Função afim e linear

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Aula sobre função afim e linear para turmas de 9o ano

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Componente Curricular - Matemática Ensino Fundamental, 9º Funções Afim e Linear

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Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear UMA BREVE INTRODUÇÃO A IDEIA DE FUNÇÃO Imagine a seguinte situação: Carla trabalha em uma fábrica de montagem de computadores. Para montar cada máquina, ela percebeu que eram gastos 12 minutos. De acordo com essa situação, foi construído a tabela a seguir: Quantidade de computadores (x) 1 2 3 4 5 6 7 Tempo em minutos (y) 12 24 36 48 60 72 84

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Podemos observar que a quantidade de computadores montados (x) esta relacionada com um único tempo em minutos (y), ou seja, a quantidade de computadores montados é determinada em função do tempo necessário para montá-los. Podemos escrever essa relação da seguinte maneira. Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Tempo Gasto = 12 . Quantidade de computadores Escrevendo a relação em função de x e y, teremos  

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UMA PEQUENA HISTÓRIA SOBRE FUNÇÃO Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Acredita-se que termo “função” tenha sido utilizado pela primeira vez por Leibniz(1646 – 1716), matemático alemão do século XVII – XVIII, em 1694, embora, com uma conotação bem diferente da que possuímos hoje. A ideia que temos atualmente de função relaciona-se a teoria dos conjuntos, desenvolvida a partir do século XIX. Muito outros matemáticos contribuíram para esse processo de desenvolvimento, como Isaac Newton (1642 – 1727), Leonard Euler ( 1707 – 1783), Joseph Fourier ( 1768 – 1830), entre outros.

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Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Imagem: Christoph Bernhard Francke   /   Portrait of Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton- Ulrich - Museum , Braunschwei g / Public Domain. Imagem: Sir Godfrey Keneller , c.   1689 / Public Domain. Imagem: Jakob Emanuel Handmann , 22 –12-2011 / Public Domain. Imagem: Jules Boilly   /   "Portraits et Histoire des Hommes Utiles,  Collection de  Cinquante Portraits," Societe Montyon et Franklin, 1839-1840, c . 1823 / Public Domain. Leibniz Isaac Newton Leonard Euler Joseph Fourier

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FUNÇÕES NO DIA-A-DIA Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Os números, e suas relações, estão sempre presentes no cotidiano das pessoas, seja para comparar preços, determinar o tamanho de um determinado terreno ou até para controlarmos os gastos pessoais. Algumas dessas relações podem ser descritas como funções.

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Exemplos Quantidade de um produto comprado em um supermercado, com o preço a ser pago; Número de viagens diárias nos ônibus de uma cidade, com o valor gasto para realizá-las; Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Imagem:   LunaMarkman / G1 / G1 PE / http://g1.globo.com/pernambuco/noticia/2011/12/no-recife-ainda-tem-gente-comprando-os-ingredientes-da-ceia.html Imagem: Euzivaldo Queiroz/A Crítica/AE / http://g1.globo.com/Noticias/Brasil/0,,MUL1126287-5598,00-MOTORISTAS+E+COBRADORES+FAZEM+PARALISACAO+EM+MANAUS.html

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Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Pedro, durante a semana , precisa utilizar o transporte público da cidade dele para ir ao trabalho. A passagem de ônibus da cidade é R$ 2,35. Ele então resolveu fazer uma tabela relacionando o número de viagens de ônibus e valor gasto para realizá-las. N o de viagens Valor gasto (R$) 1 2,35 2 4,70 3 7,05 4 9,40 5 11,75 6 14,10

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Definição de uma função afim Chamamos de função afim toda função cuja lei de formação pode ser indicada por , com e reais e , para todos . Exemplos:   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Representação gráfica de uma função afim Uma função pode ser representada em um plano cartesiano. Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear y -> eixo das ordenadas X -> eixo das abscissas 0 b a P( a,b ) -> par ordenado

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Resolvendo uma função afim Vamos resolver duas funções afim descritas anteriormente. Vejamos o que acontece quando atribuímos os valores a seguir. 3   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Construindo uma tabela e um gráfico com os valores encontrados temos: x y 1 3 3 7 4 9 Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Do mesmo modo que a função anterior, vamos atribuir alguns valores a para encontrarmos .   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Construindo agora uma tabela e o gráfico da função, temos: Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear x y 5 2 8 -1 10 -3

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Função Linear Uma função com lei de formação do tipo , com real e , é chamada de função linear . A função linear é um caso particular da função afim, pois equivale a , com e .   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Exemplo a)   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear x y 0 0 1 3 -2 -6 3 9

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b)   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear x y 0 0 2 -8 -3 12 4 -16

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Raiz ou zero de uma função afim A raiz ou zero de uma função afim é o valor de para o qual a função é igual a zero, ou seja, . Exemplo: Determinar o zero da função . Resposta: O zero da função é .   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Estudo do sinal de uma função afim O estudo do sinal de uma função afim corresponde a determinar para quais valores de : a) b) c) 1º caso: Função crescente ( ) Estudar o sinal da função . Resposta: Para analisar o sinal da função vamos utilizar os seguintes pontos: e .   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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  Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Análise gráfica da função Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Para:  

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2º caso: Função decrescente ( ) Estudar o sinal da função .   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Análise gráfica da função Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Para:  

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Função constante Uma função é dita constante quando . Esse também é um caso particular, pois ocorre quando na função temos . Gráfico de uma função constante O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo do plano cartesiano. Exemplo: Traçar o gráfico da função .   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Resposta:

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Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Para encerrar a apresentação vamos analisar um problema envolvendo uma função afim. Se houver alguma dúvida volte o conteúdo ou consulte o professor.

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Para esvaziar um reservatório que está com 30 mil litros de água, será utilizada uma bomba com capacidade de retirar 2 mil litros de água por hora. ( Livro “Vontade de Saber Matemática”, 9º ano, pág. 96, questão 31) Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear Imagem: jornalempresariall.com.br Data: 16/07/2013

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a) Escreva uma função que permita calcular a quantidade de água q no reservatório em função do tempo t de funcionamento da bomba. b) Após 5 horas de funcionamento da bomba, quantos litros restarão no reservatório?   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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c) Depois de quantas horas de funcionamento da bomba o reservatório estará com 6 000 L de água ?   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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d) Quantas horas serão necessárias para esvaziar o reservatório?   Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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e) Construa o gráfico da função que escrevemos no item a . Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Referências Matemática aula por aula / Claudio Xavier da Silva, Benigno Barreto Filho. – 2. ed. renov . – São Paulo : FTD, 2005. – (Coleção matemática aula por aula ). Matemática contextualizada: 9º ano: ensino fundamental / Ênio Silveira, Claúdio Marques – Recife: Ed. Construir, 2006. Vontade de Saber Matemática, 9º ano / Joamir Roberto de Souza, Patrícia Rosana Moreno Pataro . – 2.ed – São Paulo : FTD, 2012. Projeto Teláris : Matemática / Luiz Roberto Dante – 1. ed – São Paulo: Ática, 2012 – (Projeto Teláris : Matemática) Matemática, 9º ano Funções Afim e Linear

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Tabela de Imagens Slide Autoria / Licença Link da fonte Data de acesso 5 Imagem: Christoph Bernhard Francke   /   Portrait of Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton- Ulrich - Museum , Braunschwei g / Public Domain. http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg 07/12/2013 5 Imagem: Sir Godfrey Keneller , c.   1689 / Public Domain http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg 07/12/2013 5 Imagem: Jakob Emanuel Handmann , 22 –12-2011 / Public Domain http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Leonhard_Euler_2.jpg 07/12/2013 5 Imagem: Jules Boilly / "Portraits et Histoire des Hommes Utiles,  Collection de  Cinquante Portraits," Societe Montyon et Franklin, 1839-1840. ( http://web.mit.edu/2.51/www/fourier.jpg/c . 1823 / Public Domain http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Joseph_Fourier.jpg 07/12/2013 7 Imagem:   LunaMarkman / G1 / G1 PE / http://g1.globo.com/pernambuco/noticia/2011/12/no-recife-ainda-tem-gente-comprando-os-ingredientes-da-ceia.html http://s.glbimg.com/jo/g1/f/original/2011/12/24/supermercado.jpg 12/12/2013

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Slide Autoria / Licença Link da fonte Data de acesso 7 Imagem: Euzivaldo Queiroz/A Crítica/AE / http://g1.globo.com/Noticias/Brasil/0,,MUL1126287-5598,00-MOTORISTAS+E+COBRADORES+FAZEM+PARALISACAO+EM+MANAUS.html http://g1.globo.com/Noticias/Brasil/foto/0,,20758321-EX,00.jpg 08/12/2013 16 Imagem: jornalempresariall.com.br / http://jornalempresariall.com.br/gerais/guarapari-sera-beneficiada-novo-reservatorio-agua-tratamento-esgoto-ate-2014 / data: 16/07/2013 https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcR8KwpXbH4Uvfzfz8dC_Sr6ccrPI91WgZ5Q1jB3SoBUCg_q3RGvYw 10/12/2013 Tabela de Imagens

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