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SISTEMA DIEDRICO INTERSECCIONES PARALELISMO PERPENDICULARIDAD DISTANCIAS

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La intersección de dos planos es una recta que vendrá dada por dos puntos. Procedimiento: Para localizar la recta de intersección i se emplea un plano auxiliar secante g que corte a los dados según dos rectas r y s, las cuales a su vez se cortarán en un punto 1 que pertenece a la recta intersección de los planos dados. Repitiendo la operación con otro plano secante e tendremos otro punto 2 de la intersección que nos permitirá trazar la recta i. INTERSECCIONES DE PLANOS

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Intersección de dos planos cualesquiera 1. La intersección de a1 y b1 determinan la traza horizontal Hr 2. La intersección de a2 y b2 determinan la traza vertical Vr 3. Se halla la proyección horizontal r1 4. Se halla la proyección vertical r2

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Intersección de dos planos (uno es proyectante) 1. La intersección de a1 y b1 determinan la traza horizontal Hr 2. La intersección de a2 y b2 determinan la traza vertical Vr 3. Se halla la proyección horizontal r1 4. Se halla la proyección vertical r2

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Intersección de dos planos (uno es paralelo a los de proyección) 1. La intersección de a2 y b2 determinan la traza vertical Vr 2. Se halla la proyección horizontal r1 (paralela a a1) 3. Se halla la proyección vertical r2 (coincide con b2)

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Intersección de recta y plano 1. Se traza un plano b que contenga a la recta r 2. Se halla la recta m de de intersección de los planos a y b 3. Se determina el punto P de intersección de las rectas r y m

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INTERSECCIÓN DE UN PLANO OBLÍCUO CON UN PROYECTANTE CUANDO NO CONOCEMOS LAS TRAZAS DE LOS PLANOS

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INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS OBLÍCUOS SIN CONOCER SUS TRAZAS i´´ i´ Utilizaremos el método general: cortar los planos dados por otros dos planos proyectantes a y b

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Paralelismo entre rectas Para que dos rectas sean paralelas: 1. Sus proyecciones horizontales deben ser paralelas y 2. Sus proyecciones verticales deben ser paralelas

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Paralelismo entre planos Para que dos planos sean paralelos: 1. Sus trazas horizontales deben ser paralelas y 2. Sus trazas verticales deben ser paralelas

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Paralelismo entre recta y plano Para que una recta r sea paralela a un plano a: En el plano se podrá trazar una recta s que sea paralela a r (la proyección horizontal s1 debe ser paralela a r1) y (la proyección vertical s2 debe ser paralela a r2)

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Plano paralelo a otro y que contiene a un punto 1. Por el punto P se traza una recta horizontal r (o frontal) paralela al plano a 2. Por la traza vertical Vr se dibuja la traza b2 paralela a la traza a2 3. La traza b1 es paralela a la traza a1 (y a la proyección r1)

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Perpendicularidad entre recta y plano 1. La proyección horizontal r1 de la recta es perpendicular a la traza horizontal a1 del plano ( puesto que r es perpendicular a la traza horizontal ) 2. La proyección vertical r2 de la recta es perpendicular a la traza vertical a2 del plano ( puesto que r es perpendicular a la traza vertical ) Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas contenidas en dicho plano, cortándose o cruzándose con ellas

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r´´ r´ V´´r H´r Dibujar por el punto P una recta perpendicular al plano a dado Dibujar por el punto P un plano a perpendicular a la recta r dada dada

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Plano perpendicular a una recta y que contiene a un punto 1. Por el punto P se traza una recta m horizontal (o frontal), de manera que las proyecciones m1 y r1 sean perpendiculares 2. Por la traza Vm se dibuja a2 perpendicular a la proyección r2 3. La traza a1 es perpendicular a la proyección r1

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Perpendicularidad entre rectas I En general, las proyecciones de dos rectas perpendiculares en el espacio son dos rectas oblicuas. Ahora bien, si una de las rectas es paralela a uno de los planos de proyección, las proyecciones de ambas, sobre ese plano, son dos rectas perpendiculares Por ejemplo, si r es paralela al PH, r´y s´se verán perpendiculares. La proyección vertical hay que obtenerla sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto. t´ ´ t´ Dibujar por el punto M una recta perpendicular a la recta r dada.

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Perpendicularidad entre rectas II H´i V´´i i´´ i´ Q´´ Q´ s´´ s´ Pero, si la recta dada r no es paralela a ninguno de los planos de proyección, las proyecciones de ambas no serán perpendiculares, y hay que aplicar otro método de resolución. Debemos trazar por P un plano a perpendicular a la recta r dada. La intersección entre el plano a y la recta r nos permite obtener el punto Q. La recta PQ nos soluciona el problema Dibujar por el punto P dado, una recta s perpendicular a la recta r dada.

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Perpendicularidad entre planos I Dos planos son perpendiculares entre sí cuando en uno de ellos hay una recta perpendicular al otro En la figura, los planos a y b son perpendiculares, porque en el segundo hay una recta – t - perpendicular al primero. Por un punto P pueden trazarse infinitos planos perpendiculares al plano a, como infinito es el número de planos que pasan por la recta t, perpendicular a a

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Perpendicularidad entre planos II En la figura, tomaremos un punto P de la recta m dada, y por ese punto trazaremos una recta n, perpendicular al plano a dado. Las rectas m y n definen el plano b buscado Trazar por la recta m dada, un plano b perpendicular al plano a dado En diedrico, nos dan la recta m y el plano a. Tomamos el punto P y dibujamos una recta n perpendicular al plano a. (Recordemos que las proyecciones de n serán perpendiculares a las trazas de a) Obtenemos las trazas de las rectas m y n. Uniendo las trazas verticales V´´m y V´´n obtenemos b´´ y uniendo las trazas horizontales H´m y H´n obtenemos b´.

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Perpendicularidad entre planos III Por un punto M dado, trazar un plano a que sea perpendicular a los planos W y e dados Un plano es perpendicular a otros dos cuando lo es a la recta de intersección de ambos. En diedrico, nos dan el punto M y los planos W y e Obtenemos la recta de intersección i de los planos dados Por el punto M, dibujaremos una recta ( en este caso horizontal ) que sea perpendicular a la recta i (Recordemos que como h es paralela al PH, las proyecciones i´ y h´ sobre ese plano serán perpendiculares Por la traza vertical de la recta h, dibujamos la traza vertical a´´ del plano buscado, perpendicular a i´´, y por el punto donde a´´ corta a la LT trazaremos a´perpendicular a i´. Por el punto M habrá que trazar un plano a que sea perpendicular a la recta i, intersección de los planos dados V´´h

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Distancia entre dos puntos 1. Se dibuja un triángulo rectángulo de manera que: La hipotenusa sea el segmento AB Un cateto sea perpendicular al plano horizontal y El otro cateto sea paralelo al plano horizontal 2. Se abate el triángulo haciéndolo girar alrededor del cateto horizontal hasta que el triángulo esté paralelo al plano horizontal

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Distancias: casos particulares (I) 1. Por P se traza la recta r perpendicular a a 2. Se halla el punto M de intersección de r y a 3. Se calcula la distancia entre los puntos P y M Distancia de un punto a un plano Distancia de un punto a una recta 1. Por P se traza un plano a perpendicular a r 2. Se halla el punto M de intersección de r y a 3. Se calcula la distancia entre los puntos P y M

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Distancias: casos particulares (II) Distancia entre dos rectas paralelas 1. Se traza un plano a perpendicular a r y s 2. Se hallan los puntos M y N de intersección del plano a con las rectas r y s 3. Se calcula la distancia entre los puntos M y N Distancia entre dos planos paralelos 1. Se traza una recta r perpendicular a a y b 2. Se hallan los puntos M y N de intersección de la recta r con los planos a y b 3. Se calcula la distancia entre los puntos M y N

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Distancias: Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan