ID 0606 Ing Jaime Guerra Investigación de Operacio

Investigación de Operaciones II : 

Investigación de Operaciones II Jaime Guerra Saavedra jaimeguerras@mailer.urp.edu.pe jaimeguerras@hotmail.com (51 1) 999 425821 Sesión 02 2010 - 0

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David Kendall introdujo una notación de colas A/B/C en 1953. Con lo cual describía las colas y sus características. Desde entonces extendida desde 1971 a: a /b /c :(d /e /f). Viene a ser la descripción resumida de los principales parámetros de un modelo de cola con servicios en paralelo. Notación: (a /b /c):(d /e /f) a: Distribución de probabilidad de los tiempos entre arribos de los clientes en el sistema b: Distribución de probabilidad de los tiempos de servicios de los clientes en el sistema c: Número de servidores (s : servidor; s  1) d. Disciplina del servicio (FIFO /LIFO /…) e: Tamaño del sistema (N,) f: Tamaño de la fuente de entrada (n,+) Observación: Si el patrón estadístico de arribos es Poisson se denota por M Si el patrón estadístico del servicio es exponencial se denota por M Notación de Kendall

Modelos de Colas : 

Modelos de Colas Modelo I: (M/M/1):(FIFO/  / ) Modelo II:(M/M/S):(FIFO/  / ) Modelo III: (M/M/1):(FIFO/N/ ) Modelo VI: (M/M/S):(FIFO/N/ ) Modelo V: (M/M/ ):(FIFO/  / ) Modelo VI :(M/M/1):(FIFO/K/K) Modelo VII :(M/M/S):(FIFO/K/K) Modelo …

I MODELO DE COLA (M/M/1): (FIFO //) : 

I MODELO DE COLA (M/M/1): (FIFO //)

I MODELO DE COLA (M/M/1): (FIFO //) : 

I MODELO DE COLA (M/M/1): (FIFO //) Parámetros:

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Ecuaciones de Transición de estados:

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Hallando Po

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Hallando los parámetros Ls, Lq, Ws y Wq:

II MODELO DE COLA (M/M/s): (FIFO //) : 

II MODELO DE COLA (M/M/s): (FIFO //) Parámetros:

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Ecuaciones de Transición de estados:

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Hallando Pn

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Hallando Po

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Hallando los parámetros Ls, Lq, Ws y Wq:

EJEMPLO : 

EJEMPLO En la sala de emergencias de hospital. El director tiene las estadísticas de los casos de emergencia del turno de la tarde; donde, los pacientes llegan según una tasa 1 paciente cada media hora, estos arribos tienen un comportamiento Poisson. El tiempo que tarda un médico en tratar los casos sigue un comportamiento exponencial. Un médico requiere un promedio de 20 minutos para tratar a cada paciente. El director está considerando continuar con un solo médico o bien asignar un segundo médico ¿Qué sugiere usted?

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Parámetros: Diagrama de transición de estados:

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Ecuaciones de Transición de Estados:

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Hallando Po

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Hallando los parámetros Ls, Lq, Ws y Wq:

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Parámetros: Diagrama de transición de estados:

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Ecuaciones de Transición de Estados:

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Hallando Po

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Observación

Ejemplo : 

Ejemplo En una peluquería, con un solo peluquero, no se dan citas previas, sino que se atiende al primero que llega. Por su gran prestigio, los clientes generalmente tienen que esperar. Se observa que los clientes llegan según un proceso de Poisson, con razón media de llegadas de 8 clientes por hora. Se sabe también que el tiempo que el peluquero tarda en atender a los clientes se distribuye exponencialmente, con una media de 10 minutos por cliente. Si en la peluquería hay sólo 4 asientos para espera de atención y no se permite que ningún cliente tenga que esperar de pie, se pide: ¿Cuál es el número medio de clientes en la peluquería? El número medio de clientes esperando a ser atendidos ¿Cuál es numero esperado de clientes que se retira sin atención? ¿Qué porcentaje de tiempo está desocupado (ocioso) el peluquero?) ¿Qué probabilidad tiene un cliente de llegar a la peluquería y no tener que esperar para ser atendido? ¿Cuál es el tiempo medio que espera un cliente antes de ser atendido? Tiempo medio que los clientes permanecen en la peluquería

Solución : 

Solución (M/M/1):(FIFO/5/ )  = 8 Clientes/hora  = 1 cliente / 10 minutos  = 6 cliente/hora N = 5 Existe cola??

Ejemplo : 

Ejemplo Una clínica de oftalmología ofrece test de glaucoma gratis cada martes por la tarde y hay tres oftalmólogos en servicio. El tiempo de servicio es exponencial y cada test lleva una media de 20 minutos. Los clientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con media de 8 clientes por hora y el primer cliente en llegar es el primero en ser atendido. Si como máximo en la línea de espera puede haber 5 pacientes, la clínica espera saber: A. El número de personas que esperan en término medio B. El tiempo medio de permanencia de los clientes en la clínica C. Porcentaje de tiempo que está cada oftalmólogo desocupado (ocioso) D. Probabilidad de que algún (al menos un) oftalmólogo esté desocupado.

Solución : 

Solución

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A. El número de personas que esperan en término medio Lq = B. El tiempo medio de permanencia de los clientes en la clínica Ws = C. Probabilidad de tiempo que está cada oftalmólogo desocupado (ocioso) Po = Probabilidad de ocio de cada oftalmólogo D. Probabilidad de que algún (al menos un) oftalmólogo esté desocupado. Para que haya por lo menos 1 oftalmólogo desocupado, puede entonces el sistema estar: 1 desocupado  2 clientes en el sistema  P2 2 desocupados  1 cliente en el sistema  P1 3 desocupados  0 clientes en el sistema  P0 Entonces Px = P0 + P1 + P2

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Este modelo se aplica cuando el servidor es el mismo usuario (no hay cola). Ejemplo: Cursos virtual en línea. Parámetros: Diagrama de transición de estados:

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Ecuaciones de Transición de estados:

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Hallando Po

Ejemplo : 

Ejemplo Un inversionista invierte 1000 dólares al mes en títulos y valores. “Compra” en forma aleatoria. Conserva los títulos cerca de 3 años en promedio y vende en forma aleatoria. Aunque es hábil 25% de los títulos disminuyen cerca de 20% al año. El resto aumenta su valor a una tasa de 12% al año. Adaptación de Taha pág 650 - 651

Solución : 

Solución  = 12 títulos/año  = 1/3 títulos/año Ls =  = /  = 36 títulos

VI MODELO DE COLA (M/M/1): (LIFO-FIFO /K/K) : 

VI MODELO DE COLA (M/M/1): (LIFO-FIFO /K/K) El presente modelo de cola con sistema finita y fuente finita se aplica en los casos “de políticas de mantenimiento”, esto es, se tiene un conjunto de equipos o máquinas que deben ser reparados o brindar mantenimiento por un grupo de técnicos (en este caso el grupo de técnicos es = 1) Parámetros: Diagrama de transición de estados:

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Ecuaciones de Transición de Estados:

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Hallando Po (Por definición de función de probabilidad)

VII MODELO DE COLA (M/M/S): (LIFO-FIFO /K/K) : 

VII MODELO DE COLA (M/M/S): (LIFO-FIFO /K/K) Diagrama de transición de estados:

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Ecuaciones de Transición de Estados

Ejemplo : 

Ejemplo Tres mecánicos son los encargados del funcionamiento de 10 equipos industriales de un taller de manufactura. Las máquinas se descomponen por horas siguiendo una distribución Binomial, con una probabilidad de 0.3. Los tiempos de reparación de los mecánicos sigue una distribución exponencial con una media de 40, 45 y 50 minutos. Determine lo siguiente. ¿Cuál es la probabilidad que 7 del total de equipos estén en proceso de producción ? ¿Cuál será la probabilidad que el taller este funcionando cuando menos 70% de su capacidad instalada? ¿Cuándo dos equipos tendrán que esperar para ser atendidos? ¿Cuál es el porcentaje promedio de maquinas operativas? ¿Con cuántos mecánicos debe contar el taller para que una maquina sea atendida lo más pronto posible?

Solución : 

Solución K = 10 K = 10 N = 10

Ejemplo : 

Ejemplo La playa de estacionamiento de un restaurante cuenta con 10 espacios, los vehículos arriban según un comportamiento Poisson con una media de 10 por cada hora, los estacionamiento de los autos se comportan exponencialmente con una media de 12 minutos. Con esta información determine lo siguiente: La probabilidad que un cliente encuentre cuando menos un lugar. ¿Cuándo no ocurre una demora de estacionamiento de un vehículo? Halle la probabilidad de ser atendido de inmediato. ¿Cuál será la probabilidad que un cliente no pueda gozar del menú del restaurante?

Ejemplo : 

Ejemplo Una máquina está formada por tres componentes que funcionan independientemente. Cada componente necesita un reajuste para su correcto funcionamiento una vez cada cuatro días, en media. Este reajuste se lleva a cabo por un técnico que tarda, en media, medio día en poner a punto cada componente. Se supone que tanto los tiempos entre reajuste y tiempos de servicios son poisson y exponecial respectivamente. Obtener el factor de utilización del sistema. ¿Qué porcentaje de tiempo está el técnico sin trabajar? Calcular el número medio de componentes que está en el sistema de reparación Calcular el tiempo medio de cada componente espera a ser reparado.

Ejemplo : 

Ejemplo En la Oficina de Educación Continua de la URP, se ofrece un curso virtual de Investigación de Operaciones II. Las solicitudes son aceptadas en cualquier momento y el curso empieza inmediatamente. La llegada de nuevas solicitudes sigue una distribución de Poisson con una media de 8 cada mes. Se estima que el tiempo medio en que se acaba el curso es de 10 semanas (distribución exponencial). Por término medio, ¿cuántos alumnos hay matriculados en el curso en cualquier momento? ¿Cuál es el porcentaje de tiempo que el curso de IO no tiene alumnos?