2 3 1 A HOMOLOGIA Y AFINIDAD SEGUNDO (LA PUESTA EN MOODLE)

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TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS: HOMOLOGÍA y AFINIDAD

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INTRODUCCIÓN El conjunto de rectas o rayos del espacio que pasan por un punto C (centro de proyección) se denomina radiación de rectas. Proyectar un punto sobre un plano es trazar una recta que, con origen en el centro de proyección y pasando por el punto, llegue hasta el plano. Proyectar una figura supone proyectar cada uno de sus vértices y aristas. Si el centro de proyección es propio, la proyección se denomina central o cónica. Si el centro de proyección es impropio, los rayos son paralelos, y la proyección se denomina cilíndrica o paralela. PROYECCIÓN CENTRAL Ó CÓNICA PROYECCIÓN CILÍNDRICA O PARALELA

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Un caso particular de la proyección cilíndrica es la ortogonal, en la cual los rayos son perpendiculares al plano de proyección: ORTOGONAL Las vistas llamadas perspectivas son en realidad proyecciones de figuras tridimensionales sobre un plano que es papel. Dependiendo de donde se tome el centro de proyección se obtendrá una perspectiva de diferente tipo.

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HOMOLOGÍA EN EL ESPACIO Si suponemos una proyección cónica y una serie de rayos que parten desde un centro de proyección V (radiación), al cortar ésta por un plano a se obtiene una figura ABC. Si cortamos por un segundo plano b, obtenemos una figura A´B´C´que guarda relación de Homología con la primera. La Homología es una relación geométrica espacial que relaciona figuras planas mediante las siguiente propiedades: Los puntos homólogos están alineados con un fijo V llamado centro de la homología (el centro de proyección). A, A´ y V alineados B, B´y V alineados Las rectas homólogas se cortan en un punto de una recta fija llamada eje de la homología. Esta recta es la intersección de los dos planos que contienen a las figuras homólogas. r y r´ se cortan en el eje s y s´ se cortan en el eje

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En la figura se observa una homología espacial (vista de perfil, para que se distingan mejor sus elementos característicos): Elementos de la Homología V es el centro de la Homología. e es el eje de la Homología (en la figura aparece como un punto) : Es la recta intersección de los dos planos a y b, en los que están las dos figuras homológas.

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El plano g , paralelo al plano b, que pasa por V corta al plano a en la recta L. Los puntos homólogos de esta recta están en el infinito, por lo que se la denomina como recta límite. El plano d, paralelo al plano a, que pasa por V corta al plano b en la recta K. Los puntos homólogos de esta recta también son impropios ( se encuentran en el infinto), por lo que también es una recta límite.

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Insistiremos un poco más: L es la recta del plano a cuyos homólogos son impropios (se encuentran en el infinito), y K es la recta del plano b cuyos homólogos están en el infinito, por lo que a ambas se les llama rectas límites (ambas aparecen como un punto en la figura). A las rectas límites también se les identifica como RL1 y RL2.

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Casos particulares de la Homología en el espacio Según el tipo de proyección (central o paralela) y la posición de los planos que contienen a una figura y su imagen –homóloga- (secantes o paralelos), una homología en el espacio puede presentar los siguientes casos: Caso general: Los planos que contienen ambas figuras a y b se cortan (el eje es propio) El centro de la homología V es propio Las rectas límites son propias Estamos ante una HOMOLOGÍA

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Segundo caso: Los planos que contienen ambas figuras a y b se cortan (el eje es propio). El centro de la homología V es impropio (en el infinito) Las rectas límites son impropias Estamos ante una AFINIDAD

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Tercer caso: Los planos que contienen ambas figuras a y b no se cortan (son paralelos y el eje es impropio). El centro de la homología V es propio Las rectas límites son impropias Estamos ante una HOMOTECIA ESPACIAL

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Cuarto caso: Los planos que contienen ambas figuras a y b no se cortan (son paralelos y el eje es impropio). El centro de la homología V es impropio Las rectas límites son impropias Estamos ante una TRASLACIÓN ESPACIAL

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Quinto caso: Los planos que contienen ambas figuras a y b no se cortan (son paralelos y el eje es impropio). El centro de la homología V es propio y se encuentra entre ambos planos Las rectas límites son impropias Estamos ante una SIMETRÍA CENTRAL ESPACIAL

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Homología Plana. De la homología en el espacio a la homología en el plano Mediante una proyección sobre el plano del dibujo, dos figuras homólogas en el espacio, situadas en dos planos a y b, pueden pasar a ser figuras homólogas en un mismo plano: plano del papel

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El plano a contiene a la figura F1.El plano b contiene a la figura F2 . El eje de la homología es e . Las rectas límites son RL1 y RL2. Definimos una proyección cilíndrica sobre nuestro plano de dibujo, según la dirección especificada. Según esa proyección, obtenemos sobre el plano los diferentes elementos proyectados: Figuras F1 y F2, rectas límites RL1 y RL2, eje e y centro de homología V. Los elementos proyectados siguen cumpliendo las propiedades de la homología: Los vértices de las figuras F1 y F2 están alineados con V y sus aristas se cortan en un punto del eje e. t t´

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Homología Plana Visto lo anterior, definimos la Homología plana como la transformación geométrica plana biunívoca que relaciona figuras homólogas en un mismo plano mediante las siguientes propiedades: r´ Los puntos homólogos están alineados con un punto fijo V, llamado centro de la homología. Las rectas homólogas se cortan en un punto de una recta fija e, llamada eje de la homología. Los puntos del eje e son dobles, es decir coinciden los puntos con sus homólogos. Las rectas que pasan por V también son dobles.

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Las definiciones de rectas límites son las mismas que en la homología espacial: Las rectas límites son los lugares geométricos de los puntos cuyos homólogos son impropios (están en el infinito): La Recta Límite RL es el lugar geométrico de puntos de la figura inicial, cuyos homólogos están en el infinito. La Recta Límite RL´ es el lugar geométrico de puntos de la figura final que son homólogos de puntos del infinito Los elementos identificativos de la homología plana son los mismos que los de la homología espacial: El centro de la homología V El eje de la homología e Las rectas límites RL y RL´ D

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Para encontrar las rectas límites, conociendo el centro V , el eje e y un par de puntos homólogos A y A´, actuamos de la siguiente forma: Trazamos una recta cualquiera r que pase por A, y su homóloga r´ que pasará por A´, debiendo cortarse ambas en el eje e. Para obtener RL, debemos obtener el homólogo de P´ que se encuentra en r´. Su homólogo deberá encontrarse en r y además alineado con V. De esta forma obtenemos P. Por este punto trazaremos RL, paralela al eje e. Para obtener RL´, debemos obtener el homólogo de F que se encuentra en r. Su homólogo deberá encontrarse en r´ y además alineado con V. De esta forma obtenemos F´. Por este punto trazaremos RL´, paralela al eje e.

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En la figura, podemos observar que la distancia d desde el centro de homología V hasta la primera recta límite RL es la misma que desde la segunda recta límite RL´ al eje e. Además, se cumple que o bien ambas rectas límites son interiores a la distancia V-Eje o ambas son exteriores o incluso pueden coincidir. En este caso, la homología se llama INVOLUTIVA

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Datos que determinan una HOMOLOGÍA. CASOS Una Homología queda definida por tres datos, elegidos entre eje e, centro de homología V, rectas límites RL y RL´, parejas de puntos homólogos y dirección del eje. A continuación presentamos algunos ejemplos: a) Eje e, Centro V y una pareja de puntos homólogos A y A´

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b1) Eje e, Centro V y una recta límite RL b2) Eje e, Centro V y una recta límite RL´

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c1) Eje e, una recta límite RL y una pareja de puntos homólogos A y A´ c2) Eje e, una recta límite RL´ y una pareja de puntos homólogos A y A´

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d) Dos parejas de puntos homólogos A A´ y B B´ y la dirección del eje e) El Centro de homología V, y las dos rectas límites RL y RL´

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En la homología definida por el Centro V, el eje e y la Recta Límite RL, obtener el homólogo del punto A dado. B El homólogo del punto A es A´. ¿Cuál será el homólogo del punto B, que coincide con la posición de A´ ? En efecto, aunque el homólogo del punto A, A´ coincidía con B, el punto B´ (homólogo del B) no coincide con A. Eso solamente pasa si las dos Rectas Límites coinciden. Recordamos que en ese caso la homología se llama involutiva.

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B B´ En la homología definida por el Centro V, el eje e y la Recta Límite RL, obtener el homólogo del punto A dado. El homólogo del punto A, es A´ , y el homólogo de B es B´ . Los homólogos de ambas figuras coinciden. Las dos Rectas Límites coinciden. Se trata de una homología involutiva.

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En la homología definida por el Centro V, el eje e y la Recta Límite RL, obtener el homólogo del triángulo ABC Si una figura tiene un punto en su Recta Límite, su homóloga es una figura abierta, con un punto impropio = C´

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En la homología definida por el Centro V, el eje e y la Recta Límite RL, obtener el homólogo del rectángulo ABCD D´ A´ C´ B´ Si una recta es paralela al eje, su homóloga también lo es.

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En la homología definida por el Centro V, el eje e y la Recta Límite RL, obtener las rectas homólogas de las rectas r, s y t. En la homología definida por el Centro V, el eje e y la Recta Límite RL´ , obtener las rectas homólogas de las rectas m´, n´ y f´. r´ s´ t´ Si un grupo de rectas se corta en el mismo punto de su Recta Límite, sus homólogas son paralelas.

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En la homología definida por el Centro V, el eje e y la Recta Límite RL, obtener el homólogo del rectángulo ABCD A´ Si una figura atraviesa su propia RL, su homóloga quedará dividida en dos partes.

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Homología y Afinidad TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA ELIPSE MÉTODO 1 : Por puntos A B D C P Q D´ C´ A´ B´ 1 2 3 4 5 6 7 8

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Homología y Afinidad TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA ELIPSE MÉTODO 2 : OBTENIENDO UNA PAREJA DE DIÁMETROS CONJUGADOS P Q M N M´ N´ L J L´ J´ U´

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Homología y Afinidad TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA ELIPSE MÉTODO 3 : OBTENIENDO SUS EJES PRINCIPALES. M N P´ D E E´ D´ F F´ G´ S T V G

Homología y Afinidad: 

Homología y Afinidad V RL eje de homología C G t1 t2 t´1 t´2 A B A´ B´ P´ P m´ m Z t3 t4 t´3 t´4 E´ D´ n´ n TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA ELIPSE MÉTODO 2 : OBTENIENDO UNA PAREJA DE DIÁMETROS CONJUGADOS M N J K D E Homología y Afinidad

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Homología y Afinidad TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA HIPÉRBOLA Método 1 : Por puntos

Homología y Afinidad: 

Homología y Afinidad F E´ RL P D C a A a´ b e E B V P´ e´ b´ eje de homología D´ TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA HIPÉRBOLA Método 2 : Obteniendo sus ejes principales F a c b Homología y Afinidad

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TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA PARÁBOLA Método 1: Por puntos Homología y Afinidad A

Homología y Afinidad: 

Homología y Afinidad eje de la parábola d t´ F V RL eje de homología C V´ V P Q t P´ Q e´ e Q´Q a b a´ b´ TRANSFORMACIÓN HOMOLÓGICA DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA PARÁBOLA Método 2: Obteniendo el Foco, eje y directriz. Homología y Afinidad

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Afinidad La Afinidad es una transformación geométrica plana, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan afines, y cumplen las siguientes condiciones: La recta que une dos puntos afines siempre es paralela a una dirección dada, la dirección de la afinidad. Dos rectas afines se cortan siempre en un punto de una recta fija llamada eje de la afinidad. Los puntos del eje e son dobles, es decir, coinciden los puntos con sus afines. Las rectas paralelas a la dirección de afinidad también son dobles. En la afinidad no hay Rectas Límites puesto que no hay puntos propios cuyos afines se encuentren en el infinito.

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Afinidad de un punto Si la dirección de afinidad es perpendicular al eje de afinidad estamos ante una Afinidad ortogonal e M N Si k<1 las dos figuras quedan situadas una a cada lado del eje de afinidad. Si k>1, las dos figuras quedan situadas a un mismo lado del eje de afinidad. Si k= -1 las dos figuras son simétricas respecto del eje de afinidad. Si k= 1 las dos figuras son idénticas

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Rectas paralelas al eje Dados e, A y A´ obtener la figura afín del rectángulo ABCD. Los segmentos originales y sus afines guardan una proporción. Por ejemplo, el punto medio M de un segmento tiene por afín el punto medio M´ del segmento afín. Si una recta es paralela al eje de afinidad, su afín también lo es

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Ejercicio: Dado el pentágono regular ABCDE, obtener su afín conociendo el eje de afinidad e, y un par de puntos afines A y A´. B´ C´ D´ t 1 = 1´ 2 = 2´ 3 = 3´ E´

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AFINIDAD DE UNA CIRCUNFERENCIA. Transformación afín de la circunferencia en elipse. Diámetros conjugados

Homología y Afinidad: 

Homología y Afinidad TRANSFORMACIÓN AFÍN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA ELIPSE, Ejes principales. 4 eje de afinidad O O´ M A B D E a b a´ b´ A´ B´ D´ E´ N P Homología y Afinidad

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TRANSFORMACIÓN AFÍN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN UNA ELIPSE, en una afinidad ortogonal s b´ 4´ 3´

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T U V X Y M´ C´ D´ B´ A´ F K 1´ 2´ 1 2 3´ 4´ 4 3 Homología y Afinidad OBTENER LOS EJES PRINCIPALES DE UNA ELIPSE POR AFINIDAD 45º

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