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By: francisco124075 (58 month(s) ago)

excelente explicacion

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RELACION DE POISSON : 

RELACION DE POISSON

Slide 2: 

Suponiendo que el material es: Homogéneo: Las diferentes propiedades mecánicas son independientes del punto estudiado. Isotrópico: Sus propiedades son las mismas en cualquier dirección. Con estas suposiciones la deformación debe tener el mismo valor en cualquier dirección transversal, es decir:

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En todos los materiales usados en ingeniería, el alargamiento producido por una fuerza P de tensión, en su dirección, está acompañado por una contracción en cualquier dirección transversal.

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Se define la relación o módulo de Poisson como el valor absoluto de la razón entre la deformación lateral y la deformación axial, es decir:

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EJEMPLO: Una barra de 500 mm de longitud y 16 mm de diámetro, hecha de material homogéneo e isotrópico, se alarga 300 µm y su diámetro decrece en 2,4 µm al ser some- tido a una fuerza axial de 12 kN. Halle el módulo de elasticidad y la relación de Poisson del material.

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El área de la sección transversal de la barra es: Escogiendo el eje x a lo largo del eje de la barra, se escribe:

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De la ley de Hooke: De la definición de la relación de Poisson:

CARGA MULTIAXIALLEY GENERALIZADA DE HOOKE : 

CARGA MULTIAXIALLEY GENERALIZADA DE HOOKE Notese que esta no es la condición general de esfuerzos puesto que no están incluidos los esfuerzos cortantes.

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Sea un elemento de material en forma de cubo de arista unitaria:

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Bajo la carga multiaxial el elemento se convierte en un paralele- pípedo rectangular de lados 1+x , 1+y y 1+x .

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Debe observarse que, como resultado de las deformaciones de otros elementos del material, el elemento estudiado puede expe- rimentar un traslación, pero aquí solo nos concierne la deformación real del elemento y no cualquier posible desplazamiento de cuerpo rígido. Para considerar las componentes de la deformación x , y , z en términos de los esfuerzos x , y y z se consideran separada- mente el efecto de cada componente del esfuerzo y se combinan los resultados obtenidos.

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Principio de Superposición. Este principio dice que el efecto de una combinación de cargas en una estructura se puede obtener determinando separadamente los efectos de las diferentes cargas y combinando los resultados obtenidos siempre que se cumplan las siguientes condiciones: 1.- Cada efecto está linealmente relacionado con la carga que lo produce. 2.- La deformación que resulta de cualquier carga dada es pequeña y no afecta las condiciones de aplicación de las demás cargas. En el caso de cargas multiaxiales, la primera condición se satisface si los esfuerzos no exceden el límite de proporcionalidad del mate- rial, y la segunda también se cumple si el esfuerzo en cualquier cara no causa en las otras deformaciones suficientemente grandes para afectar el cálculo de los esfuerzos en esas caras.

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Aplicando el principio de superposición se tiene: Estas relaciones corresponden a la ley generalizada de Hooke para carga multiaxial.

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EJEMPLO: El bloque de acero mostrado en la figura está sometido a presión uniforme en todas sus caras. Sabiendo que el cambio de longitud de la arista AB es -1,2·10-3 pulg, halle: (a) el cambio de longitud de las otras dos aristas, (b) la presión p aplicada a las caras del bloque. Suponga que E = 29·106 psi y  = 0,29.

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(a) Cambio de longitud de las otras aristas. Sustituyendo x = y = z = - p en las ecuaciones de la ley generalizada de Hooke para carga multiaxial, se tiene que las tres componentes de la deformación son iguales: Como de donde se obtiene que

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(b) Presión. Resolviendo la ecuación anterior para p, se tiene:

DEFORMACION CORTANTE : 

DEFORMACION CORTANTE

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donde: xy = esfuerzo cortante, Pa o psi G = módulo de rigidez o módulo de cortante, Pa o psi xy = ángulo de deformación cortante, rad Ley de Hooke para esfuerzo cortante y deformación

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Para la condición más general de esfuerzo, y siempre que ninguno de los esfuerzos involucrados exceda el límite de proporcionalidad correspondiente, se puede aplicar el principio de superposición y combinar los resultados obtenidos recientemente con los para el caso de carga multiaxial:

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EJEMPLO: Se pega un bloque rectangular de material con módulo de rigidez G = 90 ksi a dos placas rígidas horizontales. La placa de abajo está fija mientras la de arriba se somete a una fuerza horizontal P. Si la placa superior se mueve 0,04 pulg bajo la acción desde la fuerza, halle: (a) la deformación cortante media del material, (b) la fuerza P ejercida sobre la placa superior.

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(a) deformación cortante:

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(b) Fuerza ejercida en la placa superior: Luego la fuerza ejercida sobre la placa superior es:

RELACION ENTRE E,  y G : 

RELACION ENTRE E,  y G

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Aplicando la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, obtenemos:

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Como m / 2 es un ángulo muy pequeño pero también Igualando y despejando m Como x << 1, el denominador de la expresión obtenida es igual a uno y entonces

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Para obtener una relación entre las constantes E,  y G, recuerdese que por la ley de Hooke, reemplazando recordando que

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así que se sigue que luego

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EJEMPLO: Un círculo de diámetro d = 9 pulg está inscrito en una placa de aluminio no esforzada, con espesor t = 3 / 4 pulg. Las fuerzas que actúan en el plano de la placa producen esfuerzos normales x = 12 ksi y z = 20 ksi. Para E = 10·106 psi y  = 1 / 3, halle el cambio de (a) la longitud del diámetro AB, (b) la longitud del diámetro CD y (c) el espesor de la placa.

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Ley de Hooke. Notese que y = 0. Luego la deformación en cada dirección es:

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a. Diámetro AB. El cambio en la longitud es B/A = xd. b. Diámetro CD. c. Espesor. Recordando que t = 3 / 4 pulg, se tiene

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