07 CALCULO DE LONGITUDES EN SOLIDOS CON

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CÁLCULO DE LONGITUDES EN SÓLIDOS

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El teorema de Pitágoras puede aplicarse para calcular longitudes de sólidos. Por ejemplo: Calcular la diagonal de un paralelepípedo recto.

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El triángulo BCD de la figura 1 es un triángulo rectángulo porque el segmento BC es la diagonal del rectángulo. Entonces, por el teorema de Pitágoras, se tiene que la longitud de la diagonal de la base es la que sigue:

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Donde b es la longitud del largo y c, la del ancho. Como el ángulo ABC es un ángulo recto, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo cuyos catetos son AB y BC. Entonces se puede calcular la longitud de la diagonal del rectángulo porque se conocen las longitudes de los catetos: si x es la longitud de la diagonal del rectángulo y a es la altura, se tiene lo siguiente

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En síntesis, la longitud de la diagonal de un paralelepípedo es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados del ancho, largo y el alto. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b a c b x + + = + + = x = + + b c a 2 2 2

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Ejemplo: Calcular la longitud de la diagonal del paralelepípedo cuyas dimensiones son largo 4 cm, ancho 3 cm y alto 5 cm.

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Un caso particular de paralelepípedo es el cubo (figura 2). Si la longitud de la arista es a, la longitud de la diagonal se expresa así:

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A continuación se calcularán las longitudes del apotema y de la arista de las caras laterales de una pirámide cuadrada:

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Obsérvese en la figura 3 que la apotema es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y el segmento que se desde el centro del cuadrado del punto medio del lado de la figura. Entonces, por el teorema de Pitágoras, la apotema es igual que:

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Donde es la longitud del segmento que va desde el centro del cuadrado a la mitad del lago y b es la altura. Puesto que la arista de una cara lateral, la altura de la pirámide y la mitad de la diagonal del cuadrado forman un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras se obtiene la longitud de las aristas de las caras laterales de la pirámide.

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Como la longitud de la diagonal del cuadrado es la longitud de la mitad de la diagonal es y la longitud de la arista:

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De manera análoga es posible calcular las aristas y apotemas de cualquier pirámide si se conocen las longitudes de los lados de la base y la altura de la pirámide.

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EJERCICIOS

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Calcula la diagonal de los paralelepípedos cuyas dimensiones se indican. a) 5, 6 y 8 cm b) 3, 4 y 5 cm c) 10, 10 y 20

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Determina la diagonal de los cubos cuyas aristas tienen las longitudes señaladas. a) 10 cm b) 8 cm c) 2.3 cm d) 8.1 cm

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Obtén el área lateral de las pirámides cuadradas. a) El lado del cuadrado mide 5 cm y la altura, 8 cm. b) El lado del cuadrado mide 3 cm y la altura, 6 cm. c) El lado del cuadrado mide 10 cm y la altura, 20 cm.

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Observa la figura, lee la explicación y contesta. Los vértices de la figura inscrita en el cubo son los puntos medios de las caras (es decir, en el punto de intersección de las diagonales). a) Si las aristas del cubo miden 4 cm, ¿cuánto miden los lados de los triángulos del sólido inscrito? b) ¿Cuáles son las áreas de los triángulos? c) ¿Cuál es el volumen del sólido inscrito? Considera que está formado por dos pirámides.

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a) Determina el área de cada triángulo. Si las aristas del cubo miden 8 cm. b) Calcula la superficie lateral de las dos pirámides cuadradas que tienen como vértice el centro del cubo y como base una cara de éste. Fíjate en la figura, lee el planteamiento y calcula lo que se pide. Si se trazan las diagonales de un cubo, éstas se intersecan en el centro del sólido. Desde el centro del cubo se construyen los ocho triángulos que se muestra en la figura.

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Observa la figura, lee el planteamiento y haz lo que se solicita. En el círculo máximo de la esfera de radio 16 cm, de construye un cuadrado inscrito; OP es un radio perpendicular al plano que contiene al círculo. Se construye la pirámide de base cuadrada y vértice P. a) Calcula las longitudes de los lados de las caras laterales del poliedro. b) Obtén el área de la base de la pirámide. c) Determina el volumen de la pirámide. d) Calcula el área de la superficie total de la pirámide.

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Encuentra el volumen y el área de la siguiente figura: h= 21 cm. B= 7.8 cm.

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CALCULA EL ÁREA Y VOLUMEN 9.5 cm. 5 cm. 10.5 m. 10.5 m.

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Encuentra el volumen y el área de la superficie de una pirámide rectangular con las siguientes características: RECTÁNGULO: Base = 10 cm. Altura = 8 cm. Altura de la pirámide = 12 cm. ¿Si fuera prisma con la misma base, cual sería su volumen?

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10 cm. 16 cm. 5 cm. Semi esfera dentro del cilindro, generando hueco. Encuentra el volumen de la siguiente figura.