Modul 9 Nilai Eigen

Views:
 
Category: Entertainment
     
 

Presentation Description

No description available.

Comments

Presentation Transcript

MODUL VIII NILAI EGIEN DAN VEKTOR EIGEN:

MODUL VII I NILAI EGIEN DAN VEKTOR EIGEN Prayudi STT PLN 1

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn , vektor taknol x di dalam R n dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol  sedemikian rupa sehingga , A x = x disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan  . Contoh : Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari : yang bersesuaian dengan nilai eigen,  = 3, karena :

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN 3 Teknik Menghitung Nilai Eigen (1) Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah A x = x sebagai, A x =  I x (  I – A) x = 0 Agar supaya  menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 4 Teknik Menghitung Nilai Eigen (2) Persamaan terakhir adalah polinomial  berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A ( akar-akar polinomial dalam ) . Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah : Bentuk matrik ( I – A) Hitung determinan , det ( I – A)=0 Tentukan persamaan karakteristik dari , ( I – A) = 0 Hitung akar-akar persamaan karakteristik ( nilai lamda ) Hitung vektor eigen dari SPL, ( I – A)x=0

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 5 Contoh Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A = Jawab Bentuk, I – A yaitu : (  I – A) = Persamaan karakteristiknya adalah : det(  I – A) =  2 – 2  – 8 = 0 Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah :  1 = 4, dan  2 = –2, dan inilah nilai eigen matrik A. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (  I – A) x = 0 Untuk  = 4, diperoleh SPL Solusi SPL diatas adalah : Jadi vektor eigen untuk  = 4, adalah x = [5,1]. Sedangkan vektor eigen yang bersesuaian dengan  = –2 adalah, x = [1,–1].

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 6 Contoh Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari, A = Jawab Bentuk, I – A yaitu : (  I – A) = Persamaan karakteristiknya adalah : det(  I – A) =  3 – 6  2 + 11  – 6 = 0 Akar-akar persamaan karakteristiknya adalah :  1 = 1,  2 = 2, dan  3 = 3 Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (  I – A) x = 0 Untuk  = 1, diperoleh SPL Solusi SPL diatas adalah : Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan :  = 1 adalah x = [1,1,1] ;  = 2 adalah x = [2,3,3] ;  = 3 adalah x = [1,3,4].

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 7 Diagonalisasi Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P –1 AP adalah matrik diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A. Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut : (1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen (2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p 1 , p 2 , ... , p n, (3). Bantuklah matrik P = [ p 1 p 2 … p n ] dan hitunglah P –1 (4). Hitung, D = P –1 AP dengan diagonal utama,  1 ,  2 , … ,  n Contoh : Vektor eigen dan nilai eigennya :  = 1 adalah x = [1,1,1] ;  = 2 adalah x = [2,3,3] ;  = 3 adalah x = [1,3,4]. D = P –1 AP =

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 8 Contoh Carilah nilai eigen, vektor eigen dan matrik P yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana Jawab Menentukan nilai eigen A dan vektor eigen. Persamaan karakteristik A diperoleh dari : det(  I – A) = 0 Persamaan karakteristiknya adalah :  3 – 12  2 + 45  – 54 = 0. dan akar-akarnya adalah :  1 =  2 = 3, dan  3 = 6. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (  I – A) x = 0 Untuk  = 3, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen p 1 = [–2 ,1,0] p 2 = [–2 ,0,1]

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 9 Untuk  = 6, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen p 3 = [–1,1,1] Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah : P = [ p 1 p 2 p 3 ] = D = P –1 AP = Matrik diagonal

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 10 Diagonalisasi Ortogonal Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P –1 AP (=P T AP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal. Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni : (1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal, (2). A matrik simetris, (3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen. Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut : (1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x 1 , x 2 , ... , x n . (2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal, dari vektor basis pada langkah (1). (3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [ p 1 p 2 … p n ]

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 11 Contoh Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan matrik A, secara ortogonal bilamana Jawab Menentukan nilai eigen dan vktor eigen A. Persamaan karakteristik A diperoleh dari : det(  I – A) = 0 Persamaan karakteristiknya adalah :  3 – 3  2 – 9  + 27 = 0. dan akar-akar atau nilai eigennya adalah :  1 =  2 = 3, dan  3 = –3. Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (  I – A) x = 0 Untuk  = 3, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen x 1 = [1,1,0] x 2 = [–2 ,0,1]

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 12 Untuk  = 6, SPL-nya Solusi SPL-nya adalah : Vektor eigen x 3 = [1,–1,2] Menentukan P = [ p 1 p 2 p 3 ] Menghitung p 1 Menghitung p 2 p 2 = v 2 /| v 2 |, dengan v 2 = x 2 – [ x 2 , p 1 ] p 1 [ x 2 , p 1 ] = [ x 2 , p 1 ] p 1 = v 2 = x 2 – [ x 2 , p 1 ] p 1 = [–2,0,1] – [–1,–1,0] = [–1,1,1] Menghitung p 3 p 3 = v 3 /| v 3 |, dengan : v 3 = x 3 – [ x 3 , p 1 ] p 1 – [ x 3 , p 2 ] p 2 [ x 3 , p 1 ] =

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 13 [ x 3 , p 1 ] p 1 = [0,0,0] [ x 3 , p 2 ] = [ x 3 , p 2 ] p 2 = [0,0,0] Sehingga , v 3 = x 3 = [1,–1,2] Dengan demikian, P = [ p 1 p 2 p 3 ] =

PowerPoint Presentation:

Prayudi STT PLN Modul VIII Nilai dan Vektor Eigen 14 SOAL-SOAL LATIHAN Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen matrik A Tentukan vector eigen A yang membentuk yang sesuai dengan nilai eigen A. Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan A, dengan rumus P= [ x 1 x 2 … x n ], dan D=P –1 AP. Dengan proses Gram-Schimdt, tentukan matrik P mendiagonalisasikan A secara ortonormal, P= [ p 1 p 2 … p n ], D=P T AP.

authorStream Live Help