TEMA 2 CONSTRUCCIONES FUNDAMENTALES v3 23 10 19

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CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

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Elementos geométricos fundamentales PUNTO : Es el resultado de la intersección de dos líneas. Lo designamos con una letra mayúscula A,B,C,... Si el punto representa un origen, se denota por O. A B C LÍNEA : Es una sucesión de puntos. La designamos por una letra minúscula, r, s , t,.... Recta : Es una sucesión de puntos que se encuentran alineados en la misma dirección. Por un punto P pasan infinitas rectas. Por dos puntos A y B solamente pasa una recta. Curva : Es la sucesión de puntos que no se hallan en la misma dirección. Si forman parte de una circunferencia se llama Arco. r s

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SEMIRRECTA : Es una recta limitada por un extremo en un punto P. P r SEGMENTO : Si sobre una recta ubicamos dos puntos, A y B, definimos el segmento AB, y denotamos su longitud por AB A B AB PLANO : Tres puntos no alineados, o dos rectas que se cortan, definen un plano. Lo designamos con una letra del alfabeto griego : a b d r r s M F K b ÁNGULO : Es la parte o porción de plano limitada por dos semirrectas de origen común O. A las semirrectas las llamamos lados , y al origen lo llamamos Vértice del ángulo . Los ángulos se designan por su vértice D D a b

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1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos arcos de circunferencia. 2. Con centro en B y el mismo radio se trazan dos arcos de circunferencia. 3. La recta s que une los puntos D y E es la perpendicular al segmento por el punto medio C 1. Con centro en el punto A y radio arbitrario se traza un arco 2. Con centro en el punto B y el mismo radio se traza un arco 3. Con centro en el punto C y el mismo radio se traza un arco 4. Con centro en el punto D y el mismo radio se traza un arco 5. La recta s que une el punto E con el A es la perpendicular a r Trazado de la Mediatriz de un segmento Trazado de la Perpendicular a una semirrecta por su extremo Perpendicularidad (I)

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Perpendicularidad (II) 1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos arcos 2. Con centro en B y C y radio arbitrario se trazan sendos arcos 3. La recta s que une los puntos D y A es la perpendicular buscada 1. Con centro en A y radio arbitrario se traza un arco 2. Con centros en B y C y radio arbitrario se trazan sendos arcos 3. La recta s que une los puntos D y A es la perpendicular buscada Trazado de la Perpendicular a una recta por un punto de la misma Trazado de la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella

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Paralelismo 1. Se elige un punto B cualquiera de la recta r y se traza la semicircunferencia de centro B y radio BA 2. Con centro en D y radio CA se traza un arco 3. La recta s que une los puntos A y E es la paralela buscada Trazado de la Paralela a una recta por un punto 1. Se elige un punto cualquiera A de la recta r y se traza la perpendicular t a r 2. Sobre la recta t se traslada el segmento AE = l 3. La recta s que se traza por el punto E es la paralela buscada Trazado de la Paralela a una recta a una distancia dada

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TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES CON LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN

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OPERACIONES CON SEGMENTOS : SUMA Y RESTA

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PRODUCTO DE UN SEGMENTO POR UN NÚMERO ENTERO A B r A B D C X 3

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DISTANCIAS A B d P r Q d a b M N Distancia entre dos puntos Distancia de un punto a una recta d Distancia entre dos rectas paralelas

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Conceptos sobre proporcionalidad RAZON DE DOS SEGMENTOS : Es la relación entre dos números o segmentos. Nos permite comparar dos segmentos para saber cuantas veces contiene uno al otro. a b a b = k Se lee : “ a es a b ” A la razón se le denomina “k” PROPORCIÓN : Es la igualdad de dos razones a = b c d c d Se lee : “ a es a b ” como “ c es a d ” MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES : Son las que aumentan o disminuyen guardando la misma relación. a y b y c y d lo son. “Su cociente es constante” Ejemplo MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES : Son las que cuando una disminuya, aumente la otra en la misma proporción. a y d y c y b lo son. “Su producto es constante” 15 = 10 9 6 15 . 6 = 9. 10 a d b c

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TEOREMA DE TALES M P Q R P´ Q´ R´ MP = MP´ PQ = P´Q´ QR Q´R´ MP = MP´ MQ = MQ´ MR MR´ c a Tales de Mileto . Matemático y filósofo griego ( 628 a.C. – 548 a.C.) Considerado el fundador de las matemáticas griegas, y uno de los siete sabios de Grecia, la tradición le atribuye el descubrimiento de algunos teoremas geométricos, así como la previsión del eclipse solar del año 585 a.C. b d e Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas (c, d, e,..) interceptadas por dos rectas oblicuas (a,b) , son directamente proporcionales.

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División de un segmento en partes iguales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se llevan tantos segmentos iguales , de longitud arbitraria, como número de partes se quiera dividir el segmento 3. Se traza la recta t uniendo el último punto con el extremo B del segmento dado 4. Se trazan paralelas a t por los puntos 1, 2, 3, ... de la recta s. A B m AB 5 = n 1 A 1 5 n

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División de un segmento en partes proporcionales 1. Por uno de los extremos A se traza una recta cualquiera s 2. Sobre la recta s se van llevando cada uno de los segmentos CD, EF, GH e IJ 3. Se une el último punto J con el otro extremo B mediante la recta t. 4. Se trazan paralelas a t por los puntos E, G e I A B m p q o r o p q r = = AK o KL p LM q = MB r

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Problemas de proporcionalidad a = b c x Cuarta Proporcional : Nos darán tres segmentos, a, b y c , y nos piden obtener otro segmento x , que sea Cuarto proporcional con los otros tres a b c ¿x? a = b b x Tercera Proporcional : Nos darán dos segmentos, a y b y nos piden obtener otro segmento x , que sea Tercero proporcional con los otros dos a b ¿x? a = x x b Media Proporcional : Nos darán dos segmentos, a y b , y nos piden obtener otro segmento x , que sea Medio proporcional con los otros dos a b ¿x?

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Cuarta proporcional 1. Se trazan dos rectas r y s cualesquiera que se corten 2. A partir del punto A se lleva AB sobre la recta r y CD sobre la recta s 3. Sobre la recta r y a continuación del segmento AB se traslada EF 4. Por el punto F se traza la recta paralela a BD 5. El segmento DG es al cuarta proporcional a = b c x X es cuarto proporcional con a , b y c x

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Tercera proporcional 1. Se trazan dos rectas r y s que se corten 2. A partir del punto A se lleva AB sobre r y CD sobre s 3. Con centro en A y radio AD se describe un arco 4. Por el punto E se traza la paralela a BD 5. El segmento AF es la tercera proporcional a = b b x X es tercero proporcional con a y b x

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1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento AC y a continuación el segmento unidad CD 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados 1. Se trazan dos rectas cualesquiera r y s que se cortan en A 2. Sobre la recta r se traslada el segmento AB y sobre la otra el segmento unidad AC y a continuación el segmento CD 3. Por el punto D se traza paralela a BC hasta cortar a r en el punto E 4. El segmento BE es el producto de los segmentos dados Producto entre dos segmentos División entre segmentos E 1 C B D C D A B C B E r A s 1 D A C A B A r s Producto y división entre dos segmentos x AB = 1 x CD AB = AC x 1 x

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Cuadrado de un segmento s a 1 a x a 1 a = 1 x a r O

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Teorema del cateto c b A B C m a En el triángulo rectángulo de la figura, un cateto c es MEDIO PROPORCIONAL entre la hipotenusa a y la proyección m del cateto sobre ella a = c c m c a m = c b a c m

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Teorema de la altura n b C m a h En el triángulo rectángulo de la figura, la altura sobre la hipotenusa h es MEDIO PROPORCIONAL entre las dos partes m y n en que la altura divide a la hipotenusa n = h h m h n m = c A B n b h m h

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Media proporcional (I) 1. Sobre una recta se trasladan los segmentos dados 2. Se traza el punto medio E del segmento AD y la semicircunferencia de radio EA 3. La perpendicular trazada por B a la recta r corta a la circunferencia en el punto F 4. El segmento BF es la media proporcional a los segmentos dados. a = x x b Vamos a resolverlo utilizando el teorema de la altura x

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Media proporcional (II) 1. Sobre una recta se trasladan los segmentos dados, pero desde el mismo origen C. 2. Se traza el punto medio E del segmento CX y la semicircunferencia de radio EC 3. La perpendicular trazada por B a la recta r corta a la circunferencia en el punto A 4. El segmento CA es la media proporcional a los segmentos dados. a = x x b Vamos a resolverlo utilizando el teorema del cateto x A X C a b b a E B

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Dado un segmento, hallar su raíz cuadrada 1. Sobre una recta se toma el segmento AB y a continuación el segmento unidad BC 2. Hallamos D, punto medio del segmento AC y trazamos semicircunferencia de diámetro AC 3. La perpendicular al diámetro por el punto B corta a la semicircunferencia en el punto E 4. El segmento BE es la raíz cuadrada del segmento AB D A B C 1 E m = x x 1 x m . 1 = A B m x

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G C A B D 2m H I C F J m K Números irracionales 2 m 2 m 3 m E 4 m 3 m 5 m 5 m 6 m 6 m A B

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A B Determinar gráficamente el segmento s / 7 , siendo s= 30 mm

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ÁNGULOS Dos segmentos situados en un plano con el mismo origen determinan dos regiones llamadas ángulos . Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice Al ángulo A se le llama ángulo convexo : Es el que mide menos de p radianes. Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales , mientras que el ángulo B es cóncavo : Es el que mide más de p radianes y menos de 2 p radianes . Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales. a b A O B convexo

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Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal , que consiste en 1/360 del ángulo completo . La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo º. Por ejemplo, un ángulo de 56º. Un ángulo recto tiene 90º. Los ángulos agudos tienen menos de 90º y los obtusos más de 90º, pero menos de 180º. Si la medida de un ángulo es a , su complementario será 90º -  a , y su suplementario 180º -  a . El grado sexagesimal tiene submúltiplos: el minuto, 1/60 de grado, y el segundo, 1/60 de minuto, es decir, 1/3.600 de grado . El minuto se designa  ′ y el segundo  ′′ . De tal modo que la medida de un ángulo en grados, minutos y segundos sería, por ejemplo, 84º 17′ 43′′. El grado centesimal es una centésima de ángulo recto . Sus submúltiplos son el minuto centesimal (una centésima de grado) y el segundo centesimal (una centésima de segundo). Un ángulo dado en grados, minutos y segundos centesimales se expresaría así: 96g 34m 85s. Estas unidades de medida están prácticamente en desuso.

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El radián (rad) es un ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio con el que ha sido trazado . Su relación con el grado sexagesimal es la siguiente: 180º  =  p   rad. Es decir, 1 rad equivale aproximadamente a 57º 17′ 45′′. Esta unidad de medida de ángulos se utiliza en matemáticas avanzadas. En el ejército se utiliza la milésima artillera , que es 1/1.600 de ángulo recto y, aproximadamente, una milésima de radián .

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180º< AOB <360º 0º < AOB <180º A A B B Definiciones de ángulos

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Dos ángulos agudos cuyos lados son paralelos son iguales Dos ángulos agudos cuyos lados son perpendiculares son iguales r s A r' s' A' A s r s' r' A'

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Construcción de un ángulo igual a otro 1. Sobre una recta r se toma un punto B arbitrario 2. Con centros en A y B, y radio arbitrario, se trazan dos arcos 3. Con centro en E y radio CD se describe un arco 4. La recta s que une los puntos B y F forma con r el ángulo buscado

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Trazado de la bisectriz de un ángulo 1. Se traza un arco de centro A y radio arbitrario 2. Se trazan dos arcos de igual radio arbitrario 3. La recta que une A y D es la bisectriz del ángulo 1. Se traza una recta arbitraria que corte a r y s 2. Se trazan las bisectrices de los ángulos que se forman 3. La recta que une C y D es la bisectriz del ángulo Si el vértice no es accesible… La bisectriz de un ángulo es una recta cuyos puntos equidistan de los lados del ángulo. Divide a este en dos partes iguales.

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1. Sobre una recta r se toma un punto C arbitrario 2. Con centros en A, B y C, y radio arbitrario, se trazan arcos iguales 3. Con centro en H y radio DE se describe un arco Suma y diferencia de ángulos La recta s que une los puntos C y J forma con r el ángulo buscado Suma : Con centro en I y radio FG se describe otro arco en el mismo sentido Diferencia : Con centro en I y radio FG se describe otro arco en sentido contrario al anterior

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Trazado de rectas concurrentes que se cortan fuera del dibujo 1. Se traza una recta cualquiera que corte a r y s. Los puntos B y C de intersección se unen con P definiendo un triángulo 2. Se traza otra recta arbitraria paralela a BC obteniendo E y F como puntos de intersección 3. Se trazan por dichos puntos rectas paralelas a los lados del triángulo BCP obteniendo D como intersección 1. Con centro el vértice A se traza arco de radio arbitrario obteniendo los puntos B y C 2. Con el mismo radio se trazan arcos con centros B y C obteniendo los puntos D y E 3. Las rectas AD y AE dividen al ángulo recto en tres partes iguales r E F C B D t s P 4. La recta PD es la solución A B E s C r D División del ángulo recto en tres partes iguales

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60 º O A B Con centro en O y en A se trazan arcos de igual radio, que se cortan en B Uniendo O con A y B obtenemos el ángulo de 60º Construcción de 60º Trazando la bisectriz obtenemos el ángulo de 30º Construcción de 30º O A B 30 º 30 º O A B Construcción de 15 º 15 º Trazando de nuevo la bisectriz obtenemos el ángulo de 15º CONSTRUCCION DE ÁNGULOS

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45º O A B Trazaremos previamente un ángulo de 90º Dibujando la bisectriz del ángulo de 90º, obtendremos el de 45 º Construcción de 45º 45º O A B Construyendo la bisectriz del ángulo de 45º, obtenemos el de 22º 30 ´ Construcción de 22º 30´ 22º 30 ´ En primer lugar trazaremos un ángulo de 90º Construcción de 75 º O A B C 60° 75° A continuación dibujamos a partir de A, el ángulo de 60º. El ángulo restante será de 30º. Si hacemos la bisectriz, nos resultará un ángulo de 15º, que sumados a los 60º anteriores, nos da el de 75º

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O A B C 60° 75° 3 7 ° 30´ Partimos del ángulo de 75º construido anteriormente Dibujando la bisectriz del ángulo de 75º, obtendremos el de 37º 30´ Construcción de 37º 30´ Partimos del ángulo de 75º construido anteriormente Como 105º es igual a la suma de 90º + 15 º, llevamos la cuerda BD =BE, sobre la prolongación del arco AB trazado anteriormente Construcción de 105º Es la suma de dos ángulos de 60º También podríamos haber restado 60º a 180º, es decir, construiríamos 60º en el lado opuesto al deseado. Construcción de 120º O A B C 60° 75° D E 105° O A 120° B C D

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Construiremos el ángulo de 180º y el de 90 º La bisectriz de uno de los ángulos de 90º, nos proporciona otro de 45º, que sumado a los 90º anteriores nos proporciona 135º Construcción de 135º O A B 90º C 135° D 150° 30° 45° 135° Construcción de ángulos con la escuadra y el cartabón Construcción de 30º y 150º Construcción de 45º y 135º

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120° 60° 105° 75° Construcción de 60º y 120 º Construcción de 75º y 105 º 15° Construcción de 15º

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Ángulos mixtilíneos y curvilíneos 1. Por un punto B se traza la perpendicular a r, se llevan magnitudes iguales y se trazan paralelas 2. Por un punto C se traza el radio, se llevan magnitudes iguales a las anteriores y se trazan arcos concéntricos 3. La bisectriz es la curva que une los puntos de intersección correspondientes 1. Por un punto B se traza el radio, se llevan magnitudes iguales y se trazan arcos concéntricos 2. Por un punto C se traza el radio, se llevan magnitudes iguales a las anteriores y se trazan arcos concéntricos 3. La bisectriz es la curva que une los puntos de intersección correspondientes Un ángulo rectilíneo esta formado por dos líneas rectas. Un ángulo curvilíneo está formado por dos líneas curvas: por ejemplo dos arcos de circunferencia. Un ángulo mixtilíneo es el formado por una línea recta y una línea curva Bisectrices de estos ángulos

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La circunferencia. Líneas y puntos . • Radio : segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. • Cuerda : segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. • Diámetro : segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro. Un diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia. • Ángulo central : es el formado por dos radios, su vértice se encuentra en el centro de la circunferencia ( a ) • Arco de circunferencia : parte de una circunferencia limitada por dos puntos. Si el ángulo central del arco mide 180° se llama semicircunferencia y si mide 90° cuadrante . El ángulo central de la circunferencia mide 360° sexagesimales. ■ Flecha de un arco : es el trozo de radio, perpendicular a la la cuerda que une sus extremos, comprendido entre esta y el arco . Es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro fijo llamado centro.

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Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Sea R el radio de la circunferencia y d la distancia del centro a la recta. • Recta exterior : no tienen ningún punto común (d>R). • Recta tangente : tienen un punto común, llamado de tangencia (d=R). • Recta secante : tienen dos puntos comunes (d<R). O t T tangente d=R Exterior e d > R s Secante d < R R

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O1 P O2 O3 O4 Por un punto P pasan infinitas circunferencias. Sus centros están situados a una distancia de P igual al radio de la circunferencia. A B O2 O1 O3 Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias, pero sus centros están situados sobre la mediatriz del segmento AB

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A B C O Circunferencia que pasa por tres puntos Solamente hay que tener en cuenta que el centro de la circunferencia que buscamos, es un punto que equidista de los tres dados. Por lo tanto habrá que buscar en las mediatrices de los puntos dados, el centro O buscado. O A B C D E r t Trazar una recta tangente a una circunferencia dada, en un punto T T

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Recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior C P T T M

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A B P a+ d = 180 f + f + d = 180 a+ d = f + f + d a = 2 f f = a / 2 O ANGULO INSCRITO A B P O f = a / 2 ANGULO SEMIINSCRITO El vértice es un punto de la circunferencia, un lado es una cuerda y el otro tangente P A a b r s O f a r b s f = a / 2 a f = a / 2

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ANGULO INTERIOR El vértice es un punto interior de la circunferencia, y los lados dos cuerdas. a O D C P A B f d e g b Pero g = b / 2 y e = a / 2 Luego f = ( a + b ) / 2 f + d = 180º y g + e + d = 180 º + d = g + e + d f = g + e

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ANGULO EXTERIOR El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados secantes A B C D P g d a O f e b + d = 180 º y e + d + f = 180º g + d = e + d + f g = e + f f = g - e Pero g = a / 2 y e = b / 2 Luego f = ( a – b ) / 2

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ANGULO CIRCUNSCRITO El vértice es un punto exterior de la circunferencia y los lados tangentes Pero a = 360º - b Luego f = (360º - b ) – b 2 = 180º - b

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Arco capaz Definición: lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve un segmento bajo un ángulo dado 1. Se traza la mediatriz del segmento AB 2. Por A se traza un ángulo a 4. También hay otra solución, la que tiene por centro el punto simétrico de O 1 respecto del segmento AB. 5. Los puntos O 1 y O 2 son los centros de los arcos capaces 3. Se traza la perpendicular en A, y se obtiene el centro del arco buscado O1 a A B O1 O2 a A B

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Potencia de un punto respecto de una circunferencia Potencia de un punto Potencia del punto P respecto de la circunferencia de centro O es el producto de las distancias de P a los dos puntos de intersección de una recta secante POTENCIA DE P RESPECTO DE LA CIRCUNFERENCIA O = PA x PB P B C P A D P C B PA = PC PD PB PA x PB = PC x PD = Cte 2 También: PA x PB = PC X PD = PE X PE = PE = k Luego : PE = k Se indica Pot P(O) = PA x PB = K (Cte)

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Potencia Positiva y Negativa P A B O T O P B C D A Pot P (O) = PA x PB = PT = k 2 Pot P (O) = PA x PB = PC x PD Potencia positiva Potencia negativa

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Eje radical Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas Necesitamos buscar un punto M tal que : Pot M(O1) = MA x MB = Pot M (O2) = MC x MD EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS

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Eje radical de dos circunferencias: Si son secantes C D E F Pot M(O1) = MC x MD = MA x MB Pot M(O2) = ME x MF = MA x MB M tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias dadas, por lo tanto pertenece a su eje radical T1 T2 Se cumplirá también que MT1 = MT2 El eje radical se determina uniendo los dos puntos A y B de intersección de ambas circunferencias M

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O3 O1 O2 Obtener el eje radical de las circunferencias dadas B A e radical O1 O2 Y ahora, dibujar una circunferencia coaxial con ellas . (Circunferencias coaxiales son las que comparten el mismo eje radical. M T1 T1 T2 T2 T3 T3 Si M está en el eje radical, : Luego, MT1 = MT2 Y también MT1 = MT2 = MT3 Pot M(O1) = (MT1) 2 Pot M(O2) = (MT2) 2

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Eje radical de dos circunferencias si son tangentes Por lo tanto se determina trazando la recta tangente común a ambas circunferencias M P Q N L Pot M(O1) = ML x MN = MA 2 Pot M(O2) = MP x MQ = MA 2 Luego, M pertenece al eje radical de las circunferencias O1 y O2 T1 T2 Y MT1 = MT2 = MA Ejercicio para clase: Obtener el eje radical de 2 circunferencias tangentes exteriores o interiores, y dibujar tres circunferencias coaxiales con las dadas

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Eje radical de dos circunferencias si son exteriores 1. Se dibuja una circunferencia auxiliar secante con las anteriores 2. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O 1 3. Se halla el eje radical de las circunferencias de centro O y O 2 4. Por el punto E se traza la perpendicular al segmento O 1 O 2 Eje radical O-O1 M N Pot E (O1)= EM x EN = EA x EB P Q Eje radical O-O2 Pot E (O2) = EP x EQ = EC x ED Pero, EA X EB = EC X ED Luego: EM x EN = EP x EQ Y E pertenecerá al eje radical de O1 y O2 T1 T1 T2 T2 Además ET1 = ET2

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O1 O 2 O A B eje radical O - O1 C D eje radical O - O2 eje radical O1 - O2 E T1 T1 T2 T2 T3 O3 Ejercicio : Obtener el eje radical de las circunferencias dadas O1 y O2 ET1 = ET2 Buscamos un punto T3 tal que ET1 = ET2 = ET3 Obtener una circunferencia coaxial con las dadas

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O 2 O 3 O 1 er O 2 O 4 er O 1 O 4 A B C D O 4 P er O 1 O 2 er O 2 O 3 Cr Dadas tres circunferencias: R 1 = 13mm R 2= 44mm R 3 = 18mm O 1 O 2 = 63mm O 1 O 3 = 71mm O 2 O 3 = 26mm Determinar el eje radical O1 O2 y el eje radical O2 O3 T El punto de corte de ambos ejes radicales, tiene la misma potencia respecto de las 3 circunferencias dadas. Se llama Centro Radical Cr La potencia del Cr respecto de las circunferencias dadas es k Siendo = C r T

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Centro radical de tres circunferencias Dadas tres circunferencias 1. Se halla el eje radical e 12 de las circunferencias de centro O 1 y O 2 , mediante una circunferencia auxiliar ( no dibujada) 2. Se halla el eje radical e 23 de las circunferencias de centro O 2 y O 3 , mediante una circunferencia auxiliar ( no dibujada) 3. El centro radical Cr se localiza en la intersección de los ejes radicales hallados O 3 1 O e 23 O 2 e 12 El Centro Radical de 3 circunferencias es un punto que tiene la misma potencia respecto de las 3 circunferencias. T1 T1 T2 T2 T3 T3 Por lo tanto: CrT 1 = CrT 2 = CrT 3 C r

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O1 O2 Determinar los puntos del plano desde los que se observan las circunferencias dadas bajo un ángulo de 45º O r Dadas una circunferencia de centro O y una recta r, hallar los puntos P y Q de r que tengan una potencia de 9 cm 2 respecto de la circunferencia. O1 O2 Dadas dos circunferencias de centros O1 y O2, hallar las circunferencias de 36 mm de radio, coaxiales con las dadas. Datos: Distancia O1 O2 = 20mm R1=47mm R2=16mm

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