Tangencias y Enlaces 3 eso 2013 14 aula virtual

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Slide1:

Tangencias y enlaces T angencias y E nlaces

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Tangencias y enlaces LAS TANGENCIAS EN EL DISEÑO

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Tangencias y enlaces SI UNA RECTA ES TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EL PUNTO DE TANGENCIA ESTA EN LA PERPENDICULAR TRAZADA POR EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA. PRIMER TEOREMA: RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA SI UNA CIRCUNFERENCIA ES TANGENTE A DOS RECTAS SU CENTRO ESTA EN LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO QUE FORMAN DICHAS RECTAS. SEGUNDO TEOREMA: CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS RECTAS

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Tangencias y enlaces SI DOS CIRCUNFERENCIAS SON TANGENTES EXTERIORES , EL PUNTO DE TANGENCIA ESTA EN LA LINEA QUE UNE LOS CENTROS O1 O2. LA DISTANCIA ENTRE LOS CENTROS ES LA SUMA DE LOS RADIOS. TERCER TEOREMA: CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES TERCER TEOREMA: CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES O2 O1 T SI DOS CIRCUNFERENCIAS SON TANGENTES INTERIORES , EL PUNTO DE TANGENCIA ESTA EN LA LINEA QUE UNE LOS CENTROS O1 O2. LA DISTANCIA ENTRE LOS CENTROS ES LA RESTA DE LOS RADIOS. O 1 O 2 = R1 + R2 O 1 O 2 = R1 - R2 TANGENTES EXTERIORES TANGENTES INTERIORES

Tangencias y Enlaces:

Tangencias y Enlaces TANGENTE EN UN PUNTO DE LA CIRCUNFERENCIA CON ESCUADRA Y CARTABÓN P P Para dibujar la tangente en un punto de una circunferencia hay que trazar una recta perpendicular al radio en dicho punto . Esta recta se puede trazar con la ayuda de la escuadra y del cartabón o realizando las construcciones geométricas necesarias. radio radio tangente

Tangencias y Enlaces:

Tangencias y Enlaces Dibujar las rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P C P T T M 1.- Unimos el punto P con el centro de la circunferencia C. 2.- Trazamos la mediatriz del segmento PC para obtener el punto medio M. 3.- Con centro en M dibujamos una circunferencia de radio MP =MC y obtenemos en la circunferencia los puntos de Tangencia T. 4.- Unimos el punto P con los puntos de tangencia y esas rectas serán las soluciones.

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Tangencias y Enlaces O1 O2 O3 O4 a radio radio radio b O P Dibujar las circunferencias de radio conocido tangentes a las rectas que se cortan a y b 1. Trazamos las bisectrices de los ángulos formados por las rectas a y b 2. Escogemos un punto P en una de las rectas y trazamos una perpendicular sobre la que llevamos el valor del radio r, determinando los puntos M y N. 3. Por los puntos M y N dibujamos rectas paralelas a la recta sobre la que estamos trabajando. M N 4. Los puntos de intersección de las paralelas trazadas con las bisectrices dibujadas anteriormente, nos determinan los centros de las soluciones O1, O2, O3 y O4. 5. Para obtener los puntos de Tangencia hay que dibujar los radios perpendiculares desde cada uno de los centros obtenidos, a las dos rectas a y b.

Tangencias y Enlaces:

Tangencias y Enlaces Dibujar una circunferencia tangente a una recta r conociendo el punto de tangencia P en la recta, y un punto de paso M P M C r m P M 1.- Unimos el punto dado M con el punto de tangencia P y obtenemos la mediatriz m . 2.- Dibujamos la recta s , perpendicular a r en el punto de tangencia P . 3.- La intersección de m y s nos da el centro C de la circunferencia buscada. s

Tangencias y Enlaces:

Tangencias y Enlaces M R2 O2 R1 - R2 R1 O1 A B T T T T a b Dibujar las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas de radios R1 y R2. 1. Unimos los centros O1 y O2 y dibujamos la mediatriz para obtener el punto M. Al mismo tiempo, dibujamos una circunferencia auxiliar concéntrica con O1 cuyo radio sea R1-R2. 2. Con centro en el punto M, dibujamos una circunferencia que pase por O1 y O2 determinando los puntos A y B. 3. Se trazan las rectas O 1 A y O 1 B, determinando los puntos de tangencia T en la circunferencia O1. 4. Por O 2 se trazan los radios paralelos a los radios anteriores, determinando los puntos de tangencia T en la circunferencia O2. 5. Las rectas a y b son las que unen los puntos de tangencia.

Tangencias y Enlaces:

Tangencias y Enlaces R1 R2 O2 M A B T T T T a b R1 + R2 O1 Dibujar las rectas tangentes interiores a dos circunferencias dadas de radios R1 y R2 1.- Unimos los dos centros O1 y O2 y dibujamos la mediatriz, obteniendo el punto M. Además, con centro en O 1 se traza la circunferencia auxiliar de radio R 2 + R 1 2. Con centro en el punto M dibujamos una circunferencia, que pasa por O1 y O2, que determina, sobre la circunferencia anterior, los puntos A y B 3. Unimos O1 con los puntos A y B, obteniendo los puntos de tangencia T en la circunferencia O1. 4. Por O2 trazamos radios paralelos a los anteriores pero de sentido contrario, obteniendo de ese modo los puntos de tangencia T en la circunferencia O2 . 5. Unimos los puntos de tangencia obtenidos y obtenemos las rectas pedidas a y b.

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Tangencias y Enlaces Dibujar una circunferencia tangente a otra en P, conociendo el radio de la solución O P R O1 O2 R R Tangente exterior Tangente interior Tangente exterior Tangente interior 1.- Dibujamos el radio desde el centro de la circunferencia O hasta el punto de tangencia P.y le prolongamos una medida. 2.- Para dibujar la circunferencia tangente exterior , SE LE SUMA el radio dado R a partir de P y se obtiene O2 . Finalmente dibujamos la circunferencia buscada con centro en O2 y radio O2P. 3.- Para dibujar la circunferencia tangente interior, SE LE RESTA el radio R desde P , obteniendo el centro O1 . Finalmente dibujamos la circunferencia buscada con centro en O1 y radio O1P.

Tangencias y Enlaces:

Tangencias y Enlaces O M N m O’ Dibujar una circunferencia tangente a otra en M, y que pasa por un punto N exterior M N 1.- Unimos el centro O de la circunferencia dada con el punto de tangencia M dado. 2.- Dibujamos la mediatriz del segmento que va desde el punto de tangencia M al punto N dado. 3.- La intersección de ambas rectas nos da el Centro O’ de la circunferencia buscada..

Tangencias y Enlaces :

Tangencias y Enlaces O M N m O’ Dibujar una circunferencia tangente a otra en M, y que pasa por un punto N interior M N 1.- Unimos el centro O de la circunferencia dada con el punto de tangencia M dado. 2.- Dibujamos la mediatriz del segmento que va desde el punto de tangencia M al punto N dado. 3.- La intersección de ambas rectas nos da el Centro O’ de la circunferencia buscada..

Tangencias y Enlaces:

Tangencias y Enlaces Dibujar una circunferencia de radio r conocido tangente a una recta dada “ a” y a una circunferencia de centro O. O a O’ r r R1 + r R1 a ´ T1 T2 1.- Dibujamos una recta a´ paralela a la dada a , a una distancia igual al radio r de la circunferencia que buscamos. 2.- Desde el centro de la circunferencia dada O, llevamos un arco cuyo radio sea la suma de su radio más el de la circunferencia que buscamos. 3.- La intersección de dicho arco con la recta a´ nos determina el centro de la circunferencia solución O’. 4.- Determinamos el punto de tangencia T1 sobre la circunferencia, uniendo los centros O y O’ , y el punto de tangencia T2 sobre la recta, dibujando desde O’ el radio perpendicular a la recta a.

Tangencias y Enlaces:

Tangencias y Enlaces R2 + R R1 + R R1 R2 O1 O2 C1 T1 T2 RADIO R Circunferencias de radio R conocido tangentes exteriores a otras dos circunferencias dadas O1 y O2. C2 T3 T4 1.- Llevamos desde los centros de las circunferencias dadas O1 y O2, dos arcos cuyo radio sea la suma de su radio y el de la circunferencia buscada R + R1 y R+R2 respectivamente . 2.- Las intersecciones de esos arcos nos dan los centros de las circunferencias buscadas C1 y C2 . Los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4 se obtienen uniendo los centros C1 y C2 con O1 y O2 respectivamente

Tangencias y Enlaces:

Tangencias y Enlaces Circunferencias de radio R conocido tangentes interiores a otras dos circunferencias dadas O1 y O2. R R1 R2 O1 O2 C1 R - R1 R - R2 T1 T2 R 1.-Llevamos desde los centros de las circunferencias dadas O1 y O2 , dos arcos cuyo radio sea la diferencia entre su radio y el de la circunferencia buscada, es decir R-R1 y R-R2 respectivamente. 2.- Las intersecciones de esos arcos nos dan los centros de las circunferencias buscadas C1 y C2 . 3.- Los puntos de tangencia T1, T2, T3 y T4 se obtienen uniendo los centros O1 y O2 con C1 y C2 respectivamente. C2 T3 T4

Curvas técnicas:

Curvas técnicas Construcción de un óvalo conociendo el eje mayor Sea MN el eje mayor del óvalo 1. Aplicando el Teorema de Tales, se divide MN en tres partes iguales; obteniendo O1 y O2. 2. Con centros en O 1 y O 2 se trazan dos circunferencias de radio O 1 M = O 2 N 3. O 3 y O 4 son los centros de los otros dos arcos del óvalo. 4.- Unimos los centros O1, O2, O3 y O4, como muestra la figura, para determinar los puntos de tangencia A,B,C y D. 5.- Con centro en O1 dibujamos el arco AD. Con centro en O2 dibujamos el arco BC. Con centro en O3 dibujamos el arco CD. Con centro en O4 dibujamos el arco AB.

Curvas técnicas:

Curvas técnicas Sea ST el eje menor del óvalo 1. Se dibuja la circunferencia de diámetro ST 2. Se traza el diámetro perpendicular y se determinan los centros O1, O2, O3 y O4 como muestra la figura. 4. Con centros en O 2 y O 4 se trazan los arcos de radio ST, obteniendo de paso los puntos A,B,C y D. 5. Con centros en O 1 y O 3 se trazan los otros dos arcos del óvalo Construcción de un óvalo conociendo el eje menor 3. Para determinar los puntos de tangencia A,B,C y D unimos los centros obtenidos como se indica en la figura.

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Curvas técnicas Construcción de un óvalo conociendo los dos ejes Sean MN y ST los ejes 1. Se traza la recta MS 2. Con centro en O y radio OM se traza un arco hasta el punto Q 3. Con centro en S y radio SQ se traza otro arco hasta el punto R 4. Se traza la mediatriz de MR que corta a los ejes en O 1 y O 2 5. Se determinan O 3 y O 4 , simétricos de los anteriores respecto del centro O 6. Con centro en O 1 , O 2 , O 3 y O 4 se trazan los arcos del óvalo 6. Unimos los centros obtenidos O2 con O1 y O3 , O4 con O1 y O3

Curvas técnicas:

Curvas técnicas Construcción de un ovoide conociendo el diámetro Sea el diámetro ST 1. Se dibuja la circunferencia de diámetro ST 2. Se traza el diámetro perpendicular a ST 3. Los punto O 1 , O 2 , O 3 y O 4 son los centros de los arcos del ovoide

Curvas técnicas:

Curvas técnicas Construcción de un ovoide conociendo el eje Sea el eje MN 1. Utilizando el Teorema de Tales, se divide MN en 6 partes iguales 3. Con centro en el punto 2 se traza la semicircunferencia de radio 2N, determinando los centros O1 y O2. 4. O3 coincide con la división nº 2 y O4 coincide con la división nº 5 de MN.Se unen los puntos O 1 y O 2 con el centro O4 5. Los puntos O 1 , O 2 , O 3 y O 4 son los centros de los arcos del ovoide. 2. Por el punto 2 se traza la perpendicular a MN 4 5 6 6. Con centro en O2 dibujamos el arco AB. Con centros en O1 y O2 trazamos los arcos BD y AC. Por último, con centro en O4 dibujamos el arco CD.

Curvas técnicas:

Curvas técnicas Espirales de varios centros Sea p el paso de la espiral 1. Se divide el segmento AB = p en tantas partes como centros tenga la espiral (4 partes en nuestro caso) 2. Se construye un polígono regular de n lados( 4 en nuestro caso) , de lado p/n. 3. Se prolongan los lados del polígono en el mismo sentido de giro 4. Con centros en los vértices del polígono se trazan los arcos de la espiral Podemos hacer espirales de varios centros. En la figura, hemos construido una espiral de 4 centros, pero podemos hacerla de 2,3,4,5,…centros. El procedimiento es idéntico al que se explica aquí.

Ejercicio 1:

Ejercicio 1 O1 T T T T R50+R15=R65 O3 O4 R50+R15=R65 O2 T T Reproduce con las mismas medidas indicadas, las piezas que aparecen en el dibujo. Debes dejar indicados todos los pasos necesarios para obtener los centros y puntos de tangencia.

Ejercicio 2:

Ejercicio 2 O3 35+24= 59 O2 19+24=43 O1 O4 O6 O5 O7 T T T T T T T T Reproduce con las mismas medidas indicadas, las piezas que aparecen en el dibujo. Debes dejar indicados todos los pasos necesarios para obtener los centros y puntos de tangencia.

Ejercicio 3:

Ejercicio 3 O2 P M T N Q S B A 30 O3 R46 O1 T T 30 O4 T a' a b b' T r r' 22 O5 T T n T Reproduce con las mismas medidas indicadas, las piezas que aparecen en el dibujo. Debes dejar indicados todos los pasos necesarios para obtener los centros y puntos de tangencia. P Q S

Ejercicio 4:

Ejercicio 4 E R1+5 R2+5 P Q G H F 1 2 3 Reproduce con las mismas medidas indicadas, las piezas que aparecen en el dibujo. Debes dejar indicados todos los pasos necesarios para obtener los centros y puntos de tangencia. A

Ejercicio 5:

Ejercicio 5 O1 O2 O3 O4 O5 T T T T 100-20=80 100-20=80 Tangentes interiores Reproduce con las mismas medidas indicadas, las piezas que aparecen en el dibujo. Debes dejar indicados todos los pasos necesarios para obtener los centros y puntos de tangencia.

Ejercicio 6:

Ejercicio 6 A B C D E F G H I J K O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O9 O10 Unir los puntos que se dan mediante arcos de circunferencias tangentes entre sí.

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