Modul 6 Penerapan Integral Tentu

Views:
 
Category: Education
     
 

Presentation Description

No description available.

Comments

Presentation Transcript

MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL:

MODUL VI : PENERAPAN INTEGRAL

PowerPoint Presentation:

PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat sebuah fungsi yang tidak diketahui dan turunan-turunannya . Menyelesaikan suatu persamaan diferensial adalah mencari suatu fungsi yang tidak diketahui . Contoh Persamaan diferensial orde satu variabel terpisah Persamaan diferensial linier orde dua PD orde satu variabel terpisah atau f(x)dx + g(y) dy = 0 atau

PowerPoint Presentation:

Contoh penerapan Hukum Pendinginan Newton Hukum Newton menyatakan bahwa laju perubahan laju pendinginan suhu benda sebanding dengan selisih suhu antara benda dan medium yang mengelilinginya . Andaikan t adalah waktu t setelah benda mulai mendingin . Jika T ( t ) adalah suhu benda pada saat t , Tm suhu medium yang mengelilinginya , dT / dt laju perubahan suhu pada saat t , dan k faktor pembanding maka , Rangkaian Listrik R-L Pada rangkaian seri menyatakan bahwa hubungan antara hambatan R ohm dan induktansi L henry dengan sebuah sumber arus listrik konstan yang tegangannya V volt. Andaikan i ( t ) menyatakan arus listrik dalam ampere yang mengalir pada rangkaian setelah waktu t , dan t menyatakan waktu dalam detik sejak rangkaian ditutup. Menurut hukum Kircoff, diperoleh :

PowerPoint Presentation:

PENERAPAN INTEGRAL TENTU Luas Bidang Datar Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu x pada [a,b] seperti pada gambar R y=f(x) f(xi) xi x=a x=b Ai=f(xi) xi, a  xi  b Luas empat persegi panjang Contoh 1 Hitunglah luas daerah R , yang terletak dibawah kurva f ( x ) = 4 x 2 – x 3 , sumbu x , garis x = 1 dan garis x = 3. Jawab x=1 x=3 f(xi) x y f ( x ) = 4 x 2 – x 3 Ai=( 4 xi 2 – xi 3 ) xi, 1  xi  3

PowerPoint Presentation:

f(x)=x 3 – 2x 2 – 8x Contoh : A(R1) A(R2) –2 0 4

PowerPoint Presentation:

Luas diantara dua kurva Misalkan daerah R dibatasi oleh dua kurva y=f(x), y=g(x) pada [a,b] seperti pada gambar f(x)-g(x) xi R y=f(x) y=g(x) x y x=a x=b Luas empat persegi panjang : Ai=[f(xi) – g(xi)] xi, a  xi  b Prosedur Menghitung Luas Daerah L angkah-langkah untuk menghitung luas daerah dengan integral tertentu Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, beserta batas-batasnya. Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu . Hampiri luas suatu jalur tertentu langkah 2 dengan luas empat persegi panjang. Jumlahkan luas aproksimasi dari langkah 3. Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu.

PowerPoint Presentation:

Contoh 2 Hitunglah luas daerah R , terletak y = 4 x 2 – x 3 , dan x+y = 4. Jawab : Sketsa grafik R lihat gambar berikut R2 R1 g(x)=4-x f(x) = 4 x 2 – x 3 x=-1 x=1 x=4 x y A2 A1 Titik potong kedua kurva diperoleh : 4-x = 4x 2 -x 3 X 3 -4x 2 – x + 4 = 0, x1=-1,x2=1,x3=4 Menghitung A(R) A 1 = [g(xi)-f(xi)]x i = [(4-x i )-( 4x i 2 – x i 3 )] xi, -1xi 1 A 2 = [f(xi)-g(xi)]x i = [( 4x i 2 – x i 3 )-(4-x i )] xi, 1xi 4

PowerPoint Presentation:

f(x)=x 3 – 2x 2 – 8x g(x)=3x – 12 –3 –2 0 1 4 A(R1) A(R2) Contoh :

PowerPoint Presentation:

Fungsi Densitas : Fungsi f(x) dikatakan sebagai fungsi densitas ( probabilitas ), jika hanya jika f(x) memenuhi sifat-sifat berikut ini : f(x)  0 Mean dan variannya diberikan oleh :

PowerPoint Presentation:

Soal 1 Suatu fungsi densitas ( kepadatan ) didefinisikan oleh ( i ) f(x) = k x (2 – x) 4 , 0  x  2 ( ii) f(x) = kx a (8 – x 3 ) 0  x  2 (III) f(x) = kx b (4 – x 2 ), 0  x  2 Hitunglah nilai k Berapa , P(x>1) Hitunglah E(x) dan varian Soal 2 Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva , berikut dengan sumbu x f(x)=( x+a )(x – 1 )(x – a – 1) f(x) = (x 2 – 1 )(x – a – 1) TUGAS LUAS BIDANG DATAR Soal 3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut ini : (a). y = a – (x – 4) 2 , dan x + y = (a + 2), (b). y = x 2 , x + y = 2, dan x=y 3 . (c). y = x 2 , y = 8 – x 2 , dan 4x–y+12 = 0. Soal 4. Hitunglah luas segitiga dimana titik-titik sudutnya adalah : (a). (1,2), (7,4), dan (-1,8) (b). (2,1), (6,5), dan (0,8) Soal 5. Hitunglah luas segiempat dimana koordinat titiktitik sudutnya adalah (a). (1,1), (4,2), (–2, 6) dan (2,7) (b). (2,1), (5,3), (–2,7) dan (1,9)

PowerPoint Presentation:

Volume Benda Pejal , Metode Silinder Perhatikanlah sketsa silinder berikut ini r h V= r 2 h r1 r2 h Andaikan daerah R dibatasi oleh f ( x ), sumbu x , garis x = a dan garis x = b . y=f(x) y f(xi) xi x=a x=b x R r=f(xi) h=xi Jika R diputar terhadap sumbu x dihasilkan benda pejal . Elemen volume  V = r 2 h =[f(xi)] 2  xi, axib Jadi :

PowerPoint Presentation:

Contoh 3 : Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1) 2 , sumbu x, dari x=1 sd x=3, jika diputar tehadap sb x Jawab h=xi r=f(xi) x y x=3 x=1 y=1+(x-1) 2  V = r 2 h =[1+(x-1) 2 ] 2  xi, 1xi3 Hitung volume benda pejal daerah R yang dibatasi oleh y=1+(x-1) 2 , garis y=5, dari x=1 sd x=3, jika diputar terhadap garis y=5 Jawab x y=5 r=5-f(xi) y=1+(x-1) 2 x=1 x=3 R R  V = r 2 h =[4-(x-1) 2 ] 2  xi, 1xi3

PowerPoint Presentation:

Metode Cincin , Silinder Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f ( x ) dan y = g ( x ), garis x = a dan garis x = b , dengan f ( x )  g ( x ). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu x , maka akan dihasilkan suatu benda pejal , dimana bagian tengahnya lubang . Metode demikian disebut metode cincin xi y=f(x) y=g(x) x=a x=b R f(x)-g(x) x y r 1 =g(x) r 2 =f(x) y h=xi Dengan metode silinder : V=[r 2 2 – r 1 2 ]h = [f(x i ) 2 –g(x i ) 2 ]xi,a  xi  b

PowerPoint Presentation:

Contoh 4 Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3) 2 +1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu x, garis y=6, y=1 Jawab : Kasus 1. Sumbu putar sumbu x y=f(x)=6-x y=g(x)=(x-3) 2 +1 r 1 =g(x) r 2 =f(x) h=xi x Karena , A  SP . d engan metode silinder : V=[r 2 2 – r 1 2 ]h = [f(x) 2 –g(x) 2 ]x,1  x  4 =  [(6-x) 2 –(1+(x-3) 2 ) 2 ]x,1  x  4 Jadi , R a=1 b=4

PowerPoint Presentation:

Kasus 2 : Sumbu putar garis y = 6 r 1 =6-f(x) r 2 =6-g(x) y=6 y=f(x)=6-x y=g(x)=(x-3) 2 +1 R a=1 b=4 x y h=xi Karena, A  SP, Dengan metode silinder : V=[r 2 2 – r 1 2 ]h = {[6-g(x)] 2 –[6-f(x)] 2 }x,1  xi  4 =  {[6–(1+(x-3) 2 )] 2 -[6-(6-x)] 2 }x, =  {[5–(x-3) 2 ] 2 - x 2 }x, 1  x  4 Jadi,

PowerPoint Presentation:

Kasus 3 : Sumbu putar garis y = 1 y=1 x y y=g(x)=(x-3) 2 +1 y=f(x)=6-x r 1 =g(x)-1 r 2 =f(x)-1 R h=xi a=1 b=4 Karena, A  SP, maka d engan metode silinder : V=[r 2 2 – r 1 2 ]h = {[f(x)-1] 2 – [g(x)-1] 2 }x,1  x  4 =  {[(6–x)-1] 2 – [(1+(x-3) 2 )-1] 2 }x, =  {[5–x] 2 – (x-3) 4 }x, 1  x  4 Jadi,

PowerPoint Presentation:

Metode Sel Silinder Perhatikanlah sel silinder berikut ini r 2 r r 1 r1 : jari-jari dalam r2 : jari-jari luar r : jari-jari rata-rata h : tinggi silinder h Volume sel silinder adalah :  V = r 2 2 h – r 1 2  h = [r 2 2 – r 1 2 ] h = (r 2 + r 1 )(r 2 – r 1 )h Jika diambil r = r 2 – r 1 Dihasilkan rumus  V = 2  r h r

PowerPoint Presentation:

Volume benda pejal, Metode Sel Silinder Andaikan daerah R dibatasi oleh f ( x ), sumbu x , garis x = a dan garis x = b . x=b x=a R y=f(x) r=xi r=x h=f(x) Jika R diputar terhadap sumbu y dihasilkan benda pejal. Elemen volume  V = 2rhr = 2x f(x)  x, axb Jadi : Contoh 5 : Hitung volume benda pejal jika R dibatasi oleh y=1+(x-1) 2 , sumbu x, dari x=1 sd x=3, diputar terhadap y Jawab r=x h=f(x) r=xi R x=1 x=3  V = 2rhr = 2 x f(x) x =2 x[1+(x-1) 2 ]  x, 1x3 Jadi,

PowerPoint Presentation:

Metode Sel Silinder Lanjutan Misalkan daerah R dibatasi oleh kurva-kurva y = f ( x ) dan y = g ( x ), garis x = a dan garis x = b , dengan f ( x )  g ( x ). Andaikan daerah R diputar dengan sumbu putar sumbu y, maka akan dihasilkan suatu benda pejal, berbentuk sel silinder. Metode demikian disebut metode sel silinder xi y=f(x) y=g(x) x=a x=b R h=f(x)-g(x) x y h=f(x)-g(x) r=x y r=x Dengan metode sel silinder : V= 2 r h r = 2 x[f(x)–g(x)]x, a  x  b x

PowerPoint Presentation:

Contoh 4 Daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3) 2 +1. Hitung volume bendanya, jika R diputar terhadap sumbu y, garis x=1, dan x=4 Jawab : Kasus 1. Sumbu putar sumbu y Karena A // SP, maka d engan metode sel silinder : V= 2 r h r = 2 x [f(x)–g(x)]x,1  x  4 = 2  x [ (6-x)–(1+(x-3) 2 )]x,1  x  4 Jadi , r=x y=6-x y=(x-3) 2 +1 R x=1 x=4 x y h=f(x)-g(x) r=xi

PowerPoint Presentation:

Kasus 2 : Sumbu putar garis x=1 y=6-x 1 x r=x-1 h=f(x)-g(x) y=(x-3) 2 +1 r=xi Dengan metode sel silinder  V = 2 r hr = 2 (x-1)[(6-x) – (1+(x-3) 2 ]  x, Jadi, x=1 x=4 Kasus 3 : Sumbu putar garis x=4 h=f(x)-g(x) r=4-x x R r=xi y=6-x y=(x-3) 2 +1 x=1 x=4 Dengan metode sel silinder  V = 2 r hr = 2 (4 - x)[(6-x) – (1+(x-3) 2 ]  x Jadi,

PowerPoint Presentation:

Prosedur Menghitung Volume B e nda Pejal L angkah-langkah untuk menghitung volume benda pejal dengan integral tertentu adalah sebagai berikut : Buatlah gambar daerah R yang bersangkutan, tentukan fungsi f(x) dan g(x) beserta batas-batasnya ( batas integral) . Pada daerah R buatlah suatu jalur tertentu ( luas empat persegi panjang ), dan buatlah sumbu putarnya yang tidak memotong daerah R. Hampiri volume benda pejalnya dengan pendekatan : (a) Volume silinder , V = r 2 h jika A tegak lurus dengan sumbu putar (b) Volume sel slilinder , V = 2 rh r, jika A sejajar dengan sumbu putar . Jumlahkan volume silinder aproksimasi dari langkah 3. Ambil limitnya sehingga diperoleh suatu integral tertentu , atau hitunglah volume benda pejalnya dengan integral tentu .

PowerPoint Presentation:

Momen dan Pusat Massa Misalkan sepotong lamina homogen dibatasi oleh kurva y = f ( x ) dan y = g ( x ) dengan f ( x )  g ( x ) garis x = a , dan garis x = b . Andaikan bahwa kerapatan lamina adalah  ,  y=f(x) y=g(x) x=a x=b R y x xi xi Andaikanlah, pusat masaa lamina dimana, My : moment terhadap sumbu y Mx : moment terhadap sumbu x m : massa lamina

PowerPoint Presentation:

Contoh 5 Hitung pusat massa daerah R dibatasi oleh, y=6-x dan y=(x-3) 2 +1. Jika kerapatannya adalah konstan k Jawab : y=f(x) y=g(x) y=6-x xi y=(x-3) 2 +1  xi x=1 x=4 Jadi,

PowerPoint Presentation:

Teorema Pappus Jika sebuah daerah R yang terletak pada sebuah bidang diputar terhadap sebuah garis pada bidang tersebut yang tidak memotong daerah R , maka volume benda putar yang dibentuk oleh R sama dengan luas daerah R dikalikan dengan keliling yang ditempuh oleh titik pusat R itu Bilamana daerah diputar terhadap sebuah sumbu putar yang tidak terletak pada daerah R , maka volume benda putarnya diberikan oleh , V = 2  r A dimana r adalah jari-jari lingkaran yakni panjang jarak tegak lurus dari titik pusat massa ke sumbu putar , dan A adalah luas daerah R, lamina.

PowerPoint Presentation:

Tugas Khusus Volume Benda Putar Soal 1. Perhatikanlah daerah R dibatasi oleh , y = ( b – 5) + ( x – a + 4) 2 dan garis lurus yang menghubungkan titik ( a –5, b –4) dan ( a –2, b –1). Hitunglah volume benda putarnya , jika daerah R diputar terhadap : (a). Garis y = b – 6, y=b+5 (b). Garis x = a +1 , x=a – 6 Soal 2. Suatu daerah R dibatasi oleh kurva , y = a – (x – b) 2 , dan x + y = (a + b – 2), hitunglah volume benda putarnya , jika daerah R diputar terhadap : a. garis y = a+1, y=a - 5 b. garis x = b + 3, x=b – 3 Soal 3. Daerah R adalah sebuah segitiga dimana titik-titik ujungnya adalah ( a,b ), (2a,2b), dan (a,2a+2b). Dengan integral tentu hitunglah , a. Volume benda putarnya jika R diputar terhadap garis y = b b. Volume benda putarnya jika R diputar terdadap garis x = a

PowerPoint Presentation:

Soal 5. Tugas Massa dan Pusat Massa Untuk soal nomor 1,2 dan 4 hitunglah pusat massa dengan asumsi kerapatan konstan Hitunglah volume yang ditanyakan dengan metode teorema pappus . Soal 4 Perhatikanlah gambar daerah berikut ini Hitunglah volume benda putarnya jika daerah R diputar terhadap : (a). Garis , y=b-5, (b). Garis , y= b+1 (c). Garis , x =a – 3 (d). Garis , x = a + 2 Gambar Soal No. 4