Teorema Fundamental del Cálculo

Teorema fundamental del Cálculo:

Teorema fundamental del Cálculo Ing. Ricardo Lara Colón

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Concepto fundamental del Cálculo Diferencial Concepto fundamental del Cálculo Integral VELOCIDAD DE CAMBIO (Derivada) AREA BAJO UNA CURVA (Integral definida) TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO se mezclan

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a El área bajo la curva f(x) hasta la línea verde está dada por: la llamamos una integral de límite superior variable. Digamos ahora que queremos encontrar la derivada de esa integral que llamamos F(x), siendo la derivada una medida de la velocidad de variación que tiene la función respecto a su variable independiente, podemos ver la derivada F’(x) como la velocidad con que está cambiando el área bajo la gráfica de la función f(x) entre el punto a y el punto x en el instante que la función pasa precisamente por el valor x (la línea verde).

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Si aplicamos la definición de derivada, para calcular esa velocidad tendríamos: (tomando la nomenclatura de nuestra gráfica anterior) Es decir, si pensamos a la abscisa moviéndose sobre el eje x queremos medir a qué velocidad está cambiando el área cuando la abscisa pasa por el punto x. Recordando que el área está dada por la integral anteriormente indicada, y luego de hacer las sustituciones correspondientes llegamos a la conclusión de que:

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Este resultado nos dice que la derivada deshace la acción de la integral de la función f(x). Más precisamente, nos dice que la derivada respecto de x de la integral definida de a a x de la función f(x), es el valor de esta función en x (lo que valga x en ese instante). Con la interpretación geométrica que estábamos manejando anteriormente, podemos verlo así: si pensamos en la integral como el área bajo la curva entre los valores a y x, y con la abscisa moviéndose (hacia la derecha, digamos) entonces en el instante en que la abscisa pasa por el valor x 0 , la velocidad a la que está cambiando el área F(x) es justamente el valor de f en x o .

Ejemplos:

Ejemplos Dada F (x), calcule F’(2) Según el TFC, tenemos que F’(x) = de modo que F’(2)

Ejemplos:

Ejemplos Calcule F’(x) sabiendo que F(x) es igual a: Para poder hacer uso del TFC, debemos tener la integral con el límite superior variable, en este caso tenemos el límite inferior variable por lo que será necesario aplicar una sencilla definición. de modo que F’ (x) =

Ejemplos:

Ejemplos Calcule F’(x), a partir de la función: La función de este ejercicio no tiene como límite superior x, sino x 2 . Para poder hacer uso del TFC debemos hacer un cambio de variable. Simplificando éste podemos llegar a la expresión:

Ejemplos:

Ejemplos por lo que la solución sería:

Ejemplos:

Ejemplos Calcular F’(x) a partir de: sustituyendo en nuestro anterior desarrollo: