METODO DE IGUALACION

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MÉTODO DE IGUALACIÓN

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El siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se resolverá con el método de igualación. (Te recuerdo que la variable x de la ecuación (1) es la misma que la ecuación (2), lo mismo pasa con y. 5x + y = –11 (1) –2x – 6y = 38 (2)

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Se despeja la variable y en ambas ecuaciones considerando que son iguales su valor: 5x + y = –11 (1) –2x – 6y = 38 (2) (1) y = –11 – 5x (2)

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2 Se igualan los valores de y encontrados en el inciso anterior para obtener una ecuación lineal con una incógnita; de ésta, se despeja x. –6(–11 – 5x) = 38 +2x 66 + 30x = 38 + 2x 30x – 2x = 38 – 66 28x = –28 x = -28/28 x = –1

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3 Para encontrar el valor de y, se sustituye el valor de x encontrada en el paso anterior x=-1, en cualquiera de las dos ecuaciones que se muestran en el paso uno; por ejemplo, la ecuación y = -11 – 5x; y = –11 – 5(–1) = –11 + 5 = –6 Por tanto, la solución del sistema es: x = –1 y y = –6

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Observemos este otro ejemplo: La diferencia de dos números es 40, y de su suma es 11. Hallar los números. Tenemos dos situaciones: 1.- La diferencia de dos números es 40 (x - y = 40) 2.- Un octavo de su suma es 11. (x + y)=11

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El sistema de ecuaciones queda de la siguiente forma: (1) (2) Recordemos que las variables son las mismas en la ecuación (1) que en la (2), es por eso que hay que despejar una variable de la ecuación (1) y la misma variable de la ecuación (2)

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1 Se escoge una incógnita y se despeja en ambas ecuaciones, en este caso elegiremos despejar x en ambas ecuaciones. Para este despeje, al contener una fracción, el despeje se explicará en la siguiente diapositiva

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Para despejar x de la ecuación siguiente hay que tener cuidado con la fracción, hay varios métodos pero se te explicará el siguiente: Multiplicas el numerador 1 por el binomio (x+y) y queda: El 8 que está dividiendo lo pasas al segundo miembro multiplicando y queda: Ahora ya puedes despejar la x, y efectúas antes la multiplicación de 11 por 8, y queda: x = 88 - y

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2 Se igualan las ecuaciones lineales encontradas en el paso anterior para obtener una ecuación lineal con una incógnita. 40 + y = 88 - y

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Ahora a encontrar el valor de la incógnita y. 40 + y = 88 – y y + y = 88 – 40 2y = 48 y = 48/2 y = 24

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3 Ya se encontró el valor de y, ahora hay que encontrar el valor de x, sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones donde se despejó x. x = 88 – y x = 88 – (24) x = 64

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La solución del sistema es x = 64 y y = 24

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Si quieres saber si los resultados son los correctos, lo que se tiene que hacer es sustituir los valores de x y y encontrados en las dos ecuaciones originales de problema si se cumplen las dos igualdades, quiere decir que los valores encontrados son los correctos. Si tienen cuidado en la sustitución y se cumple las igualdades en las dos ecuaciones, tendrás la seguridad de que los resultados encontrados son los correctos.

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Ejemplo 3: El perímetro del marco de una pintura mide 16 centímetros. Si el largo es el triple del ancho, ¿Cuáles son las dimensiones del marco?

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Se llamará x al largo del marco y y al ancho. Del enunciado del problema se derivan las siguientes ecuaciones: El perímetro es 16 cm: 2x + 2y = 16. El largo es el triple del ancho: x = 3y.

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Se despeja x en la primera ecuación: 2x + 2y = 16 2x = 16 – 2y

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Como en la segunda ecuación x ya está despejada x = 3y, se igualan las dos ecuaciones. El número 2 que está dividiendo lo pasamos al otro lado del signo igual multiplicando y queda: Multiplicamos (2)(3y) y queda: Movemos 2y: Simplificamos: Movemos el 8 que está multiplicando, dividiendo: y = 2

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Si se sustituye el valor de y en la ecuación (2), resulta el valor de x: x = 3y x = 3(2) = 6 x = 6 Entonces, el marco mide 6 cm. de largo y 2 cm. de ancho.

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EJERCICIOS

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Resuelve los sistemas con el método de igualación.

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¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo que tiene 72 cm de perímetro si la base es 3 cm mayor que la mitad de la altura? Juan y Pedro poseen una colección de 40 discos. Si Pedro le diera 4 a Juan, ambos quedarían con el mismo número de discos; ¿cuántos tiene cada uno?

Slide 25: 

El precio de 4 metros de lino y 5 de pana es $ 1 275, y el de 5 metros de lino y 4 de pana es $ 1 290. ¿Cuánto cuesta el metro de lino y de pana? El doble de un número menos el triple de otro es 5 y la diferencia de ambos es –1. ¿Cuáles son los números?

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A la fiesta de cumpleaños de Claudia asistieron 50 de sus amigos; de los hombres más de las mujeres sumaban 36 personas. Si en un momento todas las mujeres estaban bailando, ¿cuántos hombres no bailaban?