ECUACIONES CON PARENTESIS

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ECUACIONES CON PARENTESIS

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¿Qué es una ecuación? Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo se cumple para algunos valores de las incógnitas.

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Si la ecuación contiene sólo una variable o incógnita con exponente 1, se llama ecuación lineal o de primer grado con un incógnita.

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En una ecuación, la expresión algebraica del lado izquierdo del signo igual se llama primer miembro y la del lado derecho, segundo miembro.

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Resolver una ecuación lineal es encontrar el valor de la incógnita para el cual se cumple la igualdad. Los siguientes problemas se resuelven con una ecuación lineal.

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Juan nació cuando su mamá tenia 28 años. Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan?

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Si x es la edad de Juan, la de su mamá es x + 28. Por otro lado, la mamá de Juan tiene el triple de años que su hijo; es decir, 3x. Si se igualan estas dos expresiones algebraicas, se obtiene la siguiente ecuación: 3x = 28 + x

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3x = 28 + x Esta ecuación se resuelve despejando x de la siguiente manera: Movemos al primer miembro los términos con x, y en el segundo miembro los términos sin variable, nos queda: 3x – x = 28 2x = 28 Se reducen términos semejantes. 3x – x = 2x

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El 2 que multiplica con x, pasa dividiendo con todo y signo al segundo miembro o mejor dicho dividiendo con el 28. Se realizan la división y da que x = 14 Por lo tanto, la edad de Juan es 14 años. 2x = 28 x = 28/2

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Un tren salió de una ciudad a una velocidad de 50 km por hora. Tres horas más tarde salió otro del mismo punto y en la misma dirección. Si el segundo tren iba a 75 km por hora, ¿cuánto tiempo tardó en alcanzar al primero?

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Si x representa las horas que ha viajado el segundo tren, el primer tren ha viajado (x + 3) horas, por el tiempo que lleva de ventaja. La distancia recorrida en el tiempo x por el segundo tren es 75x y la del primero es 50(x + 3).

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Cuando el segundo tren alcance al primero, las distancias recorridas serán iguales; la ecuación que describe esto es 75x = 50(x + 3). Para resolverla, se eliminan primero los paréntesis efectuando el producto 50(x + 3) = 50x + (50)(3) = 50x + 150

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De la última ecuación se despeja x: 75x = 50x + 150 75x – 50x = 150 25x = 150 Se reducen términos semejantes. 75x – 50x = 25x Movemos al primer miembro los términos con x, y en el segundo miembro los términos sin variable, nos queda:

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El coeficiente 25 que multiplica con x, pasa al segundo miembro dividiendo con 150. El segundo tren alcanzará al primero en 6 horas. x = 150/25 x = 6

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Resolver la ecuación 27x – (3x – 9) = 3(x + 10). Se eliminan los paréntesis. 27x – 3x + 9 = 3x + 30 Nota: Cuando el signo de la izquierda del paréntesis es negativo se afecta los signos de los términos dentro del paréntesis, como se muestra a continuación: – (3x – 9) = -1(3x – 9) = (-1)(3x) – (-1)(9) = -3x – (-9) = -3x + 9 Pasamos los términos con variables al primer miembro y los términos son variables al segundo miembro y simplificamos, queda: 27x – 3x – 3x = 30 – 9 21x = 21 x = 21/21 x = 1

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–(17x + 18) + 2(9 + 8x) = 5(x + 1) + 7 Lo primero es eliminar los paréntesis y se simplifica: (-1)(17x) + (-1)(18) + (2)(9) + (2)(8x) = (5)(x) + (5)(1) + 7 -17x – 18 + 18 + 16x = 5x + 5 + 7 Movemos los términos con variable al primer miembro, y los términos sin variables al segundo miembro. -17x + 16x – 5x = 5 + 7 + 18 – 18 -6x = 12 x = 12/-6 x = -2

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Al encontrar el valor de la variable, se sustituye en la ecuación original y si se cumple la igualdad, significa que el resultado es correcto, ahí ustedes sabrán si sus resultados son correctos sin necesidad de esperar a que alguien les cheque si están bien su problema, como en el ejemplo anterior podemos comprobar así: x = -2 y sustituimos en la ecuación original que es: –(17x + 18) + 2(9 + 8x) = 5(x + 1) + 7 –(17(-2) + 18) + 2(9 + 8(-2)) = 5((-2) + 1) + 7 -(-34 + 18) + 2(9 + (-16)) = 5(-2 + 1) + 7 34 – 18 + 18 – 32 = -10 + 5 + 7 2 = 2

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EJERCICIOS

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Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones lineales. a) 2x – 7 = –8 + x b) 3x – 9 = x – 11 c) 5x – 4 = 8x – 20 d) 13 – 4x = –6x + 17 e) 39 – 15x = –31 – 5x f) x + 1 = 18x – 10 g) 120 + 36x = –12x h) –x + 15 = 5x – 45

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Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones; elimina primero los paréntesis. a) 5x = 4(x + 17) b) 3x + 3 = 2(7x – 15) c) 10x = 68 – 2(4 – 2x) d) –6x = 3(x – 21) e) –10x = –6(4 + 3x) f) 31x = –(135 + 4x)

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g) 3(x + 12) = 2(x – 1) h) 10(x – 8) = 15(2x – 2) i) –(4x – 17) = 6(x – 3) j) 3(16x + 4) = 3(34 + x) k) 11(3 – x) = 10(3 – 2x) l) m) n) –2(5 – x) = 5(x + 7)

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ñ) 6x – (8x + 15) = 3x o) 8(9 + x) – 12 = 5(2x + 6) p) (x + 10) – (3x + 12) = 7x + 2(11 – 4x) q) –(17x + 18) + 2(9 + 8x) = 5(x + 1) + 7 r) x – 23 – (15 – x) = 4(x – 8) s) 51(x + 3) + 9x – 23 = 20(4x + 8) t) 5(4x – 1) – 2(5x – 5) = 20(x + 1)

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José y su hermano ahorraron $152. Si José contribuyó con $22 más que su hermano. ¿Cuánto dinero aportó?

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Un ciclista sale de una ciudad a 40 km por hora y dos horas más tarde sale tras él un automóvil a una velocidad de 90 km por hora. ¿Cuánto tardará el automóvil en alcanzar al ciclista?

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El área del siguiente rectángulo es 60 cm². ¿Cuánto vale x? (x – 2) 20 cm