Fraktálok

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. : 

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. A fraktálok tulajdonságait jól tanulmányozhatjuk egy egyszeru, absztrakt mo-dell, a Koch sziget példáján. Vegyünk egy egységnyi oldalhosszú egyenlool-dalú háromszöget. Ennek területe T0= (1/2) sin600, a kerülete pedig K0=3. Az alapháromszög minden oldalát osszuk három egyenlo részre, és a közép-so szakaszok fölé szerkesszünk egy -egy (tehát összesen 3 darab) harmad-akkora, azaz 1/3 oldalhosszú és (1/9)T0 területu egyenlooldalú háromszöget. A hatágú csillag (12 oldalú poligon) kerülete K1= (4/3)K0= 4, területe pedig T1= T0+ (3/9)T0= T0 (1+1/3) . T0=0.433... K0=3 Az 1. rendu Koch sziget

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. : 

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. Az új idom (a hatágú csillag) minden oldalát osszuk ismét három egyenlo szakaszra, és a középso szakaszok fölé szerkesszünk ismét egy-egy (tehát összesen 12 darab) szabályos háromszöget! Ezek mindegyikének oldal-hossza így 1 /9 , területe pedig (1/81)T0 lesz. A 48 oldalú poligon kerülete K2= (4/3)K1= (16/9)K0 = 5.33, területe pedig T2=T1+(12/81)T0 =T0 (1+1/3+12/81). T0=0.433 K0=3 A 2. rendu Koch sziget

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. : 

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. Az új idom (a 48 oldalú poligon) minden oldalát osszuk ismét három egyenlo szakaszra, és a középso szakaszok fölé szerkesszünk ismét egy-egy (tehát összesen 48 darab) szabályos háromszöget! Ezek mindegyikének oldal-hossza így 1 /81 , területe pedig (1/6561)T0 lesz. Az így nyert 192 oldalú poli-gon, a „harmad rendu Koch sziget”, már kezdi érzékeltetni a kerület, azaz a „partvonal” egyre finomabb szerkezetét. T0=0.433 K0=3 A 192 oldalú poligon kerülete K3= (4/3)K2= (64/27)K0 = 7.11, területe pedig T3= T2+(48/6561)T0 = T0 (1+1/3+12/81 + + 48/6561). A 3. rendu Koch sziget

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. : 

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. Az elozo számítások tanulságai alapján általános szabályt állíthatunk fel az n-ed rendu Koch szigetet alkotó poligon adatainak számítására. Oldalak ill. csúcsok száma: on=3*4n; egy oldal hossza: hn=(1/3)n . Kerület: Kn=3*(4/3)n . Terület: Tn =Tn-1+on-1*T0*(hn )2 =Tn-1+3*4n-1 *T0*(1/3)2n = T0*{1+ 1/3*[1 + 4/9 + 16/81 + 64/729 +... + (4/9)n-1 ] }. Láthatjuk, hogy ha n növekszik Kn minden határon túl nol, mig a Tn terü-let korlátos marad. A Tn képletében ugyanis a szögletes zárójelben egy olyan geometriai sor áll, amelynek összege bármilyen nagy n esetén is véges, nem éri el 1.8 - at, a 4/9 quotiensu végtelen mértani sor összegét. A Koch sziget finomításánál hasonló jelenség nyilvánul meg, mint ami-kor egy „igazi” sziget partvonalát egyre részletesebb térképen mérjük.

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. : 

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. Amikor az alapháromszög oldalait három egyenlo részre osztottuk, az 1/3 oldal-hosszú kis háromszög területét (1/9)T0 -lal számoltuk, azaz figyelembe vettük, hogy a területet nem a hosszegységgel, hanem annak négyzetével kell mérni. Ezt a szabályt elemi tanulmányaink során azzal indokoltuk, hogy az 1/3 oldal-hosszú kis háromszögbol 32=9 darab tölti ki maradéktalanul az eredeti egység-oldalú háromszöget, igy akkor kapunk a felosztástól függetlenül azonos ered-ményt, ha területmérésnél is a hosszúság második hatványával dolgozunk. A szerkesztés kiindulásául szolgáló egyenlooldalú háromszög területe T0= (1/2)*sin600.

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. : 

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. Ha kerületszámításnál is azt az elvet kívánjuk követni, hogy a Koch sziget mind finomabb felosztású megszerkesztése során a kerület méroszáma ne változzék, akkor egy-egy kis oldal méroszámát valamilyen mértkegységben mérve 1/4 -re kell választanunk, mivel szerkesztésünk szerint 4 új kis oldal felel meg egy eredeti egységnyi hosszú oldalnak. Az 1/4 számot azonban nem tekinthetjük egyszeruen úgy, hogy az hosszegységben van mérve, hiszen a kis oldal hossza 1/3 . A szerkesztés kiindulásául szolgáló egyenlooldalú háromszög területe T0= (1/2)*sin600. 1/4

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. : 

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. Annak mintájára, hogy a terület mérésére is a hosszegység egy megfelelo hatványa (nevezetesen a második hatványa) bizonyul megfelelonek, keressük meg, van e a hosszegységnek olyan D- edik hatványa, amely ben az 1/3 hosszúságú oldal méroszáma éppen 1/4 lenne (1/3)D = 1/4 D *(- log 3) = - log 4 D = log 4/log 3 = 1.261856. A szerkesztés kiindulásául szolgáló egyenlooldalú háromszög területe T0= (1/2)*sin600. 1/4

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. : 

Fraktálok alaptulajdonságainak bemutatása a háromszögképzésu „Koch sziget” példáján. A hosszegység egész értéku hatványait (D=1, 2, 3, ...) az 1, 2, 3, stb. dimenziós terek alakzatainak (szakasz, síkidom, test, stb) méroszámául használjuk. Vannak a természetben olyan alakzatok, amelyek méroszámául törtdimenziós hatványt célszeru választani. Ezek a fraktálok. Absztrakt és szabatos geometriai fraktálmodellek is szerkeszthetok, egy ilyen a vizsgált Koch sziget, amelynek kerülete D = 1.261856 dimenziós fraktálalakzat. T0=0.433 K0=3