Factor Comun

FACTOR COMÚN : 

FACTOR COMÚN

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En ocasiones, es necesario expresar un monomio de manera que sus factores (producto o multiplicación) se indiquen explícitamente. A esto se llama factorizar un monomio. Por ejemplo, vamos a factorizar 6x²:

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(3)(2)(x²) (6x)(x) (6x²)(1) (–3)(2)(–x)(x) (3)(2)(x)(x) Cada producto o multiplicación es igual a 6x². La factorización de un monomio no es única.

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Factorizar el monomio 8x5 de manera que un factor sea 2x² El problema consiste en encontrar un monomio que multiplicado por 2x² resulte 8x5. Como (2)(4)=8 y (x²)(x³)= x5 El monomio buscado es 4x³ pues (4x³)(2x²) = 8x5 Veamos un ejemplo: BIEN SENCCIIIOOOOO!!!!!

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Encontrar los factores comunes del monomio x3. Los factores de x² son 1, x, x² y x³ ya que (1)(x³) = x³ (x)(x²) = x³ (x2)(x) = x3 (x3)(1) = x3

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Los factores de x4 son 1, x, x², x³ y x4, porque: Encontrar los factores comunes del monomio x4. (1)(x4) = x4 (x)(x3) = x4 (x2)(x2) = x4 (x3)(x) = x4 (x4)(1) = x4

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x²y es factor común de 2x²y³ y 9x³y porque: 2x²y³ = (x²y)(2y²) y 9x³y = (x²y)(9x). 7x5y9 es factor común de 35x15y20 y 84x9y12 porque: 35x15y20 = (7x5y9)(5x10y11) y 84x9y12 = (7x5y9)(12x4y3). El factor común de dos o más monomios es otro monomio que es factor de ambos. Analicemos lo siguiente:

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El mayor factor común de dos o más monomios se llama máximo factor común. Véase cómo se calcula el máximo factor común de: 12x²zy³, – 8x³y²w y 6x³y

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12x²zy³ – 8x³y²w 6x³y 1. Se halla el máximo común divisor de los coeficientes, 12, 8 (no tomar en cuenta el signo) y 6. 12 8 6 M.C.D.= 2 2. Se toman las variables comunes de cada monomio. x²y³ –x³y² x³y Nótese que la variable z y la w, no están en todos los monomios, eso quiere decir que no son variables comunes y se omiten.

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3. Se escogen las que tienen menor exponente x²y 4. Se multiplica el M.C.D. (2) de los coeficientes por las variables comunes (x2y) elevadas al menor exponente (2)(x²y)= 2x2y Que es el máximo factor común de: 12x²zy³ – 8x³y²w 6x³y

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Calcular el máximo factor común de Se calcula el M.C.D. (Máximo Común Divisor) de 15 y 27, o sea, el número más alto que sea divisible entre 15 y 27, y ese número es el 3. Las variables comunes son, x, y y z, se eligen las de menor exponente son x3, y5 y z. Entonces el máximo factor común es: 3x3y5z

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Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de un monomio por un polinomio o de un polinomio por otro polinomio. Si un polinomio está formado por monomios con factor común distinto de 1, se puede factorizar como el producto de un monomio y un polinomio.

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Factorizar el polinomio 3x²y + 12x³y² + 15xy 1. Se obtiene el máximo factor común de los monomios que forman el polinomio. El máximo factor común de 3x²y, 12x³y² y 15xy es: 3xy

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2. Se factorizan los monomios según el máximo factor común que es 3xy: 3x²y = (3xy)(x) 12x³y² = (3xy)(4x²y) 15xy = (3xy)(5). 3. Se expresa el polinomio como producto del máximo factor común y la suma de los otros factores obtenidos en el paso 2: 3x²y + 12x³y² + 15xy = (3xy)(x + 4x²y + 5)

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Se puede comprobar si la factorización es correcta realizando el producto: (3xy)(x + 4x²y + 5) (3xy)(x) + (3xy)(4x²y) + (3xy) (5) 3x²y + 12x³y² + 15xy = =

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Factorizar el polinomio 4x³ – 12x² + 18x 1. 2x es un máximo factor común de los monomios del polinomio. 2. 4x³ = (2x) (2x²), –12x² = (2x)(–6x) 18x = (2x)(9) 3. (4x³ – 12x² + 18x) = (2x)(2x² – 6x + 9)

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EJERCICIOS

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Factoriza los siguientes monomios. a) 4x²y b) 21ab³ c) 48abx5y² d) 60 x³yz² e) 8z2w²v f) 15x5yz³ g) 23r4st² h) 20x³y4z

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Encuentra el factor que falta en cada caso. a) 4x²y² = (–4xy) ( ) b) 4x²y² = (2y) ( ) c) 4x²y² = (4x) ( ) d) 4x²y² = (2xy) ( )

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Escribe tres factorizaciones de cada monomio. a) –16x²y³ b) –18u4 c) 125u13v² d) –25y³z³ e) –60x8 f) 240a14b8

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Encuentra el máximo factor común de cada pareja. a) 8x³ y 6x8 b) 24a² y 14a6 c) x100 y x99 d) 4a²b y 22a³b5 e) 35u7v15 y 56uv16 f) 4x6 y 2x³

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Expresa cada binomio como producto de factores, tal que uno de ellos sea el máximo factor común. a) 5 + 15x b) 26 – 39y c) 42x + 48y d) 56x + 57y e) 3xy² – 9x²y f) 10xa + 7xa g) x + x² h) 4x – 8x² i) 8x + 14x² j) x – x² k) x² + x³ l) 5x³ – 15x4 m) a²b³ + 9ab4 n) 6ab – 27ab² ñ) 64u6v5 + 28u5v6 o) 6x²y – 6xy² p) 2x²y² + 4xy q) a²b²c² + 2abc

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Expresa los polinomios como producto de factores, tal que uno de ellos sea el máximo factor común. a) 2x + 6x² – 8x³ b) 10x² + 16x³ – 28x4 c) 12x + 26x² – 18x5 d) 7x5 – 14x8 – 21x10 e) 2x6 + 4x4 + 8x² f) xy² – x²y – x²y² g) 25x³y³ + 50x³y4 – 75x2y3 h) 11y4 – 33y5 – 121y8 i) 6xy5 + 3yx4 + 9x² j) –zy² – z³y + zx4y²