representación de una relación Sea A = { a , b , c , d} y R = { (a, b), (a, c), (b, c), (c, c), (c, d), (d, c) } R puede representarse como matriz donde 1 indica que hay relación y 0 que no hay relación

Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto : 

Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen cinco propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación Propiedad reflexiva Propiedad simétrica Propiedad asimétrica Propiedad antisimétrica Propiedad transitiva

Propiedad reflexiva : 

Propiedad reflexiva La propiedad reflexiva dice que todos los elementos de un conjunto están relacionados con si mismo R es reflexiva si para todo x ? A, el par (x,x) ? R

Propiedad simétrica : 

Propiedad simétrica La propiedad simétrica dice que si un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero R es simétrica si siempre que un par (x,y) ? R, el par (y,x) también pertenece a R

Propiedad Simétrica : 

Propiedad Simétrica Ejemplo Dado A = {3, 4, 2} decir si las siguientes relaciones en A2 son simétricas R = {(2, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 2), (4, 4)} S = {(3, 2), (4, 3), (2, 2), (3, 4)}

Propiedad asimétrica : 

Propiedad asimétrica Una relación es asimétrica si ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica.

Propiedad antisimétrica : 

Propiedad antisimétrica Una relación es antisimétrica cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.

Propiedad antisimétrica : 

Propiedad antisimétrica Ejemplo Dado A = {2, 4, 6} decir si las siguientes relaciones en A2 son antisimétricas R = {(2, 2), (4, 4)} S = {(2, 4)} T ={(4, 6), (2, 2), (6, 4), (4, 2)}

Propiedad transitiva : 

Propiedad transitiva La propiedad transitiva dice que si un elemento está relacionado con otro y éste está a su vez relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. R es transitiva si ?x , ?y ,?z , (x,y) ? R ? (y,z) ? R ? (x,z) ? R

Propiedad transitiva : 

Propiedad transitiva Ejemplo Dado A = {2, 4, 6, 3} decir si las siguientes relaciones en A2 son transitivas R = {(2, 2), (2, 3), (4, 6), (6, 2), (4, 2), (4, 3), (6, 3)} S = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (2, 6), (6, 4), (6, 2)}

Ejercicio : 

Ejercicio Dado A = {1, 2, 3} decir a que tipo pertenecen las siguientes relaciones R1 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}. R2 = {(1, 1)}. R3 = {(1, 2)}. R4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.

Ejercicio : 

Ejercicio Sea A = {2, 3, 4, 5, 6} R = {(x, y) / x?A, y?A, | x – y | es divisible por 3} Escribir por extensión a R.

Casos especiales : 

Casos especiales Como casos especiales de las relaciones en un conjunto se define: Relaciones de orden: Permite ordenar los elementos a través de la relación. Relación de equivalencia: Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto

Relación de orden : 

Relación de orden La relación de orden es aquella en que los elementos pueden ordenarse a través de la relación. Ejemplo

Relación de Orden : 

Relación de Orden Pueden definirse dos tipos de relación: Relación de orden amplio. Relación de orden estricto.

Relación de orden amplio : 

Relación de orden amplio Una relación de orden amplio es aquella que cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Relación de orden amplioEjemplo: R = “… es menor o igual que…” : 

Relación de orden amplioEjemplo: R = “… es menor o igual que…”

Ejemplo: Indicar si las siguientes relaciones son de orden amplio : 

Ejemplo: Indicar si las siguientes relaciones son de orden amplio Sea A es el conjunto de los naturales y R = {(x,y) / x,y ? A ^ “x divide a y”} Sea A es el conjunto de los subconjuntos de un conjunto dado y R = {(x,y) / x,y ? A ^ “x está incluído en y”}

Relación de orden estricto : 

Relación de orden estricto Una relación de orden estricto es aquella que cumple con las propiedades asimétrica y transitiva, y no cumple con la propiedad reflexiva.

Relación de orden estrictoEjemplo: R = “… es menor que…” : 

Relación de orden estrictoEjemplo: R = “… es menor que…”

Relación de equivalencia : 

Relación de equivalencia Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto

Relación de equivalencia : 

Relación de equivalencia Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto mediante su clasificación, determinando una partición del mismo en clases de equivalencia. Se llama partición de un conjunto A, a todo conjunto de subconjuntos no vacíos, disjuntos dos a dos, de modo que la unión de dichos conjuntos formen el conjunto A.

Clase de Equivalencia : 

Clase de Equivalencia Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto sobre el que está definida, llamaremos clase de equivalencia del elemento a ? K, al subconjunto a de K formado por todos los elementos de K que están relacionados con a por R. Esto es: a = {x / x ? K ^ a R x }

Conjunto Cociente : 

Conjunto Cociente Sea R una relación de equivalencia y K el conjunto sobre el que está definida, llamaremos conjunto cociente K por R y lo notaremos K/R a la partición de K formada por todas las clases de equivalencia determinadas en K dada R. Es decir, el conjunto cociente es el conjunto de todas las clases de equivalencia que se puedan formar con los elementos de K, dada R.

Ejemplo de Relación de Equivalencia : 

Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. R= {(x, y) / x,y ? H ^ "x es compatriota de y"} R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo. R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x". R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".

Ejemplo de Relación de Equivalencia : 

Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos. R= {(x, y) / x,y ? H ^ "x es compatriota de y"} Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará formada por sus compatriotas. El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto formado por todas las clases de equivalencias. H/R es una partición de H.

Ejercicio : 

Ejercicio ¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia? R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre}, donde S = {a / a es cualquier persona} S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el mismo resto al ser divididos por 2.