Modul 8 Basis dan Dimensi

Views:
 
Category: Entertainment
     
 

Presentation Description

No description available.

Comments

Presentation Transcript

MODUL VII BASIS DAN DIMENSI: 

MODUL V II BASIS DAN DIMENSI 1

PowerPoint Presentation: 

2 RUANG –N EUCLIDES Ruang -n Euclides Jika n sebuah bilangan bulat positif , maka n- pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real ( x 1 , x 2 ,…, x n ). Himpunan semua n - pasangan bilangan berurut dinamakan ruang - n Eucides dan dinyatakan dengan R n . Definisi . Misalkan u =[ u 1 , u 2 ,…, u n ]; v =[ v 1 , v 2 ,…, v n ] vektor di R n . u = v jika hanya jika u 1 = v 1 , u 2 = v 2 ,…, u n = v n u + v = [ u 1 + v 1 , u 2 + v 2 ,…, u n + v n ] k u = [k u 1 , k u 2 ,…, k u n ] u •v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n |u| = ( u •u ) 1/2 =

PowerPoint Presentation: 

3 Ruang Vektor Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi : Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V. u + v = v + u u +( v + w ) = ( u + v )+ w Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 Untuk setiap u di V terdapat – u di V sehingga u +(- u ) = - u + u = 0 Jika k skalar dan u di V, maka k u berada di V k( u + v ) = k u + k v (k + l) u = k u + l u k(l u ) = (kl) u 1 u = u

PowerPoint Presentation: 

4 Kombinasi Linier Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u 1 , u 2 ,…, u n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : x = k 1 u 1 + k 2 u 2 +… + k n u n dimana k 1 , k 2 ,…,k n adalah skalar Contoh : Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier dari u dan v . Jawab Perhatikan kombinasi linier x = k 1 u +k 2 v [8,1,5] = k 1 [2,-1,3] + k 2 [1,2,-2] Dari kesamaan vektor diperoleh 2k 1 + k 2 = 8 -k 1 + 2k 2 = 1 3k 1 – 2k 2 = 5 k 1 = 3 k 2 = 2 x = 3 u + 2 v

PowerPoint Presentation: 

5 Membangun Ruang Vektor Jika u 1 , u 2 ,…, u n adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u 1 , u 2 ,…, u n , maka u 1 , u 2 ,…, u n dikatakan membangun ruang vektor V Contoh : Apakah, u =[1,2,-1], v =[-2,3,3], w =[1,1,2] membangun R 3 . Jawab Andaikan x =[x 1 ,x 2 ,x 3 ] vektor di R 3 . Bentuk kombinasi linier, x = k 1 u + k 2 v + k 3 w [x 1 ,x 2 ,x 3 ] = k 1 [1,2,-1] + k 2 [-2,3,3] + k 3 [1,1,2] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier, k 1 – 2k 2 + k 3 = x 1 2k 1 + 3k 2 + k 3 = x 2 –k 1 + 3k 2 + 2k 3 = x 3 u, v, w membangun R 3 .

PowerPoint Presentation: 

6 Kebebasan Linier Andaikan S = { u 1 , u 2 ,…, u n } adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier : k 1 u 1 + k 2 u 2 + … + k n u n = 0 penyelesaiannya adalah trivial yakni k 1 = 0, k 2 = 0,…, k n = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier. Contoh : Himpunan vektor, S = { u1 , u2 , u3 }, u1 =[2,-1,3], u2 =[1,2,-6], u3 =[10,5,-15] adalah vektor tak bebas linier, karena 3 u1 + 4 u2 = u3 Contoh : Himpunan vektor, S = { u1 ,u2, u3 }, dimana u1 =[1,-1,2], u2 =[-2,3,1], u3 =[2,1,3] adalah vektor bebas linier, k 1 u1 + k 2 u2 + k 3 u3 = 0 , ekuivalen, k 1 – 2k 2 + 2k 3 = 0 –k 1 + 3k 2 + k 3 = 0 2k 1 + k 2 + 3k 3 = 0 u1, u2, u3 bebas linier

PowerPoint Presentation: 

7 Basis Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = { u 1 , u 2 ,…, u n } adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika : S bebas linier S membangun V Dimensi Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = { u 1 , u 2 ,…, u n } yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V. Contoh : Misalkan, B={ i , j , k } dengan i =[1,0,0], j =[0,1,0], dan k =[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R 3 . Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R 3 berdimensi tiga.

PowerPoint Presentation: 

8 Contoh Misalkan S = { u 1 , u 2 , u 3 } dimana u 1 =[1,2,2], u 2 =[2,1,2] dan u 3 =[1,3,3]. Apakah S basis untuk R 3 . Jawab Misalkan x =[x 1 , x 2 ,x 3 ] vektor di R 3 , bentuk kombinasi linier : k 1 u 1 + k 2 u 2 + k 3 u 3 = x k 1 [1,2,1] + k 2 [2,1,2] + k 3 [1,3,4] = [x 1 , x 2 ,x 3 ] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier k 1 + 2k 2 + k 3 = x 1 2k 1 + k 2 + 3k 3 = x 2 2k 1 + 2k 2 + 3k 3 = x 3 Karena solusi SPL adalah tunggal, jadi S adalh basis untuk R 3 .

PowerPoint Presentation: 

9 Tugas Khusus Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini bebas linier ? Jika tidak bebas linier tentukan nilai konstantanya . u1=(a-1,a,b) u2=(a,a+1,b-1), u3=(a-3,a-2,b+2) u1=(a+1,a-1,b,b-1), u2=(a,a+2,b-2,b), u3=(b+2,b-1,a,a+2), u4=(b+3,b-4,a+2,a-1) Selidikilah apakah ruang vektor S berikut ini membentuk basis u1=(a,a+1,b), u2=(a-1,a,b-1) u3=(b,b-1,a+3) u1=(a-1,a,b+1,b), u2=(a,a+1,b-2,b+2), u3=(b-2,b+1,a,a+2), u4=(b+2,b,a+2,a-2)

PowerPoint Presentation: 

10 Ruang Hasil Kali Dalam Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [ u , v ] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini : [ u , v ] = [ v , u ] (aksioma simetri) [ u + v , w ] = [ u , w ] + [ v , w ] (aksioma penambahan) [k u , v ] = k[ u , v ] (aksioma kehomogenan) [ u , u ] ≥ 0 dan [ u , u ] = 0  u = 0 (aksioma kepositifan) Contoh : Jika u = [u 1 ,u 2 ,…,u n ], dan v = [v 1 ,v 2 ,…,v n ] adalah vektor-vektor pada R n , maka : [ u , v ] = u •v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides R n . Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [ u , v ] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

PowerPoint Presentation: 

11 Basis Ortonormal Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal. Contoh : S={ u1 , u2 , u3 } dengan u1 =[1,2,1], u2 =[1,-1,1], dan u3 =[1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R 3 , karena [ u1 , u2 ]=[ u1 , u3 ]=[ u2 , u3 ]=0 Catatan : Jika S = { u 1 , u 2 ,…, u n } adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka : x = [ x , u 1 ] u 1 + [ x , u 2 ] u 2 + … + [ x , u n ] u n Misalkan V ruang hasil kali dalam dan { u 1 , u 2 ,…, u n } himpunan ortonormal Jika W ruang yang dibangun oleh u 1 , u 2 ,…, u n maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana : v = [ v , u 1 ] u 1 + [ v , u 2 ] u 2 + … + [ v , u n ] u n

PowerPoint Presentation: 

12 Proses Gram-Schmidt Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah basis ortonormal. Langkah 1. Ambil, v 1 = u 1 /| u 1 | Langkah 2. Hitung, v 2 , dengan rumus : Misalkan S={ u 1 , u 2 ,…, u n } basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma untuk menentukan ortonormal B={ v 1 , v 2 ,…, v n } untuk V adalah : Langkah 3. Hitung, v 3 , dengan rumus : Langkah 4. Hitung, v k , dengan rumus :

PowerPoint Presentation: 

13 Contoh : Misalkan S={ u 1 , u 2 , u 3 } basis untuk R 3 , dengan u 1 =[1,0,1], u 2 =[1,1,-1], dan u 3 =[-2,1,2]. Carilah basis ortonormal B={ v 1 , v 2 , v 3 } untuk R 3 . Jawab Langkah 1. Ambil : Langkah 2. v 2 = x 2 /| x 2 |, dengan x 2 = u 2 – [ u 2 , v 1 ] v 1 [ u 2 , v 1 ]=[1,1,-1] • Langkah 3. v 3 = x 3 /| x 3 |, dengan x 3 = u 3 – [ u 3 , v 1 ] v 1 – [ u 3 , v 2 ] v 2 [ u 3 , v 1 ]=[-2,1,2] • Jadi, x 2 = u 2 , dan [ u 3 , v 2 ]=[-2,1,2] • = [–1,2,1] Jadi,

PowerPoint Presentation: 

14 Koordinat dan Perubahan Basis Misalkan S={ u 1 , u 2 ,…, u n } basis untuk ruang vektor V, maka setiap vektor x yang terletak dalam V dapat dinyatakan dengan tunggal dalam bentuk kombinasi linier, yakni x = k 1 u 1 + k 2 u 2 + … + k n v n Skalar-skalar k 1 , k 2 ,…,k n disebut koordinat x relatif terhadap basis S. Vektor koordinat x relatif terhadap basis S ditulis ( x ) S didefinisikan, ( x ) S =[k 1 ,k 2 ,…,k n ] Matrik koordinat x relatif terhadap S ditulis [ x ] S didefinisikan oleh : P(5,6) i =[1,0] j =[0,1] r B={ i , j } maka x = 5 i + 6 j maka : ( x ) B = (5,6), u =[2,1] v =[1,4] S={ u , v } maka x = 2 u + v maka : ( x ) S = (2,1)

PowerPoint Presentation: 

15 Contoh : B={ v 1 , v 2 , v 3 } basis untuk R 3 , dimana v 1 =[2,1,2], v 2 =[3,2,2], v 3 =[1,2,-1]. Jika ( x ) B =[2,1,-3] hitunglah x , dan jika x =[2,1,–3] berapa [ x ] B . Jawab : Misalkan x =[x 1 ,x 2 ,x 3 ] vektor di R 3 , bentuk k 1 v 1 + k 2 v 2 + k 3 v 3 = x, atau : k 1 [2,1,2] + k 2 [3,2,2] + k 3 [1,2,–1 ] = [x 1 ,x 2 ,x 3 ] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier : 2k 1 + 3k 2 + k 3 = x 1 k 1 + 2k 2 + 2k 3 = x 2 2k 1 + 2k 2 – k 3 = x 3 Jika, ( x ) B = [2,1,-3], maka : Jika, x = [2,1,-3], maka :

PowerPoint Presentation: 

16 Perubahan Basis Misalkan S={ u 1 , u 2 ,…, u n } basis lama ruang vektor V, dan B={ v 1 , v 2 ,…, v n } basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [ x ] S matrik koordinat x relatif terhadap S dan [ x ] B matrik koordinat x relatif terhadap basis B. Hubungan antara [ x ] S dan [ x ] B diberikan oleh persamaan : dan atau P adalah matrik transisi dari basis baru B ke basis lama S, dimana kolom-kolom P adalah matrik-matrik koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu : Contoh : S={ u 1 , u 2 , u 3 } basis lama dan B={ v 1 , v 2 , v 3 } basis baru untuk R 3 , dimana u 1 =[1,–1,–1], u 2 =[–1,2,3], u 3 =[1,1,2], dan v 1 =[2,1,2], v 2 =[3,2,2], v 3 =[1,2,-1]. Jika x =[2,-1,3] berapa [ x ] B secara tidak langsung.

PowerPoint Presentation: 

17 Jawab Misalkan x =[x 1 ,x 2 ,x 3 ] vektor di R 3 , bentuk k 1 u 1 + k 2 u 2 + k 3 u 3 = x, atau : k 1 [1,–1,–1] + k 2 [–1,2,3] + k 3 [1,1,2 ] = [x 1 ,x 2 ,x 3 ] Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier : Untuk v 1 =[2,1,2], v 2 =[3,2,2], v 3 =[1,2,-1]., maka diperoleh P dan P -1 , yaitu : Dengan demikian,

PowerPoint Presentation: 

18

PowerPoint Presentation: 

19 SOAL TUGAS KHUSUS Diketahui pula bahwa S = { u 1 , u 2 ,u 3 } dan B={ v 1 , v 2 , v 3 } adalah basis-basis untuk R 3 , diimana : u 1 = [b-4,b-5,a–2], u 2 = [ b-5,b-6,a-3] , u 3 = [ a-4,a-3,b-5] v 1 = [a-5,a-4,b–5], v 2 = [ a-4,a-3,b-4] , v 3 = [b -4,b-5,a-5] (1) Tentukan basis ortonormal untuk basis S dan basis B dengan proses Gram-Schmidt (2) Carilah matrik koordinat x relatif terhadap basis S [x] S dan basis B [x] B secara langsung (3) Carilah matrik koordinat [x] S dan [x] B secara tidak langsung