10 SISTEMAS DE TRES ECUACIONES LINEALES

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By: ajtoncheq (58 month(s) ago)

exelente presentacion sencilla y clara

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SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES

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Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se transforma en uno de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución.

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Como ejemplo, se resolverá el siguiente sistema: x + y – z = –5 (1) x – y + 2x = 11 (2) 2x + y – z = –4 (3)

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1. Se despeja x en la ecuación (1): x = –5 – y + z 2. Se sustituye x en las ecuaciones (2) y (3): (–5 – y + z) – y + 2z = 11 2(–5 – y + z) + y – z = –4

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Cuando se reducen términos semejantes, el resultado es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: –2y + 3z = 16 (1') –y + z = 6 (2')

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3. Este sistema se resuelve con alguno de los métodos expuestos en lecciones anteriores. Por ejemplo, con el método de suma y resta: Se multiplica la segunda ecuación por 2 y el resultado se resta a (1’):

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–2y + 3z = 16 – –2y + 2z = 12 0 + z = 4 2(–y + z) = 2(6)

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Se reemplaza el valor de z en la ecuación (2'): –y + (4) = 6, entonces y = –2. Se sustituyen los valores de y y z en la ecuación que se obtuvo en el paso 1: x = –5 – (–2) + (4) = –5 + 2 + 4 = 1 La solución del sistema es: x = 1, y = –2 y z = 4.

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En general, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se resuelve así: 1. Se despeja una incógnita en alguna ecuación. 2. La incógnita despejada en el primer paso se sustituye en las otras dos ecuaciones; el resultado es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

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3. Se resuelve el sistema obtenido en el paso anterior y con la solución de éste, se encuentra el valor de la incógnita despejada en el primer paso.

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Por ejemplo: El perímetro de un triángulo es 18 centímetros. El lado mayor es dos unidades mayor que el mediano y el mediano es dos unidades mayor que el pequeño. ¿Cuánto miden los lados de la figura?

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Si x es el lado mayor, y el mediano y z el pequeño, el planteamiento del problema es el que sigue. El perímetro es 18 cm: x + y + z = 18 El lado mayor es dos unidades mayor que el mediano: x – y = 2 (2) El lado mediano es dos unidades mayor que el pequeño: y – z = 2 (3) (1)

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1 Se despeja z en la tercera ecuación: z = y – 2 2 Se sustituye z en la primera ecuación: x + y + (y – 2) = 18 x + 2y – 2 = 18 x + 2y = 20

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Las ecuaciones x + 2y = 20 y (2) tienen las mismas incógnitas. Entonces, se puede resolver el sistema formado por ellas. x + 2y = 20 (1') x – y = 2 (2) La solución de este sistema es x = 8 y y = 6.

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Si se reemplaza el valor de y en la ecuación encontrada en el paso 1, se obtiene el valor de z: z = y – 2 z = 6 – 2 = 4 La solución del sistema está dada por los valores x = 8, y = 6 y z = 4.

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EJERCICIOS

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Resuelve los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

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María y José fueron a la tienda. María pagó $ 17.00 por 5 dulces, 1 chocolate y 3 galletas. José pagó $ 16.00 por 2 dulces, 2 chocolates y 1 galleta. Si el precio de cada chocolate es el triple que el de una galleta, ¿cuánto cuestan los dulces, los chocolates y las galletas?

Slide 20: 

Calcula las edades de un abuelo, un padre y un hijo. La edad del padre es el triple que la del hijo, las edades del padre y del abuelo suman 102, y cinco veces la edad del hijo excede en 10 años la del abuelo.

Slide 21: 

Una caja contiene clavos, tornillos y tuercas. El número de clavos es el triple que el de tornillos y la cantidad de tornillos es tres veces el de tuercas. ¿Cuántos clavos, tornillos y tuercas hay en la caja si en total suman 1 872 objetos?

Slide 22: 

Un ciclista avanza a 25 kilómetros por hora en terreno plano, a 15 kilómetros por hora en subida y a 30 kilómetros por hora en bajada. Para recorrer una carretera de 100 kilómetros empleó 4 horas de ida y 5.5 horas de regreso. ¿Cuántos kilómetros de subida, bajada y terreno plano tiene la carretera?