Sistema Ecuaciones 3x3 por Determinnates

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Solución de Ecuaciones lineales 3x3 Por Determinantes

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De un sistema lineal 3x3 como el siguiente : Construimos los determinantes necesarios para encontrar la solución para este sistema. Recuerda que encontrar la solución, es encontrar el valor de las variables que lo componen, en este caso, encontrar el valor de x , y y z . El determinante del sistema:

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El determinante para x : Ya que obtuvimos D , ahora construimos el determinante para x .

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Construimos el determinante para y , como sigue: El determinante para y :

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Construimos el determinante para z , como sigue: El determinante para z :

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Por lo tanto, para x , y y z , solo es cuestión de resolver cada determinante de la siguiente forma:

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EJEMPLO

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Determinante D 3 -2 -1 2 3 -1 1 -1 2 D= Determinante X 1 -2 -1 4 3 -1 7 -1 2 X=

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Determinante Y 3 1 -1 2 4 -1 1 7 2 Y= Determinante Z 3 -2 1 2 3 4 1 -1 7 Z=

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2 3 -1 3 -2 -1 2 3 -1 1 -1 2 3 -2 -1 Solución determinante D D= = + (3)(3)(2) + (2)(-1)(-1) + (1)(-2)(-1) - (-1)(3)(1) – (-1)(-1)(3) – (2)(-2)(2) = 18 2 2 3 -3 8 = 18 + 2 + 2 + 3 - 3 + 8 = 30 Determinante D vale 30 Si observamos, para el determinante D , usamos solo los COEFICIENTES de x , y y z , y queda de la siguiente forma: Repetimos las primeras dos filas. Iniciamos, creando diagonales de izquierda a derecha, como se ilustra, y asignaremos el signo POSITIVO para cada diagonal, y se multiplican los números, obtenemos lo siguiente: Continuamos, creando diagonales de derecha a izquierda, como se ilustra, y asignaremos el signo NEGATIVO para cada diagonal, y se multiplican los números, obtenemos lo siguiente:

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4 3 -1 1 -2 -1 4 3 -1 7 -1 2 1 -2 -1 Solución determinante X X= = + (1)(3)(2) + (4)(-1)(-1) + (7)(-2)(-1) - (-1)(3)(7) – (-1)(-1)(1) – (2)(-2)(4) = 6 4 14 21 -1 16 = 6 + 4 + 14 + 21 - 1 + 16 = 60 Determinante X vale 60 Si observamos, para el determinante X , usamos solo los COEFICIENTES de y y z , y en lugar de los coeficientes de x , ponemos los términos independientes de los resultados, y queda de la siguiente forma: Repetimos las primeras dos filas. Iniciamos, creando diagonales de izquierda a derecha, como se ilustra, y asignaremos el signo POSITIVO para cada diagonal, y se multiplican los números, obtenemos lo siguiente: Continuamos, creando diagonales de derecha a izquierda, como se ilustra, y asignaremos el signo NEGATIVO para cada diagonal, y se multiplican los números, obtenemos lo siguiente:

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2 4 -1 3 1 -1 2 4 -1 1 7 2 3 1 -1 Solución determinante Y Y= = + (3)(4)(2) + (2)(7)(-1) + (1)(1)(-1) - (-1)(4)(1) – (-1)(7)(3) – (2)(1)(2) = 24 -14 -1 4 21 -4 = 24 - 14 - 1 + 4 + 21 - 4 = 30 Determinante Y vale 30 Si observamos, para el determinante Y , usamos solo los COEFICIENTES de x y z , y en lugar de los coeficientes de y , ponemos los términos independientes de los resultados, y queda de la siguiente forma: Repetimos las primeras dos filas. Iniciamos, creando diagonales de izquierda a derecha, como se ilustra, y asignaremos el signo POSITIVO para cada diagonal, y se multiplican los números, obtenemos lo siguiente: Continuamos, creando diagonales de derecha a izquierda, como se ilustra, y asignaremos el signo NEGATIVO para cada diagonal, y se multiplican los números, obtenemos lo siguiente:

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2 3 4 3 -2 1 2 3 4 1 -1 7 3 -2 1 Solución determinante Z Z= = + (3)(3)(7) + (2)(-1)(1) + (1)(-2)(4) - (1)(3)(1) – (4)(-1)(3) – (7)(-2)(2) = 63 -2 -8 -3 12 28 = 63 - 2 – 8 - 3 + 12 + 28 = 90 Determinante Z vale 90 Si observamos, para el determinante Z , usamos solo los COEFICIENTES de x y y , y en lugar de los coeficientes de z , ponemos los términos independientes de los resultados, y queda de la siguiente forma: Repetimos las primeras dos filas. Iniciamos, creando diagonales de izquierda a derecha, como se ilustra, y asignaremos el signo POSITIVO para cada diagonal, y se multiplican los números, obtenemos lo siguiente: Continuamos, creando diagonales de derecha a izquierda, como se ilustra, y asignaremos el signo NEGATIVO para cada diagonal, y se multiplican los números, obtenemos lo siguiente:

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RECORDANDO Y eso es toño

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EJERCICIOS

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Dos hermanos compraron, a partes iguales, un receptor de televisión con costo de $ 2,200.00. El hermano mayor invirtió en esa operación la mitad de sus ahorros y el hermano menor las dos terceras partes de los suyos. Después de haber efectuado la compra todavía reunían entre los dos $ 1,600.00 de ahorros. Determínese la cantidad ahorrada por cada uno, previa compra.

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A cierta ciudad situada en una isla se transporta diariamente un promedio de 50 bolsas de correspondencia, haciéndose parte del recorrido en camión y parte en helicóptero. En cada viaje el camión transporta 10 bolsas y el helicóptero 6. El helicóptero efectúa un viaje más que el doble de viajes del camión ¿Cuántos viajes efectúa cada uno al día? Gracias por su atención, ATTE. Javier Márquez Visiten http://matematicastaes.hostei.com/