Presentaci�n1

La Geometría de las abejas Si alguna vez has visto en el campo una colmena, habrás observado que las abejas construyen sus panales a base de celdillas hexagonales regulares y pegadas unas a otras; los tabiques son de cera elaborada por ellas mismas. Desde siempre estos panales han llamado la atención de los hombres y, en particular, de los científicos: la regularidad no sólo en la forma de las celdillas, sino también en su tamaño hizo que en el siglo pasado se llegase a proponer la medida del diámetro de una celdilla (5´15 mm) como nueva unidad de longitud. Un cometido fundamental de las celdillas es almacenar la miel que las abejas van fabricando con el polen de las flores. También en ellas la reina pone huevos que, tras un período de metamorfosis, se convierten en individuos adultos. El mecanismo natural de selección de las especies hace que prosperen las soluciones óptimas: las más económicas en términos de gasto energético. Salen adelante las variantes genéticas que consiguen la supervivencia con menor trabajo.  Por eso la forma y el tamaño de las celdillas son las que se ajustan estrictamente a las necesidades de las abejas. ¿Y cómo lo consiguen?. Pues, por una parte, haciendo que las celdillas encajen perfectamente unas en otras, con lo que un mismo tabique sirve para dos celdas. Es el clásico problema del teselado con polígonos regulares. Se puede conseguir de varias maneras.         a) ¿Recuerdas con qué polígonos regulares (todos iguales) es posible hacerlo?  Veamos otra condición: la abeja necesita que las celdillas tengan una superficie determinada, pongamos 4 cm2 (en realidad es mucho menor), que le permita introducir su cuerpo en ellas. El objetivo de esta actividad es investigar el por qué, de entre todas las formas posibles, ha prevalecido el hexágono:         b) ¿Qué perímetro tiene un triángulo equilátero cuya superficie es de 4 cm2?         c) ¿Qué perímetro tendría un cuadrado de la misma superficie?         d)  Estudia la misma cuestión con un hexágono regular.         e)  Relaciona las anteriores respuestas con el problema de las abejas. Si has hecho bien los cálculos habrás llegado a la conclusión de que: Entre todas las formas poligonales regulares que llenan el plano, el hexágono regular es la que consigue encerrar una superficie con el menor perímetro.         f) Las cuestiones precedentes se referían a una superficie de 4 cm2  para simplificar los cálculos. Ahora intenta demostrar la anterior conclusión en general, para una superficie S cualquiera. Si alguna vez has visto en el campo una colmena, habrás observado que las abejas construyen sus panales a base de celdillas hexagonales regulares y pegadas unas a otras; los tabiques son de cera elaborada por ellas mismas. Desde siempre estos panales han llamado la atención de los hombres y, en particular, de los científicos: la regularidad no sólo en la forma de las celdillas, sino también en su tamaño hizo que en el siglo pasado se llegase a proponer la medida del diámetro de una celdilla (5´15 mm) como nueva unidad de longitud. Un cometido fundamental de las celdillas es almacenar la miel que las abejas van fabricando con el polen de las flores. También en ellas la reina pone huevos que, tras un período de metamorfosis, se convierten en individuos adultos. El mecanismo natural de selección de las especies hace que prosperen las soluciones óptimas: las más económicas en términos de gasto energético. Salen adelante las variantes genéticas que consiguen la supervivencia con menor trabajo.  Por eso la forma y el tamaño de las celdillas son las que se ajustan estrictamente a las necesidades de las abejas. ¿Y cómo lo consiguen?. Pues, por una parte, haciendo que las celdillas encajen perfectamente unas en otras, con lo que un mismo tabique sirve para dos celdas. Es el clásico problema del teselado con polígonos regulares. Se puede conseguir de varias maneras.         a) ¿Recuerdas con qué polígonos regulares (todos iguales) es posible hacerlo?  Veamos otra condición: la abeja necesita que las celdillas tengan una superficie determinada, pongamos 4 cm2 (en realidad es mucho menor), que le permita introducir su cuerpo en ellas. El objetivo de esta actividad es investigar el por qué, de entre todas las formas posibles, ha prevalecido el hexágono:         b) ¿Qué perímetro tiene un triángulo equilátero cuya superficie es de 4 cm2?         c) ¿Qué perímetro tendría un cuadrado de la misma superficie?         d)  Estudia la misma cuestión con un hexágono regular.         e)  Relaciona las anteriores respuestas con el problema de las abejas. Si has hecho bien los cálculos habrás llegado a la conclusión de que: Entre todas las formas poligonales regulares que llenan el plano, el hexágono regular es la que consigue encerrar una superficie con el menor perímetro.         f) Las cuestiones precedentes se referían a una superficie de 4 cm2  para simplificar los cálculos. Ahora intenta demostrar la anterior conclusión en general, para una superficie S cualquiera. Si alguna vez has visto en el campo una colmena, habrás observado que las abejas construyen sus panales a base de celdillas hexagonales regulares y pegadas unas a otras; los tabiques son de cera elaborada por ellas mismas. Desde siempre estos panales han llamado la atención de los hombres y, en particular, de los científicos: la regularidad no sólo en la forma de las celdillas, sino también en su tamaño hizo que en el siglo pasado se llegase a proponer la medida del diámetro de una celdilla (5´15 mm) como nueva unidad de longitud. Un cometido fundamental de las celdillas es almacenar la miel que las abejas van fabricando con el polen de las flores. También en ellas la reina pone huevos que, tras un período de metamorfosis, se convierten en individuos adultos. El mecanismo natural de selección de las especies hace que prosperen las soluciones óptimas: las más económicas en términos de gasto energético. Salen adelante las variantes genéticas que consiguen la supervivencia con menor trabajo.  Por eso la forma y el tamaño de las celdillas son las que se ajustan estrictamente a las necesidades de las abejas. ¿Y cómo lo consiguen?. Pues, por una parte, haciendo que las celdillas encajen perfectamente unas en otras, con lo que un mismo tabique sirve para dos celdas. Es el clásico problema del teselado con polígonos regulares. Se puede conseguir de varias maneras.         a) ¿Recuerdas con qué polígonos regulares (todos iguales) es posible hacerlo?  Veamos otra condición: la abeja necesita que las celdillas tengan una superficie determinada, pongamos 4 cm2 (en realidad es mucho menor), que le permita introducir su cuerpo en ellas. El objetivo de esta actividad es investigar el por qué, de entre todas las formas posibles, ha prevalecido el hexágono:         b) ¿Qué perímetro tiene un triángulo equilátero cuya superficie es de 4 cm2?         c) ¿Qué perímetro tendría un cuadrado de la misma superficie?         d)  Estudia la misma cuestión con un hexágono regular.         e)  Relaciona las anteriores respuestas con el problema de las abejas. Si has hecho bien los cálculos habrás llegado a la conclusión de que: Entre todas las formas poligonales regulares que llenan el plano, el hexágono regular es la que consigue encerrar una superficie con el menor perímetro.         f) Las cuestiones precedentes se referían a una superficie de 4 cm2  para simplificar los cálculos. Ahora intenta demostrar la anterior conclusión en general, para una superficie S cualquiera. :

La Geometría de las abejas Si alguna vez has visto en el campo una colmena, habrás observado que las abejas construyen sus panales a base de celdillas hexagonales regulares y pegadas unas a otras; los tabiques son de cera elaborada por ellas mismas. Desde siempre estos panales han llamado la atención de los hombres y, en particular, de los científicos: la regularidad no sólo en la forma de las celdillas, sino también en su tamaño hizo que en el siglo pasado se llegase a proponer la medida del diámetro de una celdilla (5´15 mm) como nueva unidad de longitud. Un cometido fundamental de las celdillas es almacenar la miel que las abejas van fabricando con el polen de las flores. También en ellas la reina pone huevos que, tras un período de metamorfosis, se convierten en individuos adultos. El mecanismo natural de selección de las especies hace que prosperen las soluciones óptimas: las más económicas en términos de gasto energético. Salen adelante las variantes genéticas que consiguen la supervivencia con menor trabajo. Por eso la forma y el tamaño de las celdillas son las que se ajustan estrictamente a las necesidades de las abejas. ¿Y cómo lo consiguen?. Pues, por una parte, haciendo que las celdillas encajen perfectamente unas en otras, con lo que un mismo tabique sirve para dos celdas. Es el clásico problema del teselado con polígonos regulares. Se puede conseguir de varias maneras. a) ¿Recuerdas con qué polígonos regulares (todos iguales) es posible hacerlo? Veamos otra condición: la abeja necesita que las celdillas tengan una superficie determinada, pongamos 4 cm 2 (en realidad es mucho menor), que le permita introducir su cuerpo en ellas. El objetivo de esta actividad es investigar el por qué, de entre todas las formas posibles, ha prevalecido el hexágono: b) ¿Qué perímetro tiene un triángulo equilátero cuya superficie es de 4 cm 2 ? c) ¿Qué perímetro tendría un cuadrado de la misma superficie? d)  Estudia la misma cuestión con un hexágono regular. e)  Relaciona las anteriores respuestas con el problema de las abejas. Si has hecho bien los cálculos habrás llegado a la conclusión de que: Entre todas las formas poligonales regulares que llenan el plano, el hexágono regular es la que consigue encerrar una superficie con el menor perímetro. f) Las cuestiones precedentes se referían a una superficie de 4 cm 2 para simplificar los cálculos. Ahora intenta demostrar la anterior conclusión en general, para una superficie S cualquiera. Si alguna vez has visto en el campo una colmena, habrás observado que las abejas construyen sus panales a base de celdillas hexagonales regulares y pegadas unas a otras; los tabiques son de cera elaborada por ellas mismas. Desde siempre estos panales han llamado la atención de los hombres y, en particular, de los científicos: la regularidad no sólo en la forma de las celdillas, sino también en su tamaño hizo que en el siglo pasado se llegase a proponer la medida del diámetro de una celdilla (5´15 mm) como nueva unidad de longitud. Un cometido fundamental de las celdillas es almacenar la miel que las abejas van fabricando con el polen de las flores. También en ellas la reina pone huevos que, tras un período de metamorfosis, se convierten en individuos adultos. El mecanismo natural de selección de las especies hace que prosperen las soluciones óptimas: las más económicas en términos de gasto energético. Salen adelante las variantes genéticas que consiguen la supervivencia con menor trabajo. Por eso la forma y el tamaño de las celdillas son las que se ajustan estrictamente a las necesidades de las abejas. ¿Y cómo lo consiguen?. Pues, por una parte, haciendo que las celdillas encajen perfectamente unas en otras, con lo que un mismo tabique sirve para dos celdas. Es el clásico problema del teselado con polígonos regulares. Se puede conseguir de varias maneras. a) ¿Recuerdas con qué polígonos regulares (todos iguales) es posible hacerlo? Veamos otra condición: la abeja necesita que las celdillas tengan una superficie determinada, pongamos 4 cm 2 (en realidad es mucho menor), que le permita introducir su cuerpo en ellas. El objetivo de esta actividad es investigar el por qué, de entre todas las formas posibles, ha prevalecido el hexágono: b) ¿Qué perímetro tiene un triángulo equilátero cuya superficie es de 4 cm 2 ? c) ¿Qué perímetro tendría un cuadrado de la misma superficie? d)  Estudia la misma cuestión con un hexágono regular. e)  Relaciona las anteriores respuestas con el problema de las abejas. Si has hecho bien los cálculos habrás llegado a la conclusión de que: Entre todas las formas poligonales regulares que llenan el plano, el hexágono regular es la que consigue encerrar una superficie con el menor perímetro. f) Las cuestiones precedentes se referían a una superficie de 4 cm 2 para simplificar los cálculos. Ahora intenta demostrar la anterior conclusión en general, para una superficie S cualquiera. Si alguna vez has visto en el campo una colmena, habrás observado que las abejas construyen sus panales a base de celdillas hexagonales regulares y pegadas unas a otras; los tabiques son de cera elaborada por ellas mismas. Desde siempre estos panales han llamado la atención de los hombres y, en particular, de los científicos: la regularidad no sólo en la forma de las celdillas, sino también en su tamaño hizo que en el siglo pasado se llegase a proponer la medida del diámetro de una celdilla (5´15 mm) como nueva unidad de longitud. Un cometido fundamental de las celdillas es almacenar la miel que las abejas van fabricando con el polen de las flores. También en ellas la reina pone huevos que, tras un período de metamorfosis, se convierten en individuos adultos. El mecanismo natural de selección de las especies hace que prosperen las soluciones óptimas: las más económicas en términos de gasto energético. Salen adelante las variantes genéticas que consiguen la supervivencia con menor trabajo. Por eso la forma y el tamaño de las celdillas son las que se ajustan estrictamente a las necesidades de las abejas. ¿Y cómo lo consiguen?. Pues, por una parte, haciendo que las celdillas encajen perfectamente unas en otras, con lo que un mismo tabique sirve para dos celdas. Es el clásico problema del teselado con polígonos regulares. Se puede conseguir de varias maneras. a) ¿Recuerdas con qué polígonos regulares (todos iguales) es posible hacerlo? Veamos otra condición: la abeja necesita que las celdillas tengan una superficie determinada, pongamos 4 cm 2 (en realidad es mucho menor), que le permita introducir su cuerpo en ellas. El objetivo de esta actividad es investigar el por qué, de entre todas las formas posibles, ha prevalecido el hexágono: b) ¿Qué perímetro tiene un triángulo equilátero cuya superficie es de 4 cm 2 ? c) ¿Qué perímetro tendría un cuadrado de la misma superficie? d)  Estudia la misma cuestión con un hexágono regular. e)  Relaciona las anteriores respuestas con el problema de las abejas. Si has hecho bien los cálculos habrás llegado a la conclusión de que: Entre todas las formas poligonales regulares que llenan el plano, el hexágono regular es la que consigue encerrar una superficie con el menor perímetro. f) Las cuestiones precedentes se referían a una superficie de 4 cm 2 para simplificar los cálculos. Ahora intenta demostrar la anterior conclusión en general, para una superficie S cualquiera.