CRECIMIENTO EXPONENCIAL CON EJERCICIOS

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CRECIMIENTO EXPONENCIAL

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El número de bacterias de un cultivo aumenta 20% por minuto. Es decir la tasa de crecimiento de la población de bacterias es constante. Si inicialmente hay 1 000 bacterias. ¿cuántas habrá luego de tres minutos? Después de un minuto, el número de bacterias será 1 000 más el 20% de 1000.

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Como habrá 1200 bacterias al cabo de un minuto. Después de dos minutos: Luego de tres minutos 1 000 20 100 1 000 1 000 200 1 200 + = + = 1 200 20 100 1 200 1 200 240 1 440 + = + = 1 440 20 100 1 440 1 440 288 1 628 + = + =

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Si A es el número de bacterias y r, la tasa de crecimiento por minuto, entonces en el primer minuto habrá A + rA bacterias. En el segundo, el número de bacterias será la que había al término del primer minuto (A + rA) más el crecimiento correspondiente r (A rA) +

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Entonces A + rA + r(A + rA)= A + 2Ar + Ar² = A (1 + 2r + r²) = A (1 + r)², A(1 + r)² es el número de bacterias al final del segundo minuto. En el tercer minuto, habrá el número de bacterias del segundo minuto A(1 + r)² mas el incremento respectivo: A (1 r) + 2 r

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A(1 + r)² + rA(1 + r)² = (A + rA)(1 + r)² = A(1 + r)(1 + r)²= A(1 + r)³. A(1 + r)³ es el número de bacterias que hay al concluir el tercer minuto.

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Si se concentran los valores en una tabla, es posible encontrar una expresión para calcular el número de bacterias en n minutos.

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Por ejemplo, si se quiere saber cuántas bacterias habrá en cinco minutos, se calcula: 1 000 = 1 000(1.2)5 = 1 000(2.48832) = 2 488.32 Entonces a los cinco minutos habrá 2 488 bacterias.

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La gráfica de la función 1 000 (1.2)t se presenta en seguida.

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Las funciones de la forma kax es una constante diferente de cero, a una constante positiva y x la variable independiente, se llaman funciones exponenciales. En el ejemplo, la función A(1 + r)t es una función exponencial porque A y (1 + r) son constantes y t es la variable independiente tiempo.

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Una lista de números de la forma a, ar, ar², ar³, ar4, ar5, ar6 ... es una sucesión de crecimiento exponencial también llamada de crecimiento geométrico. La lista presenta crecimiento geométrico, porque se puede escribir como: 1,

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EJERCICIOS

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a) Una persona deposita en el banco $100,000.00. Si la tasa de interés es 25% anual y los intereses reinvierten como capital cada año, ¿cuál es el capital depositado después de uno, dos, tres y cuatro años?

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b) El Sr. Gómez depositó $200,000.00 en una cuenta de ahorro. Si la tasa de interés anual es 19% y los intereses se reinvierten como capital cada año, ¿cuánto dinero tendrá el Sr. Gómez al finalizar uno, dos, tres, cuatro y cinco años?

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c) Elabora la gráfica de los valores obtenidos en el inciso anterior. Recuerda que, en el tiempo t = 0, el capital es $ 200 000.

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d) Se depositan en un banco $200,000.00; la tasa de interés es 21% anual y los intereses se reinvierten cada año. Calcula qué cantidad de dinero se tiene en el banco después de uno, dos, tres, cuatro y cinco años. Elabora la gráfica correspondiente.

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e) La velocidad de un cohete es 360 km/h. Si ésta aumenta con una tasa de crecimiento constante de 65% cada minuto, ¿cuál es la velocidad del cohete después de uno, dos, tres, cuatro y cinco minutos? Elabora la gráfica respectiva.

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f) Se estima que la población mundial en 1995 era 5.69 miles de millones de personas. Si la población creciera a una tasa constante de 2.9% anual, ¿cuántos habitantes habría en el año 2000?

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a) 1, 3, 9, 27, 81... b) 1, c) d) 4, 2, 1, e) 1, 106, 1012, 1018, 1024 f) 7, 77, 714, 721, 728... 2 Comprueba que las siguientes sucesiones presentan crecimiento geométrico e indica la tasa de crecimiento de cada una.

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3 Calcula el séptimo término de la primera colección de la actividad anterior.

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4 Obtén los términos octavo, noveno y décimo de la segunda colección anterior.

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5 Indica qué lugar ocupa el número en la cuarta sucesión de la actividad 2.

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